1、關于理發師悖論
在一個村子里有一位理發師，這位理發師聲稱：“給而且只給那些不給自己理發的人理發”。現在問理發師是否要給自己理發。如果理發師不給自己理發，那么根據定義，他要給自己理發；如果理發師給自己理發，那么根據定義，他不能給自己理發。這就是著名的“理發師悖論”。
當前主流的解悖方案是蒯因的方案。蒯因的論證過程：假設村子里有如此一位理發師。如果他要給自己理發，根據他的規則，他不給自己理發。如果他不給自己理發，根據他的規則，他要給自己理發。矛盾。因此假設不成立，如此一位理發師不存在。
這個論證過程是錯誤的，因為矛盾并不是來源于理發師存在這個前提。其實，理發師給出的規則對于“理發師要不要給自己理發” 沒有定義，只是給出了一個矛盾式。如果認為存在定義，就會產生矛盾。這才是矛盾的根源。所以，矛盾說明的是理發師并沒有為“是否給自己理發”給出規則。如何解決呢？很簡單，關于“理發師是否給自己理發”，理發師可以再制定一個新規則。
2、維氏對于數學基礎：數學家更多是在發明
從羅素時代至今，很多學者會認為數學家的工作是在發現真理。但在維氏看來，數學家的工作更多的是在發明。
維特根斯坦反復強調：“數學家不是發現者，而是發明者。”，又說“數學家一直在發明新的描述形式。有的人受實際需要的刺激，另一些人出自審美需要，還有些人以其他種種方式。”
數學家的工作與純邏輯家的工作不同，他們并不只是進行分析與推理，更重要的是進行綜合與創造，歐氏幾何與非歐氏幾何的公理都是綜合與創造。當數學家在概念框架內推演定理，他們是在進行分析與推理，這時候比較接近于“發現”。當數學家在給出定義、公理與概念框架的時候，他們是在綜合與創造，這時候比較適用于“發明”。
所謂的發現觀，就是數學理論本來就在那里，就像是客觀真理或者上帝旨意，而數學家發現了它。所謂的發明觀，就是數學理論本來是沒有的，數學家發明了它構造了它甚至可以改變它。
3、關于羅素悖論
理發師悖論可以表達成集合論的形式，就是羅素悖論。
R={x | x不屬于x }，然后現在問R是否屬于R。如果R不屬于R，那么根據定義，R屬于R；如果R屬于R，那么根據定義，R不屬于R。
基于這兩種不同的數學哲學基礎，面對悖論問題時，可以得出很不相同的分析方式和解決方式。一百年前出現羅素悖論的時候，數學家們普通接受“發現”的數學哲學觀點，當數學出現悖論的時候，就覺得天塌下來了：我的上帝，是不是客觀真理出問題了，或者上帝旨意出問題了？如果是以維氏“發明”的數學哲學觀點，就覺得沒有什么大不了的，根本不是客觀真理出問題了，而是數學家主觀觀念出問題了。數學家構造的規則矛盾了，在矛盾的地方再構造一個新規則就是了。
舉個例子，就像一開始根據乘法來定義除法a/b=c iff a=b*c，就會得出0/0=2=3這樣的矛盾。怎么解決這里的矛盾呢？難道要取消所有的除法？當然不是了，只需要在矛盾的地方重新定義一下：0不能作除數。瞧，問題就解決了。
那么，具體到羅素悖論，如何分析和解決呢？很簡單，R是數學家發明構造的，數學家給出的規則對于“R是否屬于R” 給出了一個矛盾式的規則，相當于沒有定義。沒有定義起碼有三種可能性：缺少定義，重言定義，矛盾定義。例如對于變量x沒有任何定義，這是缺少定義；對于x定義為x，這是重言定義；對于x定義為（x=0 if x=1 and x=1 if x=0），這是矛盾定義。這三種定義，都沒有給出正確的定義。
那么，如何解決羅素悖論呢？很簡單，對于“R是否屬于R”此處進行重新定義，屬于不屬于都可以，或者說此處沒有意義也可以。數學家構造的理論出現矛盾了，就像人們講話出現了矛盾了一樣，解決的方法很簡單：“對不起，我沒有注意到這里有矛盾，我重新說明一下，此處應該是如此如此。。。”
如果你認為數學家是在發現客觀真理，那么你就不會接受維氏的分析和解決。如果你認為數學家是在發明主觀理論，那么維氏的分析和解決再清楚再簡單再合理不過了。
愛因斯坦說：“我們面對的重大問題無法在我們制造出這些問題的思考層次上解決。”
有時候，數學的問題，應該在數學之外得到解決。
進一步參閱：
1、莊朝暉，基于對角線引理和維特根斯坦思想對于悖論的分析，第六屆全國分析哲學學術研討會，山西大學，中國，2010年8月（入選《中國分析哲學 2010》，中國現代外國哲學學會分析哲學專業委員會編，浙江大學出版社，2011年10月，67頁-76頁）
2、 莊朝暉，關于對角線方法和停機問題的評論，第五屆兩岸邏輯教學與研究學術會議，重慶西南大學，2012年4月.
3、莊朝暉，基于直覺主義對哥德爾不完全性定理的評論，《廈門大學學報（哲社版）》，第2期，2008（并以此文獲得首屆洪謙哲學論文獎）
