1.1 題目
有 N 件物品和一個(gè)容量為 V 的背包。放入第 i 件物品耗費(fèi)的費(fèi)用是 Ci ,得到的
價(jià)值是 Wi 。求解將哪些物品裝入背包可使價(jià)值總和最大。
1.2 基本思路
這是最基礎(chǔ)的背包問(wèn)題,特點(diǎn)是:每種物品僅有一件,可以選擇放或不放。
用子問(wèn)題定義狀態(tài):即 F [i, v] 表示前 i 件物品恰放入一個(gè)容量為 v 的背包可以獲得
的最大價(jià)值。則其狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程便是:
- F [i, v] = max{F [i ? 1, v], F [i ? 1, v ? Ci ] + Wi }
這個(gè)方程非常重要,基本上所有跟背包相關(guān)的問(wèn)題的方程都是由它衍生出來(lái)的。
所以有必要將它詳細(xì)解釋一下:“將前 i 件物品放入容量為 v 的背包中”這個(gè)子問(wèn)題,若只考慮第 i 件物品的策略(放或不放),那么就可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)只和前 i ? 1 件物品相關(guān)的問(wèn)題。如果不放第 i 件物品,那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“前 i ? 1 件物品放入容量為 v 的背包中”,價(jià)值為 F [i ? 1, v] ;如果放第 i 件物品,那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“前 i ? 1 件物品放入剩下的容量為 v ? Ci 的背包中”,此時(shí)能獲得的最大價(jià)值就是 F [i ? 1, v ? Ci ] 再加上通過(guò)放入第 i 件物品獲得的價(jià)值 Wi 。
偽代碼如下:
F [0, 0..V ] ← 0
for i ← 1 to N
for v ← C i to V
F [i, v] ← max{F [i ? 1, v], F [i ? 1, v ? Ci ] + Wi }
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=v;j++)//考慮有商品體積為0,但是有價(jià)值的情況
{
if(j-vom[i]>=0)
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-vom[i]]+val[i]);
else dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
printf("%d\n",dp[n][v]);
1.3 優(yōu)化空間復(fù)雜度
以上方法的時(shí)間和空間復(fù)雜度均為 O(V N ) ,其中時(shí)間復(fù)雜度應(yīng)該已經(jīng)不能再優(yōu)化了,但空間復(fù)雜度卻可以?xún)?yōu)化到 O(V ) 。
先考慮上面講的基本思路如何實(shí)現(xiàn),肯定是有一個(gè)主循環(huán) i ← 1 . . . N ,每次算出來(lái)
二維數(shù)組 F [i, 0 . . . V ] 的所有值。那么,如果只用一個(gè)數(shù)組 F [0 . . . V ] ,能不能保證第 i
次循環(huán)結(jié)束后 F [v] 中表示的就是我們定義的狀態(tài) F [i, v] 呢? F [i, v] 是由 F [i ? 1, v] 和
F [i ? 1, v ? Ci ] 兩個(gè)子問(wèn)題遞推而來(lái),能否保證在推 F [i, v] 時(shí)(也即在第 i 次主循環(huán)中
推 F [v] 時(shí))能夠取用 F [i ? 1, v] 和 F [i ? 1, v ? Ci ] 的值呢?
事實(shí)上,這要求在每次主循環(huán)中我們以 v ← V . . . 0 的遞減順序計(jì)算 F [v] ,這樣才
能保證計(jì)算 F [v] 時(shí) F [v ? Ci ] 保存的是狀態(tài) F [i ? 1, v ? Ci] 的值。
偽代碼如下:
F [0..V ] ←0
for i ← 1 to N
for v ← V to C i
F [v] ← max{F [v], F [v ? Ci ] + W i }
其中的 F [v] ← max{F [v], F [v ? Ci ] + Wi } 一句,恰就對(duì)應(yīng)于我們?cè)瓉?lái)的轉(zhuǎn)移方程,因
為現(xiàn)在的 F [v ? Ci ] 就相當(dāng)于原來(lái)的 F [i ? 1, v ? Ci ] 。如果將 v 的循環(huán)順序從上面的逆
序改成順序的話,那么則成了 F [i, v] 由 F [i, v ? Ci ] 推導(dǎo)得到,與本題意不符。
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=v;j>=vom[i];j--)
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-vom[i]]+val[i]);
}
}
printf("%d\n",dp[v]);
1.4 初始化的細(xì)節(jié)問(wèn)題
我們看到的求最優(yōu)解的背包問(wèn)題題目中,事實(shí)上有兩種不太相同的問(wèn)法。有的題目
要求“恰好裝滿背包”時(shí)的最優(yōu)解,有的題目則并沒(méi)有要求必須把背包裝滿。一種區(qū)別
這兩種問(wèn)法的實(shí)現(xiàn)方法是在初始化的時(shí)候有所不同。
如果是第一種問(wèn)法,要求恰好裝滿背包,那么在初始化時(shí)除了 F [0] 為 0 ,其它
F [1..V ] 均設(shè)為 ?∞ ,這樣就可以保證最終得到的 F [V ] 是一種恰好裝滿背包的最優(yōu)解。
如果并沒(méi)有要求必須把背包裝滿,而是只希望價(jià)格盡量大,初始化時(shí)應(yīng)該將 F [0..V ]
全部設(shè)為 0 。
這是為什么呢?可以這樣理解:初始化的 F 數(shù)組事實(shí)上就是在沒(méi)有任何物品可以放
入背包時(shí)的合法狀態(tài)。如果要求背包恰好裝滿,那么此時(shí)只有容量為 0 的背包可以在什
么也不裝且價(jià)值為 0 的情況下被“恰好裝滿”,其它容量的背包均沒(méi)有合法的解,屬于
未定義的狀態(tài),應(yīng)該被賦值為 -∞ 了。如果背包并非必須被裝滿,那么任何容量的背包
都有一個(gè)合法解“什么都不裝”,這個(gè)解的價(jià)值為 0 ,所以初始時(shí)狀態(tài)的值也就全部為 0
了。
Bone Collector
不要求背包剛好裝滿時(shí)，dp[]全部初始化為0
#include <cstdio>
#include<algorithm>
#include<string.h>
//#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int t;
int dp[1010],val[1010],vom[1010];
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int n,v;
scanf("%d%d",&n,&v);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",val+i);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",vom+i);
}
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=v;j>=vom[i];j--)
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-vom[i]]+val[i]);
}
}
printf("%d\n",dp[v]);
}
}
0 1背包要求完全裝滿，dp[1,2,...v]初始化為-∞，dp[0]=0;
如果dp[v]<0，則表示體積為v的背包恰好裝滿是無(wú)解的
#include <cstdio>
#include<algorithm>
#include<string.h>
//#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int t;
int dp[1010],val[1010],vom[1010];
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int n,v;
scanf("%d%d",&n,&v);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",val+i);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",vom+i);
}
memset(dp,-0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
dp[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=v;j>=vom[i];j--)
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-vom[i]]+val[i]);
}
}
for(int i=0;i<=v;i++)
printf("v=%d,val=%d\n",i,dp[i]);
if(dp[v]<0) printf("No solution!\n");
else printf("%d\n",dp[v]);
}
}
/*
input:
1
5 10
1 2 3 4 5
2 4 6 7 8
output:
v=0,val=0
v=1,val=-1044266559
v=2,val=1
v=3,val=-1044266558
v=4,val=2
v=5,val=-1044266557
v=6,val=3
v=7,val=4
v=8,val=5
v=9,val=5
v=10,val=6
6
*/
1.5 一個(gè)常數(shù)優(yōu)化
ps:這段偽代碼中的Ｗi指的是體積(花費(fèi))，而不是價(jià)值
倒推 F(v) 需求出F(v-vom(n)),往后推 F(v-vom(n)),需求出F(v-vom(n)-vom(n-1)) 繼續(xù)往后推 則推到第i步 為v-sigma(vom[i...n])
這個(gè)優(yōu)化對(duì)V比較大時(shí)效果顯著
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=1010;
const int VOM=1010;
int dp[VOM];
int val[MAXN];
int vom[MAXN];
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int n,v,sumOfV=0;
scanf("%d%d",&n,&v);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",val+i);
}
vom[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",vom+i);
sumOfV+=vom[i];
}
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
sumOfV-=vom[i-1];
int tmp=max(v-sumOfV,vom[i]);
for(int j=v;j>=tmp;j--)
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-vom[i]]+val[i]);
}
}
printf("%d\n",dp[v]);
}
return 0;
}
