說(shuō)起數(shù)據(jù)庫(kù)，避免不了的要講索引。要真正理解索引，首先就得清楚B+樹(shù)的結(jié)構(gòu)等

B樹(shù)

B樹(shù)即B-樹(shù)，而不是兩種樹(shù)。

概念：一棵m階B樹(shù)是一棵平衡的m路搜索樹(shù)。
特點(diǎn)：

• m即所有節(jié)點(diǎn)中孩子節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的最大值
• 每個(gè)非根節(jié)點(diǎn)所包含的關(guān)鍵字個(gè)數(shù)j滿(mǎn)足：ceil(m/2) - 1 <= j <= m - 1（ceil為向上取整，即大于該數(shù)的最小整數(shù)）
• 節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)數(shù)會(huì)比關(guān)鍵字個(gè)數(shù)加1
• 根據(jù)以上兩條可以得出，每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多有m個(gè)分支，非根非葉節(jié)點(diǎn)至少有ceil(m/2)個(gè)分支

B樹(shù)的查找

B樹(shù)的查找還是很簡(jiǎn)單的，不再贅述。

其最低搜索性能：

B樹(shù)的插入

例：用1，2，6，7，11，4，8，13，10，5，17，9，16，20，3，12，14，18，19，15構(gòu)建5階B樹(shù)

因?yàn)闃?gòu)建5階的B樹(shù)，所以每個(gè)節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字個(gè)數(shù)范圍為[2,4]

插入11時(shí)，該節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字個(gè)數(shù)超出范圍，進(jìn)行分裂

之后直接插入4，8，13

當(dāng)插入10時(shí)，節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字個(gè)數(shù)再次超出范圍

將子節(jié)點(diǎn)分裂

直接插入5，17，9，16，插入20

關(guān)鍵字個(gè)數(shù)超出范圍，進(jìn)行分裂

繼續(xù)插入3

關(guān)鍵字個(gè)數(shù)超出范圍，進(jìn)行分裂

繼續(xù)插入15

關(guān)鍵個(gè)數(shù)超出范圍，進(jìn)行分裂

這時(shí)候根節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字個(gè)數(shù)也超出范圍，繼續(xù)分裂

B樹(shù)的刪除

對(duì)于B-樹(shù)關(guān)鍵字的刪除，需要找到待刪除的關(guān)鍵字，在結(jié)點(diǎn)中刪除關(guān)鍵字的過(guò)程也有可能破壞B-樹(shù)的特性，如舊關(guān)鍵字的刪除可能使得結(jié)點(diǎn)中關(guān)鍵字的個(gè)數(shù)少于規(guī)定個(gè)數(shù)，這是可能需要向其兄弟結(jié)點(diǎn)借關(guān)鍵字或者和其孩子結(jié)點(diǎn)進(jìn)行關(guān)鍵字的交換，也可能需要進(jìn)行結(jié)點(diǎn)的合并，其中，和當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的孩子進(jìn)行關(guān)鍵字交換的操作可以保證刪除操作總是發(fā)生在終端結(jié)點(diǎn)上。

從上面已經(jīng)構(gòu)建好的B樹(shù)中依次刪除8，16，15，4

刪除8：關(guān)鍵字8在葉子節(jié)點(diǎn)上，并且刪除后其所在結(jié)點(diǎn)中關(guān)鍵字的個(gè)數(shù)不會(huì)少于2，因此可以直接刪除。

刪除16：關(guān)鍵字16不在終端結(jié)點(diǎn)上，但是可以用17來(lái)覆蓋16，然后將原來(lái)的17刪除掉

刪除15：15雖然也在終端結(jié)點(diǎn)上，但是不能直接刪除，因?yàn)閯h除后當(dāng)前結(jié)點(diǎn)中關(guān)鍵字的個(gè)數(shù)小于2。這時(shí)需要向其兄弟結(jié)點(diǎn)借關(guān)鍵字，顯然應(yīng)該向其右兄弟來(lái)借關(guān)鍵字，因?yàn)樽笮值艿年P(guān)鍵字個(gè)數(shù)已經(jīng)是下限2.借關(guān)鍵字不能直接將18移到15所在的結(jié)點(diǎn)上，因?yàn)檫@樣會(huì)使得15所在的結(jié)點(diǎn)上出現(xiàn)比17大的關(guān)鍵字，所以正確的借法應(yīng)該是先用17覆蓋15，在用18覆蓋原來(lái)的17，最后刪除原來(lái)的18

刪除4：4在葉子節(jié)點(diǎn)上，但是此時(shí)4所在的節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字個(gè)數(shù)已經(jīng)到下限，需要借關(guān)鍵字，不過(guò)可以看到其左右兄弟節(jié)點(diǎn)已經(jīng)沒(méi)有多余的關(guān)鍵字可借。所以就需要進(jìn)行關(guān)鍵字的合并?？梢韵葘㈥P(guān)鍵字4刪除，然后將關(guān)鍵字5、6、7、9進(jìn)行合并作為一個(gè)節(jié)點(diǎn)鏈接在關(guān)鍵字3右邊的指針上，也可以將關(guān)鍵字1、2、3、5合并作為一個(gè)節(jié)點(diǎn)鏈接在關(guān)鍵字6左邊的指針上

顯然上述兩種情況下都不滿(mǎn)足B-樹(shù)的規(guī)定，即出現(xiàn)了非根的雙分支節(jié)點(diǎn)，需要繼續(xù)進(jìn)行合并

B+樹(shù)

一棵m階B+樹(shù)是一棵平衡的m路搜索樹(shù)

• 有k個(gè)子樹(shù)的中間節(jié)點(diǎn)包含有k個(gè)元素（B樹(shù)中是k-1個(gè)元素），每個(gè)元素不保存數(shù)據(jù)，只用來(lái)索引，所有數(shù)據(jù)都保存在葉子節(jié)點(diǎn)。
• ceil(m/2) <= j <= m
• 所有的葉子節(jié)點(diǎn)中包含了全部元素的信息，及指向含這些元素記錄的指針，且葉子結(jié)點(diǎn)本身依關(guān)鍵字的大小自小而大順序鏈接（葉子節(jié)點(diǎn)之間增加了橫向的指針）。
• 所有的中間節(jié)點(diǎn)元素都同時(shí)存在于子節(jié)點(diǎn)，在子節(jié)點(diǎn)元素中是最大（或最?。┰亍！驹谶@一點(diǎn)上有一些不同的說(shuō)法，其中一種說(shuō)法為，非葉子結(jié)點(diǎn)的子樹(shù)指針與關(guān)鍵字個(gè)數(shù)相同，非葉子結(jié)點(diǎn)的子樹(shù)指針P[i]，指向關(guān)鍵字值屬于[K[i], K[i+1])的子樹(shù)（B-樹(shù)是開(kāi)區(qū)間）】

按不同的說(shuō)法，以上兩種形式的B+樹(shù)應(yīng)該都對(duì)

B+的搜索與B-樹(shù)也基本相同，區(qū)別是B+樹(shù)只有達(dá)到葉子結(jié)點(diǎn)才命中（B-樹(shù)可以在非葉子結(jié)點(diǎn)命中），其性能也等價(jià)于在關(guān)鍵字全集做一次二分查找；

B+樹(shù)的查詢(xún)

B+樹(shù)的好處就體現(xiàn)在查詢(xún)性能上：

• 在單元素查詢(xún)的時(shí)候，B+樹(shù)會(huì)自頂向下逐層查找節(jié)點(diǎn)，最終找到匹配的葉子節(jié)點(diǎn)。比如拿上面的B+樹(shù)來(lái)進(jìn)行查詢(xún)：

現(xiàn)在要查找3：
第一次磁盤(pán)IO：

第二次磁盤(pán)IO：

第三次磁盤(pán)IO:

看到這里，可能會(huì)覺(jué)得查詢(xún)流程和B-樹(shù)差不多呀。
不，有兩點(diǎn)不同。首先，B+樹(shù)的中間節(jié)點(diǎn)沒(méi)有數(shù)據(jù)，只存儲(chǔ)索引，所以同樣大小的磁盤(pán)頁(yè)可以容納更大的節(jié)點(diǎn)元素。這就意味著，數(shù)據(jù)量相同的情況下，B+樹(shù)比B-樹(shù)更加“矮胖”，因此查詢(xún)時(shí)IO次數(shù)也更少。
其次，B+樹(shù)的查詢(xún)必須最終查詢(xún)到葉子節(jié)點(diǎn)，而B(niǎo)-樹(shù)只要找到匹配元素即可，無(wú)論匹配元素在葉子節(jié)點(diǎn)還是在中間節(jié)點(diǎn)。因此，B-樹(shù)的查找性能并不穩(wěn)定（最好的情況只查找根節(jié)點(diǎn)，最壞的情況查找到葉子節(jié)點(diǎn)）。而B(niǎo)+樹(shù)的每一次查找都是穩(wěn)定的。

B+樹(shù)查詢(xún)的優(yōu)勢(shì)更多的體現(xiàn)在范圍查詢(xún)上。比如現(xiàn)在要查詢(xún)3-11的元素。
B-樹(shù)的查找過(guò)程：
自頂向下查找到范圍的下限3：

中序遍歷到元素6：

中序遍歷到元素8：

中序遍歷到元素9：

中序遍歷到11，遍歷結(jié)束：

B-樹(shù)的范圍查詢(xún)是不是很繁瑣呢？
再來(lái)看看B+樹(shù)的范圍查詢(xún)。
自頂向下查找到范圍的下限3：

通過(guò)鏈表指針，遍歷到元素6，8：

通過(guò)鏈表指針，遍歷到元素9，11，遍歷結(jié)束：

B+樹(shù)的特征：
1、有k個(gè)子樹(shù)的中間節(jié)點(diǎn)包含有k個(gè)元素（B樹(shù)中是k-1個(gè)元素），每個(gè)元素不保存數(shù)據(jù)，只用來(lái)索引，所有元素都保存在葉子節(jié)點(diǎn)。
2、所有的葉子節(jié)點(diǎn)中保存了全部元素的信息，及指向含這些元素記錄的指針，且葉子節(jié)點(diǎn)本身依關(guān)鍵字的大小自小而大順序鏈接。
3、所有的中間節(jié)點(diǎn)元素都同時(shí)存在于子節(jié)點(diǎn)，在子節(jié)點(diǎn)元素節(jié)點(diǎn)中是最大（或最?。┰?。

B+樹(shù)的優(yōu)勢(shì)：
1、單一節(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)更多的元素，使得查詢(xún)的IO次數(shù)更少。
在數(shù)據(jù)庫(kù)檢索來(lái)說(shuō)，對(duì)于磁盤(pán)IO掃描時(shí)最消耗時(shí)間的，因?yàn)榇疟P(pán)掃描涉及很多物理特性，這些是相當(dāng)消耗時(shí)間的。所以B+樹(shù)設(shè)計(jì)的初衷就是最大限度的減少對(duì)于磁盤(pán)的掃描次數(shù)。如果一個(gè)表或索引沒(méi)有使用B+樹(shù)（對(duì)于沒(méi)有聚集索引的表是用堆heap存儲(chǔ)），那么查找一個(gè)數(shù)據(jù)，需要在整個(gè)表包含的數(shù)據(jù)庫(kù)頁(yè)中全盤(pán)掃描。這無(wú)疑會(huì)大大加重IO負(fù)擔(dān)，而使用B+樹(shù)進(jìn)行存儲(chǔ)，則僅僅需要將B+樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)存入內(nèi)存中，經(jīng)過(guò)幾次查找后就可以找到存放需要數(shù)據(jù)的被葉子結(jié)點(diǎn)包含的頁(yè)，進(jìn)而避免了全盤(pán)掃描從而提高了性能。
2、所有查詢(xún)都要查詢(xún)到葉子節(jié)點(diǎn)，查詢(xún)性能更穩(wěn)定。
3、所有葉子節(jié)點(diǎn)形成有序鏈表，便于范圍查詢(xún)。

B+樹(shù)的插入

1）若為空樹(shù)，創(chuàng)建一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，然后將記錄插入其中，此時(shí)這個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)也是根結(jié)點(diǎn)，插入操作結(jié)束。
2）針對(duì)葉子類(lèi)型結(jié)點(diǎn)：根據(jù)key值找到葉子結(jié)點(diǎn)，向這個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)插入記錄。插入后，若當(dāng)前結(jié)點(diǎn)key的個(gè)數(shù)小于等于m-1，則插入結(jié)束。否則將這個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)分裂成左右兩個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，左葉子結(jié)點(diǎn)包含前m/2+1個(gè)記錄，右結(jié)點(diǎn)包含剩下的記錄，將第m/2+1個(gè)記錄的key進(jìn)位到父結(jié)點(diǎn)中（父結(jié)點(diǎn)一定是索引類(lèi)型結(jié)點(diǎn)），進(jìn)位到父結(jié)點(diǎn)的key左孩子指針向左結(jié)點(diǎn),右孩子指針向右結(jié)點(diǎn)。將當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的指針指向父結(jié)點(diǎn)，然后執(zhí)行第3步。
3）針對(duì)索引類(lèi)型結(jié)點(diǎn)：若當(dāng)前結(jié)點(diǎn)key的個(gè)數(shù)小于等于m-1，則插入結(jié)束。否則，將這個(gè)索引類(lèi)型結(jié)點(diǎn)分裂成兩個(gè)索引結(jié)點(diǎn)，左索引結(jié)點(diǎn)包含前(m-1)/2個(gè)key，右結(jié)點(diǎn)包含m-(m-1)/2個(gè)key，將第m/2個(gè)key進(jìn)位到父結(jié)點(diǎn)中，進(jìn)位到父結(jié)點(diǎn)的key左孩子指向左結(jié)點(diǎn), 進(jìn)位到父結(jié)點(diǎn)的key右孩子指向右結(jié)點(diǎn)。將當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的指針指向父結(jié)點(diǎn)，然后重復(fù)第3步。

往下圖的3階B+樹(shù)中插入9

首先查找9應(yīng)插入的葉節(jié)點(diǎn)，插入發(fā)現(xiàn)沒(méi)有破壞B+樹(shù)的性質(zhì)，插入完畢。

往下圖的3階B+樹(shù)中插入20

首先查找20應(yīng)插入的葉節(jié)點(diǎn)，插入：

發(fā)現(xiàn)第二個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)已經(jīng)破壞了B+樹(shù)的性質(zhì)，則分解成[20,21],[37,44]兩個(gè)，并把21往父節(jié)點(diǎn)移。

發(fā)現(xiàn)父節(jié)點(diǎn)也破壞了B+樹(shù)的性質(zhì)，則把父節(jié)點(diǎn)再分解成[15,21],[44,59],并把21往父節(jié)點(diǎn)移。

往下圖的3階B+樹(shù)插入100

首先查找100應(yīng)插入的節(jié)點(diǎn)，插入

修改其所有父節(jié)點(diǎn)的的鍵值為100（只有插入比當(dāng)前樹(shù)的最大數(shù)大的數(shù)時(shí)要做此步驟）

拆分節(jié)點(diǎn)

B+樹(shù)的刪除

刪除下圖3階B+樹(shù)的關(guān)鍵字91

首先找到91所在的節(jié)點(diǎn)，刪除，沒(méi)有破壞B+樹(shù)的性質(zhì)，完畢

刪除下圖3階B+樹(shù)的關(guān)鍵字97

首先找到97所在的葉子節(jié)點(diǎn)，刪除，然后修改該節(jié)點(diǎn)的所有父節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字為91（只有刪除樹(shù)中最大的關(guān)鍵字需要做此步驟）

刪除下圖3階B+樹(shù)的關(guān)鍵字51

首先找到51所在的葉子節(jié)點(diǎn)，刪除

破壞了B+樹(shù)的性質(zhì)，向該節(jié)點(diǎn)的兄弟節(jié)點(diǎn)（左節(jié)點(diǎn)或右節(jié)點(diǎn)）借節(jié)點(diǎn)44，并修改相應(yīng)鍵值。

刪除下圖3階B+樹(shù)的關(guān)鍵字59

首先找到59所在的葉子節(jié)點(diǎn)

破壞B+樹(shù)的性質(zhì)，嘗試借節(jié)點(diǎn)，無(wú)效（因?yàn)樽笮值芄?jié)點(diǎn)被借也會(huì)破壞B+樹(shù)的性質(zhì)），合并第二、第三葉節(jié)點(diǎn)，并調(diào)整鍵值

刪除下圖3階B+樹(shù)的關(guān)鍵字63

首先找到63所在的葉節(jié)點(diǎn)，刪除

合并第四、第五節(jié)點(diǎn)并調(diào)整鍵值

第二層的第二個(gè)節(jié)點(diǎn)不滿(mǎn)足B+樹(shù)的性質(zhì)，從第二層的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)借59并調(diào)整鍵值

B*樹(shù)

B*樹(shù)是B+樹(shù)的變體，在B+樹(shù)的非根非葉子節(jié)點(diǎn)中再增加指向兄弟節(jié)點(diǎn)的指針。B*樹(shù)定義了非葉子結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字個(gè)數(shù)至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3（代替B+樹(shù)的1/2）。