丟人了，Projece Euler 上的第 31 問做了兩天都還沒搞定。不難啊，可腦子就是想不清楚，唉，老矣。
題目是這樣的：
現有面值為1分、2分、5分、10分、20分、50分、1磅（100分）、2磅（200分）的硬幣，問2磅錢可以有多少種兌換方案？
這是經典的找零錢問題。
我是這么考慮的，既然要求所有的兌換方案，那我只要把問題規約到這些面額組成的集合的子集上就行了。當我用某一子集來兌換時，該子集上的每種硬幣至少含1枚。 我們來看個簡化的實例：現有1分、2分和5分三種硬幣，兌換10分錢有多少種方法？
- 當我們去集合
{1, 2, 5}時，因為5+2+1已經是 8 了，故只要再加上2的方案，即，5+2+2+1,5+2+1+1+1； - 當我們去集合
{2, 5}時，因為5+2=7，而 3 不可能用{2, 5}的整數線性組合來得到，故在這種情況下不存在兌換方案； - 當我們去集合
{1, 5}時，方案為：5+1+1+1+1+1； - 當我們去集合
{1, 2}時，方案為：2+2+2+2+1+1,2+2+2+1+1+1+1,2+2+1+1+1+1+1+1,2+1+1+1+1+1+1+1+1； - 當我們去集合
{5}時，方案為：5+5； - 當我們去集合
{2}時，方案為：2+2+2+2+2； - 當我們去集合
{1}時，方案為：1+1+1+1+1+1+1+1+1+1；
共 10 種方案。
遞歸解法
但其實不用這么麻煩，設可選的硬幣面值分別為{S_1, S_2, ..., S_m}，用這些面額的硬幣來兌換n分錢有count(n, {S_1, S_2, ..., S_m})種方法。有兩種不同的兌換方式：
- 兌換的硬幣面額中沒有
S_m，即count(n, {S_1, S_2, ..., S_{m-1}})； - 兌換的零錢中至少有一枚
S_m分的硬幣，即count(n-S_m, {S_1, S_2, ..., S_m})。
可我有個疑問，對于第二種情況，count(n-S_m, {S_1, S_2, ..., S_m})真的能代表包含S_m分硬幣的所有方案嗎？我們需要論證，在只使用{S_1, S_2, ..., S_m}硬幣時，含S_m分硬幣的n分兌換方案數不比n-S_m分的少。
用反證法，如果n-S_m分的方案數比n分的多，那么在多的那些方案中添上一枚S_m分硬幣即可得到新的兌換方案，矛盾。同樣，如果n-S_m分的方案數比n分的少，那么在n分兌換方案中多的那些方案中剔除一枚S_m分硬幣（這些方案至少有一枚S_m分硬幣）即可得到新n-S_m分兌換方案，也矛盾。
這里還隱含了：count(S_m-S_m, {S_1, S_2, ..., S_m}) = 1
還是那個例子：
1-
2,1+1 -
2+1,1+1+1 -
2+2,2+1+1,1+1+1+1 -
5,2+2+1,2+1+1+1,1+1+1+1+1 -
5+1,2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1,1+1+1+1+1+1 -
5+2,5+1+1,2+2+2+1,2+2+1+1+1,2+1+1+1+1+1,1+1+1+1+1+1+1 -
5+2+1,5+1+1+1,2+2+2+2,2+2+2+1+1,2+2+1+1+1+1,2+1+1+1+1+1+1,1+1+1+1+1+1+1+1 -
5+2+2,5+2+1+1,5+1+1+1+1,2+2+2+2+1,2+2+2+1+1+1,2+2+1+1+1+1+1,2+1+1+1+1+1+1+1,1+1+1+1+1+1+1+1+1 -
5+5,5+2+2+1,5+2+1+1+1,5+1+1+1+1+1,2+2+2+2+2,2+2+2+2+1+1,2+2+2+1+1+1+1,2+2+1+1+1+1+1+1,2+1+1+1+1+1+1+1+1,1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
以 6 為例，兌換方案分為兩組：
一組是6中不含{5}的兌換方案：2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1；
一組是6 - 5的兌換方案加上5：1+5；
生成函數解法
另一種思路來自生成函數：
要想知道為什么系數就是兌換方案的種數，請參閱：組合數學中的生成函數、什么是生成函數？
Mathematica代碼：
最后給幾個作弊招數：
Length@FrobeniusSolve[{1,2,5,10,20,50,100,200},200]
Length[IntegerPartitions[200, All, {1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200}]]
Length[Reduce[
1*a + 2*b + 5*c + 10*d + 20*e + 50*f + 100*g + 200*h == 200 &&
a >= 0 && b >= 0 && c >= 0 && d >= 0 && e >= 0 && f >= 0 &&
g >= 0 && h >= 0, {a, b, c, d, e, f, g, h}, Integers]]
P.S. CSDN 的編輯器實在太爛了-_-！
