七、二叉樹(四)、二叉樹的遍歷

數(shù)據(jù)結構目錄

1.概覽

二叉樹的遍歷(traversing binary tree)是指從根節(jié)點出發(fā)，按照某種次序依次訪問二叉樹中所有結點，使得每個節(jié)點被訪問依次且僅被訪問一次。
注意：

  1. 從根節(jié)點出發(fā)，并不一定是從根節(jié)點開始遍歷，只是從根節(jié)點開始邏輯
  2. 次序表示有一定的規(guī)則
  3. 訪問表示可以得到這個結點的信息

二叉樹的遍歷次序不同于線性結構，線性結構最多也就是分為順序、循環(huán)、雙向等簡單的遍歷方式。

二叉樹的遍歷方式可以很多，如果我們限制了從左到右的習慣方式，那么主要就分為以下四種：

  • 前序遍歷
  • 中序遍歷
  • 后序遍歷
  • 層序遍歷

2.前序遍歷

定義：若二叉樹為空，則空操作返回，否則先訪問根節(jié)點，然后前序遍歷左子樹，再前序遍歷右子樹

二叉樹前序遍歷的順序圖示

如圖所示，先訪問根節(jié)點A，然后訪問A的左子樹B，再訪問B的左子樹D，再訪問D的左子樹H，由于H是終端結點，則再訪問D的右子樹I，訪問完了B的左子樹，再訪問B的右子樹，剩下的類推可得到

總結：前序遍歷中，遵循根節(jié)點->左子樹->右子樹的順序來訪問結點

3. 中序遍歷

定義：若二叉樹為空，則空操作返回，否則從根節(jié)點開始(注意并不是先訪問根節(jié)點),中序遍歷根節(jié)點的左子樹，然后是訪問根節(jié)點，最后中序遍歷右子樹。

二叉樹的中序遍歷的順序圖示

總結：中序遍歷遵循左子樹->根節(jié)點->右子樹的順序來訪問結點

4.后序遍歷

定義：若樹為空，則空操作返回，否則從左到右先葉子后結點的方式遍歷訪問左右子樹，最后訪問根節(jié)點

二叉樹的后序遍歷的順序

總結：后序遍歷遵循左子樹->右子樹->根節(jié)點的順序來訪問結點

5.層序遍歷

定義：若樹為空，則空操作返回，否則從樹的第一層，也就是根節(jié)點開始訪問，從上而下逐層遍歷，在同一層中，按從左到右的順序對結點逐個訪問


二叉樹的層序遍歷順序圖示

總結：層序遍歷遵循層級遞增，同層級中從左至右的順序訪問結點

6.算法：使用前序遍歷，建立二叉樹并進行遍歷，輸出各個結點的層次

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

typedef int Status;

typedef char ElemType;

typedef struct BiTNode{
    ElemType data;
    struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,*BiTree;

//創(chuàng)建一棵二叉樹，約定用戶遵照前序遍歷的方式輸入數(shù)據(jù)
Status createBiTree(BiTree *T){
    //接收輸入
    ElemType c = 0;
    scanf("%c",&c);
    
    if ( c == ' ') {
        //輸入空格便是結束這棵子樹
        *T = NULL;
        return ERROR;
    } else {
        *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        (*T) -> data = c;
        //遞歸創(chuàng)建
        //創(chuàng)建左子樹
        createBiTree(&((*T)->lchild));
        //創(chuàng)建右子樹
        createBiTree(&((*T)->rchild));
        
        return OK;
    }
}

//訪問二叉樹結點的具體操作
void visit(ElemType c,int level){
    printf("data:%c,level:%d",c,level);
    
}
//前序遍歷
Status preOrderTraverse(BiTree T,int level){
    if ( !T ) {
        return ERROR;
    }
    visit(T->data, level);
    //遞歸遍歷
    preOrderTraverse(T->lchild, level+1);
    preOrderTraverse(T->rchild, level+1);
    
    
    return OK;
}
int main(){
    int level = 1;
    BiTree T = NULL;
    createBiTree(&T);
    preOrderTraverse(T, level);
    
    return 0;
}

7.二叉樹的前序、中序、后序遍歷的遞歸與非遞歸實現(xiàn)

二叉樹遍歷的非遞歸實現(xiàn)需要借助棧來實現(xiàn)(由于棧LIFO的特性)，我們先建立一個樹的結點棧，如下所示:

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

typedef int Status;

typedef char ElemType;

typedef struct BiTNode{
    ElemType data;
    struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,*BiTree;

#define STACK_INIT_SIZE 100
#define STACKINCREMENT 10
typedef struct BiTreeStack{
    BiTNode *base;//棧底
    BiTNode *top;//棧頂
    int stackSize;
}BiTreeStack;

Status initStack(BiTreeStack *s){
    s->base = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode) * STACK_INIT_SIZE);
    if (!s->base) {
        return ERROR;
    }
    s->top = s->base;
    s->stackSize = STACK_INIT_SIZE;
    return OK;
}

Status Push(BiTreeStack *s,BiTNode node){
    if (s->top - s->base >= s->stackSize) {
        s->base = (BiTNode *)realloc(s->base, sizeof(BiTNode)*(s->stackSize + STACKINCREMENT));
        if (!s->base) {
            return ERROR;
        }
        s->top = s->base + s->stackSize;
        s->stackSize += STACKINCREMENT;
    }
    *(s->top) = node;
    (s->top)++;
    return OK;
}
Status Pop(BiTreeStack *s,BiTNode *node){
    if (s->top - s->base == 0) {
        return ERROR;
    }
    *node = *(--(s->top));
    return OK;
}
int StackLength(BiTreeStack *s){
    return (int)(s->top - s->base);
}
void visitNode(BiTree node){
    printf("data:%c",node->data);
}

前序遍歷

前序遍歷的遞歸實現(xiàn)比較簡單，遵循根節(jié)點-左子樹-右子樹的順序即可

//遞歸
Status PreorderTraversalRecursive(BiTree T){
    if (!T) {
        return ERROR;
    }
    visitNode(T);
    PreorderTraversalRecursive(T->lchild);
    PreorderTraversalRecursive(T->rchild);
    return OK;
}

非遞歸實現(xiàn)我們需要創(chuàng)建一個棧，先把二叉樹的根節(jié)點壓入棧，訪問后，再依次壓入右結點，再壓入左結點，這樣訪問的時候就遵循了根節(jié)點-左子樹-右子樹的順序

//非遞歸
Status PreorderTraversalNotRecursive(BiTree T){
    if (!T) {
        return ERROR;
    }
    BiTNode node = *T;
    BiTreeStack s;
    BiTreeStack *stack = NULL;
    initStack(&s);
    stack = &s;
    Push(stack, node);
    
    while (StackLength(stack) != 0) {
        Pop(stack, &node);
        visitNode(&node);
        //先把右子樹根節(jié)點壓入棧
        if (node.rchild) {
            Push(stack, *(node.rchild));
        }
        //再把左子樹根節(jié)點壓入棧
        if (node.lchild) {
            Push(stack, *(node.lchild));
        }
    }
    return OK;
}

中序遍歷

中序遍歷的遞歸實現(xiàn)比較簡單，遵循左子樹-根節(jié)點-右子樹的順序即可

//遞歸
Status InorderTraversalRecursive(BiTree T){
    if (!T) {
        return ERROR;
    }
    InorderTraversalRecursive(T->lchild);
    visitNode(T);
    InorderTraversalRecursive(T->rchild);
    
    return OK;
}

中序遍歷的非遞歸實現(xiàn)稍微麻煩一點，我們需要先從根節(jié)點出發(fā)，逐個將左子樹壓入棧，由于我們知道葉子結點是沒有子樹的，那么我每次每次訪問的就當做是根節(jié)點，我們判斷它是否有右子樹，有右子樹的話，就重復之前步驟，將左子樹依次加入到棧中，這樣也就遵循了中序遍歷左子樹-根節(jié)點-右子樹的順序

//非遞歸
Status InorderTraversalNotRecursive(BiTree T){
    if (!T) {
        return ERROR;
    }
    BiTNode *p = T;
    BiTreeStack s;
    BiTreeStack *stack = NULL;
    initStack(&s);
    stack = &s;
    //將左子樹都壓入棧
    while (p) {
        Push(stack, *p);
        p = p->lchild;
    }
    //開始遍歷
    while (StackLength(stack)) {
        //每一個出棧的結點我們都當做根節(jié)點
        Pop(stack, p);
        visitNode(p);
        //判斷有無右子樹
        if (p->rchild) {
            p = p->rchild;
            Push(stack, *p);
            while (p->lchild) {
                p = p->lchild;
                Push(stack, *p);
            }
        }
    }
    
    return OK;
}

后序遍歷

后序遍歷的遞歸實現(xiàn)也比較簡單，遵循左子樹-右子樹-根節(jié)點的順序即可

//遞歸
Status PostorderTraversalRecursive(BiTree T){
    if (!T) {
        return ERROR;
    }
    PostorderTraversalRecursive(T->lchild);
    PostorderTraversalRecursive(T->rchild);
    visitNode(T);
    
    return OK;
}

后序遍歷的非遞歸實現(xiàn)看上去是最麻煩的，不過我們仍然可以用按照后序遍歷左子樹-右子樹-根節(jié)點的思路來進行思考：

  1. 對于每一個結點，如果它是非葉子結點，且它的左孩子和右孩子都不是上一次訪問的結點的情況下，循環(huán)將它的左子樹壓入棧，這樣就確定了訪問的順序
  2. 將棧頂結點推出，判斷結點是否有右孩子且右孩子不是之前訪問的結點的情況下，將右孩子壓入棧
  3. 棧頂結點推出，不符合2的條件下，訪問結點，并存儲新訪問結點的指針，然后將出棧新節(jié)點有用于比較
//非遞歸
Status PostorderTraversalNotRecursive(BiTree T){
    if (!T) {
        return ERROR;
    }
    BiTNode *p = T;
    //記錄上一次訪問的結點
    BiTNode *pre = T;
    BiTreeStack s;
    BiTreeStack *stack = NULL;
    initStack(&s);
    stack = &s;
    
    while(p || StackLength(stack)){
        if(p != NULL && pre != p->lchild && pre != p->rchild){    //結點不為空且左孩子和右孩子都不是上一次訪問的,入棧左子樹
            Push(stack, *p);
            p = p->lchild;
        }
        else{
            Pop(stack, p);
            if(p->rchild != NULL && pre != p->rchild){    //右子樹不為空且右孩子沒有訪問過，入棧右子樹結點
                Push(stack, *p);
                p = p->rchild;
                Push(stack, *p);
            }
            else{
                //訪問到最后的右子樹的結點后，退棧
                visitNode(p);
                pre = p;
                Pop(stack, p);
            }
        }
    }
    return OK;
}
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