題目
There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.
Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).
example
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
The median is 2.0
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
The median is (2 + 3)/2 = 2.5
分析
這是leetcode上的第4題，難度為hard，就是兩有序數(shù)組的中值（中位數(shù)）。暴力做法是將兩數(shù)組歸并排序成一個有序數(shù)組，接著就可以找到中位數(shù)，但是時間復(fù)雜度O(m*n)，空間復(fù)雜度O(m+n)。題目要求的時間復(fù)雜度O(log (m+n))，算法的時間復(fù)雜度中有log，多是用了分治法的思想。
考慮A和B兩個有序數(shù)組：
- 1、如果A的中位數(shù)小于B的中位數(shù)，那么A和B合一起后的中位數(shù)肯定存在于A的后半段和B的前半段。
- 2、如果A的中位數(shù)大于B的中位數(shù)，那么A和B合一起后的中位數(shù)肯定存在于A的前半段和B的后半段。
- 3、如果A的中位數(shù)等于B的中位數(shù)，那A和B合一起的中位數(shù)就等于A中的中位數(shù)，也等于B中的中位數(shù)。
這樣就可以不斷縮小中位數(shù)在A和B中的區(qū)間，這也是二分遞歸的主要思想,更細的在代碼中有注釋。
js實現(xiàn)
不帶注釋版：
/**
* @param {number[]} nums1
* @param {number[]} nums2
* @return {number}
*/
var getMedian = function(arr1,start1,len1,arr2,start2,len2,k){
if(len1 - start1 > len2 -start2)
return getMedian(arr2, start2, len2, arr1, start1, len1, k);
if(len1 - start1 == 0)
return arr2[k - 1];
if(k == 1)
return arr1[start1] > arr2[start2] ? arr2[start2] : arr1[start1];
var p1 = start1 + (len1 - start1 < parseInt(k / 2) ? len1 - start1 : parseInt(k / 2));
var p2 = start2 + k - p1 + start1;
if(arr1[p1 - 1] < arr2[p2 - 1])
return getMedian(arr1, p1, len1, arr2, start2, len2, k - p1 + start1);
else if(arr1[p1 - 1] > arr2[p2 -1])
return getMedian(arr1, start1, len1, arr2, p2, len2, k - p2 + start2);
else
return arr1[p1 - 1];
}
var findMedianSortedArrays = function(nums1, nums2) {
var len1 = nums1.length;
var len2 = nums2.length;
var size = len1 + len2;
if(size % 2 == 1)
return getMedian(nums1, 0, len1, nums2, 0, len2, parseInt(size / 2 + 1));
else
return (getMedian(nums1, 0, len1, nums2, 0, len2, parseInt(size / 2)) + getMedian(nums1, 0, len1, nums2, 0, len2, parseInt(size / 2 + 1))) /2;
};
帶注釋版：
/**
* @param {number[]} nums1
* @param {number[]} nums2
* @return {number}
*/
var getMedian = function(arr1,start1,len1,arr2,start2,len2,k){
/*
這里的k就相對于是每次遞歸要尋找的第k小值，比如第一次開始，就相對于是尋找第parseInt(size / 2 + 1)小值或者第parseInt(size / 2)小值。
每次遞歸都會根據(jù)二分時重新確定的arr1和arr2的區(qū)間和k的值。start1和start2之前的元素都被排除
其中k = k - 此次遞歸中舍棄的那段里面元素都小于中位數(shù)的區(qū)間的長度
*/
if(len1 - start1 > len2 -start2)
//這樣讓后續(xù)的遞歸中保證arr1是較短的那個，這樣可以省去一些重復(fù)的判斷
return getMedian(arr2, start2, len2, arr1, start1, len1, k);
if(len1 - start1 == 0)
//表明arr1中可能存在中位數(shù)的區(qū)間長度為0，即此次遞歸中的第k小值只可能存在arr2中，arr2有序，所以就是arr2[k - 1]
return arr2[k - 1];
if(k == 1)
//經(jīng)過上面的if判斷，此時中位數(shù)可能存在A或B中，不斷遞歸k值不斷縮小。
//此次遞歸要求第1小值，那就直接把arr1和arr2的第一個元素比較一下，返回較小的那個。
return arr1[start1] > arr2[start2] ? arr2[start2] : arr1[start1];
var p1 = start1 + (len1 - start1 < parseInt(k / 2) ? len1 - start1 : parseInt(k / 2)); //arr1中位數(shù)的位置，因為arr1是較短的那個數(shù)組，所以需要加個判斷
var p2 = start2 + k - p1 + start1;//arr2中位數(shù)的位置
if(arr1[p1 - 1] < arr2[p2 - 1])//因為數(shù)組元素index從0開始，所以減一，這里if、if else和else對應(yīng)的三種情況就是分析中的主要思想
return getMedian(arr1, p1, len1, arr2, start2, len2, k - p1 + start1);
else if(arr1[p1 - 1] > arr2[p2 -1])
return getMedian(arr1, start1, len1, arr2, p2, len2, k - p2 + start2);
else
return arr1[p1 - 1];
}
var findMedianSortedArrays = function(nums1, nums2) {
var len1 = nums1.length;
var len2 = nums2.length;
var size = len1 + len2;
if(size % 2 == 1)
//如果A和B長度之和為奇數(shù)，則中位數(shù)只有一個
return getMedian(nums1, 0, len1, nums2, 0, len2, parseInt(size / 2 + 1));
else
//如果A和B長度之和為偶數(shù)，則中位數(shù)為最中間兩數(shù)的平均值
return (getMedian(nums1, 0, len1, nums2, 0, len2, parseInt(size / 2)) + getMedian(nums1, 0, len1, nums2, 0, len2, parseInt(size / 2 + 1))) /2;
};
總結(jié)
二分通過遞歸不斷縮小問題的規(guī)模，效率比暴力歸并排序要高，但是同樣需要注意數(shù)組長度的奇偶和邊界。還有就是js里的k/2是不會自動取整的，所以需要用parseInt處理一下。
