0. 定義

又叫二叉排序樹(Binary Sort Tree)、二叉搜索樹(Binary Search Tree)， 即BST

二叉排序樹或者是一棵空樹，或者是具有下列性質(zhì)的二叉樹：

1. 若左子樹不空，則左子樹上所有結(jié)點(diǎn)的值均小于或等于它的根結(jié)點(diǎn)的值；
2. 若右子樹不空，則右子樹上所有結(jié)點(diǎn)的值均大于或等于它的根結(jié)點(diǎn)的值；
3. 左、右子樹也分別為二叉排序樹；

1. 插入節(jié)點(diǎn)

插入的節(jié)點(diǎn)一定是葉子節(jié)點(diǎn)，可以直接和節(jié)點(diǎn)的key對(duì)比，然后遞歸搜索左/右子樹即可

BiTree *insertBST(BiTree *t, int key) {
    if (t == NULL) {
        t = new BiTree();
        t->lchild = t->rchild = NULL;
        t->key = key;
        return t;
    }
    if (key < t->key) {
        t->lchild = insertBST(t->lchild, key);
    } else {
        t->rchild = insertBST(t->rchild, key);
    }

    return t;
}

2. 刪除節(jié)點(diǎn)

在二叉排序樹刪去一個(gè)結(jié)點(diǎn)，分三種情況討論：

1. 若*p結(jié)點(diǎn)為葉子結(jié)點(diǎn)，即PL(左子樹)和PR(右子樹)均為空樹。由于刪去葉子結(jié)點(diǎn)不破壞整棵樹的結(jié)構(gòu)，則可以直接刪除此子結(jié)點(diǎn)。
2. 若*p結(jié)點(diǎn)只有左子樹PL或右子樹PR，此時(shí)只要令PL或PR直接成為其雙親結(jié)點(diǎn)*f的左子樹（當(dāng)*p是左子樹）或右子樹（當(dāng)*p是右子樹）即可，作此修改也不破壞二叉排序樹的特性。
3. 若*p結(jié)點(diǎn)的左子樹和右子樹均不空。在刪去*p之后，為保持其它元素之間的相對(duì)位置不變，可按中序遍歷保持有序進(jìn)行調(diào)整，可以有兩種做法：
   • 3.1 其一是令*p的左子樹為*f的左/右(依*p是*f的左子樹還是右子樹而定)子樹，*s為*p左子樹的最右下的結(jié)點(diǎn)，而*p的右子樹為*s的右子樹；
   • 3.2 其二是令*p的直接前驅(qū)（或直接后繼）替代*p，然后再從二叉排序樹中刪去它的直接前驅(qū)（或直接后繼）－即讓*f的左子樹(如果有的話)成為*p左子樹的最左下結(jié)點(diǎn)(如果有的話)，再讓*f成為*p的左右結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。

bool deleteBST(BiTree *t) {
    BiTree *q, *s;
    //如果只有右子樹
    if (t->lchild == NULL) {
        q = t;
        t = t->rchild;
        delete q;
    //如果只有左子樹
    } else if (t->rchild == NULL) {
        q = t;
        t = t->lchild;
        delete q;
    //左右子樹都不為空
    } else {
        q = t;
        s = t->lchild;
        //找到節(jié)點(diǎn)t的前驅(qū)
        while (s->rchild) {
            q = s;
            s = s->rchild;
        }
        //保存s的值
        t->key = s->key;
        //此時(shí)s的右子樹為空，續(xù)接s的左子樹
        if (q != t) {
            q->rchild = s->lchild;
        } else {
            q->lchild = s->lchild;
        }
        delete s;
    }
    return true;
}

3. 優(yōu)化

• avl 樹
• 二叉樹 - 紅黑樹

3. 實(shí)現(xiàn)示例

完整代碼

#include <iostream>

using namespace std;

typedef struct BiTree {
    int key;
    BiTree *lchild;
    BiTree *rchild;
};

//插入節(jié)點(diǎn)
BiTree *insertBST(BiTree *t, int key) {
    if (t == NULL) {
        t = new BiTree();
        t->lchild = t->rchild = NULL;
        t->key = key;
        return t;
    }
    if (key < t->key) {
        t->lchild = insertBST(t->lchild, key);
    } else {
        t->rchild = insertBST(t->rchild, key);
    }

    return t;
}

//刪除節(jié)點(diǎn)
bool deleteBST(BiTree *t) {
    BiTree *q, *s;
    if (t->lchild == NULL) {
        q = t;
        t = t->rchild;
        delete q;
    } else if (t->rchild == NULL) {
        q = t;
        t = t->lchild;
        delete q;
    } else {
        q = t;
        s = t->lchild;
        while (s->rchild) {
            q = s;
            s = s->rchild;
        }
        t->key = s->key;
        if (q != t) {
            q->rchild = s->lchild;
        } else {
            q->lchild = s->lchild;
        }
        delete s;
    }
    return true;
}

//中序遍歷
void print(BiTree *t) {
    if (t != NULL) {
        if (t->lchild != NULL) {
            print(t->lchild);
        }
        printf("%3d", t->key);
        if (t->rchild != NULL) {
            print(t->rchild);
        }
    }
}

int main(int argc, const char *argv[]) {
    int n, m;
    BiTree *t = NULL;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> m;
        t = insertBST(t, m);
    }
    print(t);
    return 0;
}