題目

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.
Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

example

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
The median is 2.0

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
The median is (2 + 3)/2 = 2.5

分析

這是leetcode上的第4題，難度為hard，就是兩有序數組的中值（中位數）。暴力做法是將兩數組歸并排序成一個有序數組，接著就可以找到中位數，但是時間復雜度O(m*n)，空間復雜度O(m+n)。題目要求的時間復雜度O(log (m+n))，算法的時間復雜度中有log，多是用了分治法的思想。

考慮A和B兩個有序數組：

• 1、如果A的中位數小于B的中位數，那么A和B合一起后的中位數肯定存在于A的后半段和B的前半段。
• 2、如果A的中位數大于B的中位數，那么A和B合一起后的中位數肯定存在于A的前半段和B的后半段。
• 3、如果A的中位數等于B的中位數，那A和B合一起的中位數就等于A中的中位數，也等于B中的中位數。
  這樣就可以不斷縮小中位數在A和B中的區間，這也是二分遞歸的主要思想,更細的在代碼中有注釋。

js實現

不帶注釋版：

/**
 * @param {number[]} nums1
 * @param {number[]} nums2
 * @return {number}
 */
var getMedian = function(arr1,start1,len1,arr2,start2,len2,k){
    if(len1 - start1 > len2 -start2)
        return getMedian(arr2, start2, len2, arr1, start1, len1, k);
    if(len1 - start1 == 0)
        return arr2[k - 1];
    if(k == 1)
        return arr1[start1] > arr2[start2] ? arr2[start2] : arr1[start1]; 
    var p1 = start1 + (len1 - start1 < parseInt(k / 2) ? len1 - start1 : parseInt(k / 2)); 
    var p2 = start2 + k - p1 + start1;
    if(arr1[p1 - 1] < arr2[p2 - 1])
        return getMedian(arr1,  p1, len1, arr2, start2, len2, k - p1 + start1);
        else if(arr1[p1 - 1] > arr2[p2 -1])
            return getMedian(arr1, start1, len1, arr2, p2, len2, k - p2 + start2);
        else
            return arr1[p1 - 1];
}
var findMedianSortedArrays = function(nums1, nums2) {
    var len1 = nums1.length;
    var len2 = nums2.length;
    var size = len1 + len2;
    if(size % 2 == 1)
        return getMedian(nums1, 0, len1, nums2, 0, len2, parseInt(size / 2 + 1));
    else
        return (getMedian(nums1, 0, len1, nums2, 0, len2, parseInt(size / 2)) + getMedian(nums1, 0, len1, nums2, 0, len2, parseInt(size / 2 + 1))) /2;
};

帶注釋版：

/**
 * @param {number[]} nums1
 * @param {number[]} nums2
 * @return {number}
 */
var getMedian = function(arr1,start1,len1,arr2,start2,len2,k){
/*
這里的k就相對于是每次遞歸要尋找的第k小值，比如第一次開始，就相對于是尋找第parseInt(size / 2 + 1)小值或者第parseInt(size / 2)小值。
每次遞歸都會根據二分時重新確定的arr1和arr2的區間和k的值。start1和start2之前的元素都被排除
其中k = k - 此次遞歸中舍棄的那段里面元素都小于中位數的區間的長度
*/
    if(len1 - start1 > len2 -start2)
        //這樣讓后續的遞歸中保證arr1是較短的那個，這樣可以省去一些重復的判斷
        return getMedian(arr2, start2, len2, arr1, start1, len1, k);
    if(len1 - start1 == 0)
        //表明arr1中可能存在中位數的區間長度為0，即此次遞歸中的第k小值只可能存在arr2中，arr2有序，所以就是arr2[k - 1]
        return arr2[k - 1];
    if(k == 1)
        //經過上面的if判斷，此時中位數可能存在A或B中，不斷遞歸k值不斷縮小。
        //此次遞歸要求第1小值，那就直接把arr1和arr2的第一個元素比較一下，返回較小的那個。
        return arr1[start1] > arr2[start2] ? arr2[start2] : arr1[start1]; 
    var p1 = start1 + (len1 - start1 < parseInt(k / 2) ? len1 - start1 : parseInt(k / 2)); //arr1中位數的位置，因為arr1是較短的那個數組，所以需要加個判斷
    var p2 = start2 + k - p1 + start1;//arr2中位數的位置
    if(arr1[p1 - 1] < arr2[p2 - 1])//因為數組元素index從0開始，所以減一，這里if、if else和else對應的三種情況就是分析中的主要思想
        return getMedian(arr1,  p1, len1, arr2, start2, len2, k - p1 + start1);
        else if(arr1[p1 - 1] > arr2[p2 -1])
            return getMedian(arr1, start1, len1, arr2, p2, len2, k - p2 + start2);
        else
            return arr1[p1 - 1];
}
var findMedianSortedArrays = function(nums1, nums2) {
    var len1 = nums1.length;
    var len2 = nums2.length;
    var size = len1 + len2;
    if(size % 2 == 1)
        //如果A和B長度之和為奇數，則中位數只有一個
        return getMedian(nums1, 0, len1, nums2, 0, len2, parseInt(size / 2 + 1));
    else
        //如果A和B長度之和為偶數，則中位數為最中間兩數的平均值
        return (getMedian(nums1, 0, len1, nums2, 0, len2, parseInt(size / 2)) + getMedian(nums1, 0, len1, nums2, 0, len2, parseInt(size / 2 + 1))) /2;
};

總結

二分通過遞歸不斷縮小問題的規模，效率比暴力歸并排序要高，但是同樣需要注意數組長度的奇偶和邊界。還有就是js里的k/2是不會自動取整的，所以需要用parseInt處理一下。