Euclidean -- (歐幾里得算法、輾轉相除法)
假設兩個數a,b且a>b。 設a除以b商k，余數為r，那么會有a=k*b+r，那么b和r的最大公約數，就是a和b的最大公約數。所以問題就轉換成求除數和余數的最大公約數，依次遞歸，遞歸的出口就是一個已知的條件：如果a能夠被b整除,那么b就是a和b的最大公約數。
證明：
不妨設A > B，設A和B的最大公約數為X，所以 A=aX，B=bX，其中a和b都為正整數且a>b。
A除以B的余數： R = A - k*B，其中k為正整數是A除以B的商，所以
R=A?k?B=aX?kbX=(a?kb)X
因為a、k、b均為正整數，所以R也能被X整除
即A、B、R的公約數相同，所以有gcd(A，B) = gcd(B，A mod B)
Code
- Recursion (遞歸)
int euclidean_Recursion(int m, int n)
{
int max = m > n ? m : n;
int min = m < n ? m : n;
if (min == 0)
return max;
return euclidean_Recursion(min, max % min);
}
- Non-Recursion （非遞歸）
int euclidean_nonRecursion(int m, int n)
{
int max = m > n ? m : n;
int min = m < n ? m : n;
while (min != 0) {
int remainder = max % min;
max = min;
min = remainder;
}
return max;
}
求多個數的最大公約數，可以將多個數兩兩分組，再用歐幾里得算法進行求取。
Stein algorithm
歐幾里德算法是計算兩個數最大公約數的傳統算法，無論從理論還是從實際效率上都是很好的。但是卻有一個致命的缺陷，這個缺陷在素數比較小的時候一般是感覺不到的，只有在大素數時才會顯現出來：一般實際應用中的整數很少會超過64位（當然現在已經允許128位了），對于這樣的整數，計算兩個數之間的模是很簡單的。對于字長為32位的平臺，計算兩個不超過32位的整數的模，只需要一個指令周期，而計算64位以下的整數模，也不過幾個周期而已。但是對于更大的素數，這樣的計算過程就不得不由用戶來設計，為了計算兩個超過64位的整數的模，用戶也許不得不采用類似于多位數除法手算過程中的試商法，這個過程不但復雜，而且消耗了很多CPU時間。對于現代密碼算法，要求計算128位以上的素數的情況比比皆是，比如說RSA加密算法至少要求500bit密鑰長度，設計這樣的程序迫切希望能夠拋棄除法和取模。
Stein算法很好的解決了歐幾里德算法中的這個缺陷，Stein算法只有整數的移位和加減法。下面就來說一下Stein算法的原理：
若a和b都是偶數，則記錄下公約數2，然后都除以2（即右移1位）；
若只有一個數是偶數，則偶數除以2，因為此時2不可能是這兩個數的公約數了；
若兩個都是奇數，則a = |a-b|，b = min(a,b)，因為若d是a和b的公約數，那么d也是|a-b|和min(a,b)的公約數。
這里面可能就第三句話難理解一點，這里進行簡單的證明：
不妨設奇數A>B，A和B的公約數為X，即A=jX，B=kX，其中j，k均為正整數且j>k,A ? B = (j ? k)X
因為j，k均為整數，所以X也是A-B的公約數。
min(A,B)=B
所以A-B與min(A,B)公約數相同，因為A，B都是奇數，所以A-B必然是偶數，偶數又可以二除移位了。
Code
- Recursion
int stein_recursion(int m, int n)
{
int min = m > n ? n : m;
if (min == 0)
{
// return the another value.
return m + n - min;
}
if ((m & 1) == 0 && (n & 1) == 0)
{
// m and n are all even number.
return stein_recursion(m >> 1, n >> 1) << 1;
}
else if ((m & 1) != 0 && (n & 1) == 0)
{
// m is odd number, n is even number.
return stein_recursion(m, n >> 1);
}
else if ((m & 1) == 0 && (n & 1) == 0)
{
// m is even number, n is odd number.
return stein_recursion(m >> 1, n);
}
else
{
return stein_recursion(abs(m - n), min);
}
}
- Non-Recursion
int stein_nonRecursion(int m, int n)
{
int min, m_temp, acc = 0;
if (m == 0 || n == 0)
{
printf("0 with any other number doesn't have the greatest common divisor!\n");
exit(EXIT_FAILURE);
}
while ((m & 1) == 0 && (n & 1) == 0)
{
m >>= 1;
n >>= 1;
// Record the times of simultaneous right shift of m and n.
++acc;
}
do
{
while ((m & 1) == 0) {
m >>= 1;
}
while ((n & 1) == 0) {
n >>= 1;
}
m_temp = m;
m = abs(m - n);
n = m_temp > n ? n : m_temp;
min = m > n ? n : m;
} while (min != 0);
return (m + n - min) << acc;
}
計算最小公倍數
計算出這些數的最大公約數;
將這些數的乘積除以它們的最大公約數，即得最小公倍數。
