P01: 01背包問題 ZeroOnePack

題目

有N件物品和一個容量為V的背包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。

基本思路

這是最基礎(chǔ)的背包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。
用子問題定義狀態(tài)：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一個容量為v的背包可以獲得的最大價值。則其狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程便是：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

這個方程非常重要，基本上所有跟背包相關(guān)的問題的方程都是由它衍生出來的。所以有必要將它詳細解釋一下：“將前i件物品放入容量為v的背包中”這個子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那么就可以轉(zhuǎn)化為一個只牽扯前i-1件物品的問題。如果不放第i件物品，那么問題就轉(zhuǎn)化為“前i-1件物品放入容量為v的背包中”，價值為f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么問題就轉(zhuǎn)化為“前i-1件物品放入剩下的容量為v-c[i]的背包中”，此時能獲得的最大價值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通過放入第i件物品獲得的價值w[i]。

優(yōu)化空間復雜度

以上方法的時間和空間復雜度均為O(VN)，其中時間復雜度應(yīng)該已經(jīng)不能再優(yōu)化了，但空間復雜度卻可以優(yōu)化到O。
先考慮上面講的基本思路如何實現(xiàn)，肯定是有一個主循環(huán)i=1..N，每次算出來二維數(shù)組f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一個數(shù)組f[0..V]，能不能保證第i次循環(huán)結(jié)束后f[v]中表示的就是我們定義的狀態(tài)f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]兩個子問題遞推而來，能否保證在推f[i][v]時（也即在第i次主循環(huán)中推f[v]時）能夠得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事實上，這要求在每次主循環(huán)中我們以v=V..0的順序推f[v]，這樣才能保證推f[v]時f[v-c[i]]保存的是狀態(tài)f[i-1][v-c[i]]的值。偽代碼如下：

for i=1..N 
  for v=V..0 
    f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相當于我們的轉(zhuǎn)移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}
，因為現(xiàn)在的f[v-c[i]]就相當于原來的f[i-1][v-c[i]]。如果將v的循環(huán)順序從上面的逆序改成順序的話，那么則成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，與本題意不符，但它卻是另一個重要的背包問題P02最簡捷的解決方案，故學習只用一維數(shù)組解01背包問題是十分必要的。
事實上，使用一維數(shù)組解01背包的程序在后面會被多次用到，所以這里抽象出一個處理一件01背包中的物品過程，以后的代碼中直接調(diào)用不加說明。
過程ZeroOnePack，表示處理一件01背包中的物品，兩個參數(shù)cost、weight分別表明這件物品的費用和價值。

procedure ZeroOnePack(cost,weight) 
  for v=V..cost 
    f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

注意這個過程里的處理與前面給出的偽代碼有所不同。前面的示例程序?qū)懗蓈=V..0是為了在程序中體現(xiàn)每個狀態(tài)都按照方程求解了，避免不必要的思維復雜度。而這里既然已經(jīng)抽象成看作黑箱的過程了，就可以加入優(yōu)化。費用為cost的物品不會影響狀態(tài)f[0..cost-1]，這是顯然的。
有了這個過程以后，01背包問題的偽代碼就可以這樣寫：

for i=1..N 
  ZeroOnePack(c[i],w[i]);

初始化的細節(jié)問題

我們看到的求最優(yōu)解的背包問題題目中，事實上有兩種不太相同的問法。有的題目要求“恰好裝滿背包”時的最優(yōu)解，有的題目則并沒有要求必須把背包裝滿。一種區(qū)別這兩種問法的實現(xiàn)方法是在初始化的時候有所不同。
如果是第一種問法，要求恰好裝滿背包，那么在初始化時除了f[0]為0其它f[1..V]均設(shè)為-∞，這樣就可以保證最終得到的f[N]是一種恰好裝滿背包的最優(yōu)解。
如果并沒有要求必須把背包裝滿，而是只希望價格盡量大，初始化時應(yīng)該將f[0..V]全部設(shè)為0。
為什么呢？可以這樣理解：初始化的f數(shù)組事實上就是在沒有任何物品可以放入背包時的合法狀態(tài)。如果要求背包恰好裝滿，那么此時只有容量為0的背包可能被價值為0的nothing“恰好裝滿”，其它容量的背包均沒有合法的解，屬于未定義的狀態(tài)，它們的值就都應(yīng)該是-∞了。如果背包并非必須被裝滿，那么任何容量的背包都有一個合法解“什么都不裝”，這個解的價值為0，所以初始時狀態(tài)的值也就全部為0了。
這個小技巧完全可以推廣到其它類型的背包問題，后面也就不再對進行狀態(tài)轉(zhuǎn)移之前的初始化進行講解。

一個常數(shù)優(yōu)化

前面的偽代碼中有 for v=V..1，可以將這個循環(huán)的下限進行改進。
由于只需要最后f[v]的值，倒推前一個物品，其實只要知道f[v-w[n]]即可。以此類推，對以第j個背包，其實只需要知道到f[v-sum{w[j..n]}]即可，即代碼中的

for i=1..N 
  for v=V..0

可以改成

for i=1..n 
  bound=max{V-sum{w[i..n]},c[i]}
  for v=V..bound

這對于V比較大時是有用的。

小結(jié)

01背包問題是最基本的背包問題，它包含了背包問題中設(shè)計狀態(tài)、方程的最基本思想，另外，別的類型的背包問題往往也可以轉(zhuǎn)換成01背包問題求解。故一定要仔細體會上面基本思路的得出方法，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的意義，以及最后怎樣優(yōu)化的空間復雜度。

原帖：origin: http://love-oriented.com/pack/P01.html