球?qū)ΨQ時(shí)空中的自由下落物質(zhì)是否可能構(gòu)成黑洞

干活干得累了，就想找點(diǎn)別的事情做，來緩緩腦子，于是就想到了這個問題，也算是趁著最近黑洞的熱潮。
這篇計(jì)算的內(nèi)容，很多年前晃晃提到過，當(dāng)時(shí)和晃晃在群里聊過好幾次，但今天我沒找到他的論文，所以就自己手算一遍了，就當(dāng)是習(xí)題練手了，哈哈。

球?qū)ΨQ時(shí)空的度規(guī)可以采用如下形式：

ds^2 = - f(r,t) dt^2 + 2 l(r,t) dt dr + h(r,t) dr^2 + r^2 d\Omega^2

我們總可以通過坐標(biāo)變換將其轉(zhuǎn)換為如下形式：

ds^2 = - f(r,t) dt^2 + h(r,t) dr^2 + r^2 d\Omega^2

Birkhoff 定理告訴我們，任何球?qū)ΨQ且只有徑向物質(zhì)與能量流動的時(shí)空，其外部真空部分時(shí)空的度規(guī)都是史瓦西度規(guī)。我們現(xiàn)在要計(jì)算在有物質(zhì)或能流的情況下的度規(guī)。

下面我們來計(jì)算相關(guān)的幾何量。

\begin{cases} g_{tt} = - f\ ;\ g_{rr} = h\\ g^{tt} = - f^{-1}\ ;\ g^{rr} = h^{-1} \end{cases}\\ \begin{cases} \Gamma^\phi_{\phi \theta} = \tan^{-1} \theta\ ;\ \Gamma^\phi_{\phi r} = \frac{1}{r}\\ \Gamma^\theta_{\phi \phi} = - \sin \theta \cos \theta\ ;\ \Gamma^\theta_{\theta r} = \frac{1}{r}\\ \Gamma^r_{\phi \phi} = - \frac{r}{h} \sin^2 \theta\ ;\ \Gamma^r_{\theta \theta} = - \frac{r}{h}\\ \Gamma^r_{r r} = \frac{h'}{2 h}\ ;\ \Gamma^r_{t t} = \frac{f'}{2 h}\\ \Gamma^t_{r r} = \frac{\dot h}{2 f}\ ;\ \Gamma^t_{t t} = \frac{\dot f}{2 f}\\ \Gamma^r_{r t} = \frac{\dot h}{2 h}\ ;\ \Gamma^t_{t r} = \frac{f'}{2 f} \end{cases}\\ \begin{cases} \Gamma^\mu_{\mu \phi} = 0\\ \Gamma^\mu_{\mu \theta} = \Gamma^\phi_{\phi \theta} = \tan^{-1} \theta\\ \Gamma^\mu_{\mu r} = \frac{2}{r} + \frac{h'}{2 h} + \frac{f'}{2 f}\\ \Gamma^\mu_{\mu t} = \frac{\dot h}{2 h} + \frac{\dot f}{2 f} \end{cases}\\ \begin{cases} R_{\phi \phi} = \left[ 1 - \frac{1}{h} + \frac{r}{2 h} \left( \frac{h'}{h} - \frac{f'}{f} \right) \right] \sin^2 \theta\\ R_{\theta \theta} = 1 - \frac{1}{h} + \frac{r}{2 h} \left( \frac{h'}{h} - \frac{f'}{f} \right)\\ R_{r r} = \frac{h'}{r h} + \frac{H}{4 f}\\ R_{r t} = \frac{\dot h}{r h}\\ R_{t t} = \frac{f'}{r h} - \frac{H}{4 h}\\ H = 2 \ddot h - 2 f'' + \frac{f'^2 - \dot f \dot h}{f} - \frac{\dot h^2 - f' h'}{h} \end{cases}\\ R = \frac{2}{r^2} \left( 1 - \frac{1}{h} \right) + \frac{2}{r h} \left( \frac{h'}{h} - \frac{f'}{f} \right) + \frac{H}{2 f h}

有了上面得到的Ricci曲率張量和Ricci標(biāo)量，我們就可以通過時(shí)空上的能動張量和愛因斯坦場方程來計(jì)算時(shí)空曲率了：

R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu}

下面的問題就是，時(shí)空上的能動張量是什么？

能動張量有些最常見的形式，比如下面這個：

T^{tt} = \rho\phantom{wwwwa}\\ T^{ti} = T^{it} = P^i\\ T^{ij} = S^{ij}\phantom{wwwi}

其中 \rho 是物質(zhì)密度，P^i 是能流密度矢量，S^{ij} 是壓強(qiáng)-剪切應(yīng)力張量。

在球?qū)ΨQ且只有徑向物質(zhì)運(yùn)動的情況中，能流密度矢量應(yīng)該只有r分量，而剪切應(yīng)力張量則只有徑向和切向兩個分量。

另一種常見的情況，是平衡態(tài)理想流體的能動張量：

T^{\mu \nu} = (\rho + p) U^\mu U^\nu + p g^{\mu \nu}

其中 U^\mu 是流體每個質(zhì)點(diǎn)的世界線切矢，滿足：

g_{\mu \nu} U^\mu U^\nu = k = -1 \ or\ 0 \ or\ 1

其中普通物質(zhì)是-1，光速運(yùn)動物質(zhì)是0，快子物質(zhì)是1。

我們一般還可以將壓強(qiáng)和密度通過物態(tài)方程結(jié)合起來，比如在宇宙學(xué)（FRW度規(guī)）中我們一般有：

p = \alpha \rho^{1 + \omega}

此外還有一些常見的場，比如實(shí)標(biāo)量場：

T^{\mu \nu} = \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi - \frac{1}{2} \left( \partial_\sigma \phi \partial^\sigma \phi + m^2 \phi^2 \right) g^{\mu \nu}

以及規(guī)范矢量場：

T^{\mu \nu} = F^\mu_{\ \sigma} F^{\nu \sigma} - \frac{1}{4} F^{\alpha \beta} F_{\alpha \beta} g^{\mu \nu}

現(xiàn)在回到場方程中，我們有：

\begin{cases} 8 \pi T_{t t} = R_{t t} + \frac{f}{2} R\\ 8 \pi T_{r r} = R_{r r} - \frac{h}{2} R\\ 8 \pi T_{t r} = R_{t r}\\ 8 \pi T_{\theta \theta} = R_{\theta \theta} - \frac{r^2}{2} R \end{cases}

我們考慮最常見的能動張量形式，其它能動張量都可以變形為它的形式。由于各分量獨(dú)立且保持球?qū)ΨQ、只有徑向運(yùn)動，所以可以不失一般性地取能動張量為：

\begin{cases} T_t^t = \rho(t, r)\\ T_t^r = \sqrt{\frac{f(t, r)}{h(t, r)}} P(t, r)\\ T_r^r = p(t, r)\\ T_\theta^\theta = q(t, r)\\ \end{cases}

所以有：

\begin{cases} 8 \pi \rho = \frac{1}{f} R_{t t} + \frac{1}{2} R\\ 8 \pi p = \frac{1}{h} R_{r r} - \frac{1}{2} R\\ 8 \pi \sqrt{f h} P = R_{t r}\\ 8 \pi q = \frac{1}{r^2} R_{\theta \theta} - \frac{1}{2} R \end{cases}\\ \therefore \begin{cases} 8 \pi r h (\rho + p) = \partial_r \ln (f h)\\ 8 \pi P = \frac{1}{\sqrt{f h}} \frac{\dot h}{r h}\\ 8 \pi q = \frac{1}{2 r h} \left( \frac{f'}{f} - \frac{h'}{h} \right) - \frac{H}{4 f h} \end{cases}

其中，利用第一和第三個結(jié)果可以簡化H和R：

\begin{cases} H = 2 \ddot h - 2 f'' + 8 \pi r h (\rho + p) (f' - \dot h)\\ R = \frac{2}{r^2} \left( 1 - \frac{1}{h} \right) - \frac{H}{2 f h} - 32 \pi q \end{cases}

對第一個關(guān)系，我們可以進(jìn)一步獲得如下結(jié)果：

\ln (f h) = C(t) + 8 \pi \int_0^r z h(z, t) [ \rho(z, t) + p(z, t) ] dz

我們?nèi)o窮遠(yuǎn)處為漸近平直時(shí)空，所以上面的結(jié)果可以進(jìn)一步寫為：

\begin{cases} f(r, t) h(r, t) = \lambda(r, t) = \exp \left[ \Lambda(r,t) - \Lambda(\infty,t) \right]\\ \Lambda(r,t) = 8 \pi \int_0^r z h(z, t) [ \rho(z, t) + p(z, t) ] dz \end{cases}

由于物質(zhì)與能流只會局限在一個有限大小的球形區(qū)域內(nèi)，所以上面的 \Lambda(\infty, t) 可以認(rèn)為必然是有限值，從而結(jié)果有意義。

我們現(xiàn)在已經(jīng)有了 fh 的表達(dá)，下面再來單獨(dú)求 h。

我們可以構(gòu)造一個從無窮遠(yuǎn)觀測者看來的球形區(qū)域內(nèi)的“總能量”函數(shù)：

M(r, t) = 4 \pi \int_0^r z^2 \rho(z, t) dz

因此我們可以利用該函數(shù)給出密度函數(shù)與能流矢量（徑向之外為零）：

\rho(r, t) = \frac{M'}{4 \pi r^2}\phantom{wwwi}\\ P(r, t) = - \sqrt \frac{h}{f} \frac{\dot M}{4 \pi r^2}

當(dāng)然，它必須符合能動張量的演化方程：

\nabla_\mu T_\nu^\mu = 0 = \partial_\mu T_\nu^\mu + \Gamma^\mu_{\mu \lambda} T_\nu^\lambda - \Gamma^\lambda_{\mu \nu} T_\lambda^\mu\\

將其代入之前的結(jié)果，就有：

\partial_t h^{-1} = - \frac{2 \dot M}{r}\\ \therefore h = \left[ C(r) - \frac{2 M}{r} \right]^{-1}

根據(jù) Birkhoff 定理，當(dāng) r 足夠大、遠(yuǎn)離物質(zhì)與能流區(qū)的地方，我們應(yīng)該有 h = \left( 1 - \frac{2 M}{r} \right)^{-1}，所以這里就能確定下來 h 了：

h(r, t) = \left( 1 - \frac{2 M}{r} \right)^{-1}

從而有：

\begin{cases} f(r, t) = \lambda(r, t) \left[ 1 - \frac{2 M(r, t)}{r} \right]\\ h(r, t) = \left[ 1 - \frac{2 M(r, t)}{r} \right]^{-1}\\ M(r, t) = 4 \pi \int_0^r z^2 \rho(z, t) dz\\ \Lambda(r,t) = 8 \pi \int_0^r z \left[ 1 - \frac{2 M(z, t)}{z} \right]^{-1} [ \rho(z, t) + p(z, t) ] dz\\ \lambda(r, t) = \exp \left[ \Lambda(r,t) - \Lambda(\infty,t) \right]\\ \end{cases}

很顯然，如果物質(zhì)與能流只在 r < r_0 的區(qū)域存在，則上述結(jié)果就自動回到了 Birkhoff 定理。

這里，物質(zhì)密度分布 \rho 和徑向壓強(qiáng)分布 p 都是任意的，因此原則上上述度規(guī)適合所有球?qū)ΨQ且物質(zhì)與能流只在徑向有變化的時(shí)空，包括霍金輻射的情況。

進(jìn)一步，當(dāng) h(r, t) = 0 時(shí)，顯然就出現(xiàn)了我們所理解的黑洞視界面（坐標(biāo)表觀奇異性）了。由于現(xiàn)在方程 r = 2 M(r,t) 在任意時(shí)刻都可能有不止一個解，所以我們?nèi)∑渲凶畲蟮模鳛?t 時(shí)刻的黑洞視界面：

r_H(t) = \max \{ r | r = 2M(r, t) \}

下面，我們就要來看一個很有趣的問題：這樣的時(shí)空中，假定物質(zhì)是球?qū)ΨQ分布，且“自由”下落的，那么最終這些物質(zhì)是否可能形成黑洞呢？

在不考慮黑洞的霍金輻射的情況下，雖然從無窮遠(yuǎn)觀測者看來，上述自由下落的物質(zhì)永遠(yuǎn)都在黑洞視界面之外，但這是由于坐標(biāo)本身的表觀奇異性所導(dǎo)致的，從自由落體的物質(zhì)自身來看，它會在有限時(shí)間內(nèi)穿越視界，并在有限時(shí)間內(nèi)抵達(dá)黑洞的奇點(diǎn)。

但，有趣就有趣在有霍金輻射的情況下。

此時(shí)，從無窮遠(yuǎn)觀測者看來，黑洞會在有限時(shí)間后輻射完自身所有的物質(zhì)最終消失，而只要視界面存在，自由落體的物質(zhì)在無窮遠(yuǎn)觀測者看來，就無法在有限時(shí)間內(nèi)抵達(dá)視界——所以問題來了，黑洞在有限時(shí)間 t_v 后消失，而在任意有限時(shí)間內(nèi)，物質(zhì)都無法抵達(dá)黑洞的視界，所以從無窮遠(yuǎn)觀測者看來，落向黑洞的物質(zhì)在黑洞蒸發(fā)完之前，都無法抵達(dá)黑洞。

關(guān)鍵就是，在上述時(shí)空度規(guī)下，自由落體的物質(zhì)從無窮遠(yuǎn)觀測者看來，是不是在任何情況下都無法抵達(dá)黑洞的視界呢？只要這個命題成立，那就說明了直到黑洞蒸發(fā)，外界物質(zhì)都無法抵達(dá)黑洞視界，更談不上進(jìn)入黑洞了。

由于任何物質(zhì)的運(yùn)動速度都無法超越光速，所以我們只要考慮這個時(shí)空中下落的光線是否可以在有限時(shí)間抵達(dá)黑洞視界即可。

下落光線的切矢為：

\frac{d r}{d t} = - \sqrt{\lambda(r(t), t)} \left[ 1 - \frac{2 M(r(t), t)}{r(t)} \right]

由于我們知道下面這種形式的運(yùn)動，r無法在有限時(shí)間內(nèi)從 r_0 > 1 的位置抵達(dá)視界 r_H = 1：

\frac{d r}{d t} = - \left( 1 - \frac{1}{r} \right)

所以我們設(shè)法構(gòu)造出與此類似的結(jié)構(gòu)。

取 y(t) = \frac{r(t)}{2 M(t)}、x(t) = \frac{t}{2 M(t)}，從而有（下面 ' 表示對 t 求導(dǎo)）：

\frac{d y}{d x} = \frac{y'}{x'} = r' \frac{M}{M - t M'} - \frac{r M'}{M - t M'}\\ = - \sqrt{\lambda} \left( 1 - \frac{1}{y} \right) \frac{M}{M - t M'} - \frac{2 M M'}{M - t M'} y\\

其中，\lambda(r,t)是一個在0到1之間的函數(shù)，因此 \sqrt \lambda < 1。而另一方面，M 是下落光線在 t 時(shí)刻的位置 r(t) 內(nèi)的所有物質(zhì)與能量的總和，由于沒有物質(zhì)的下落速度可以快過光速，因此即便沒有物質(zhì)向外遠(yuǎn)離黑洞（此時(shí)顯然 M' < 0），所有物質(zhì)都跟著光下落，也必然有 M' \le 0，因此我們有：

\because \begin{cases} \sqrt \lambda < 1\\ M' \le 0 \end{cases}\phantom{wwwwwwwwwwwwi}\\ \therefore \frac{d y}{d x} \ge - \sqrt{\lambda} \left( 1 - \frac{1}{y} \right) \frac{M}{M - t M'}\\ \ge - \sqrt{\lambda} \left( 1 - \frac{1}{y} \right)\phantom{wwa}\\ \ge - \left( 1 - \frac{1}{y} \right)\phantom{wwwwi}\\

由于 \frac{dy}{dx} = - \left( 1 - \frac{1}{y} \right) 都無法在有限x內(nèi)讓y減小到1，因此上述方程更不可能在有限x內(nèi)讓y減小到1。而，這是光速下落的物質(zhì)，它都無法在有限時(shí)間內(nèi)抵達(dá)視界，那么任何實(shí)際的物質(zhì)都更不可能在有限時(shí)間內(nèi)抵達(dá)視界了。

也就是說，在上述時(shí)空中，無窮遠(yuǎn)觀測者看來，任意徑向自由下落的物質(zhì)（實(shí)際上為了保持時(shí)空度規(guī)依然是上述形式，更準(zhǔn)確的說法是任意徑向下落、無旋轉(zhuǎn)的球殼物質(zhì)層，無論是否包含相互作用），都無法在有限時(shí)間內(nèi)抵達(dá)黑洞視界——而，在考慮霍金輻射的情況下，黑洞視界會在有限時(shí)間內(nèi)消失，所以這就是說：

任意徑向下落、無旋轉(zhuǎn)的球殼物質(zhì)層，無論是否包含相互作用，都無法在黑洞蒸發(fā)消失前抵達(dá)黑洞視界。

要打破這一結(jié)論，除非讓 \lambda > 1 或者 M' > 0，這就是說，要有比光下落速度更快的快子物質(zhì)，或者在下落物質(zhì)球殼外存在一個區(qū)域 \rho + p < 0，這樣前者能讓 M' > 0 而后者能讓 \lambda > 1。

而這兩個要求就是說：要么出現(xiàn)快子物質(zhì)，要么存在違反能量條件（主能量條件、強(qiáng)能量條件、弱能量條件和類光能量條件都要違反）的物質(zhì)或場。

而這兩個情況，都是很科幻的黑科技啊。

當(dāng)然，不得不說的是，既然都考慮霍金輻射了，我們也要考慮到：虛粒子由于不在殼，所以是有可能違背 M' \le 0 這個約束的。而真空零點(diǎn)能等極限情況下的量子作用也有可能違反能量條件，所以在黑洞視界面附近的極端量子引力環(huán)境中，很有可能會突破上述限制，讓物質(zhì)抵達(dá)甚至進(jìn)入黑洞內(nèi)部。

回到經(jīng)典的范疇中。

如果我們考慮在黑洞出現(xiàn)之前的物質(zhì)聚集塌縮過程，整個過程中保持球?qū)ΨQ，那么其實(shí)這就是說，黑洞根本無法形成：物質(zhì)的聚集過程由于引力場的作用，將永遠(yuǎn)無法讓物質(zhì)達(dá)到足夠聚合的程度，使黑洞形成。也就是說，對任意位置 r 而言，其內(nèi)部物質(zhì)球的質(zhì)量對應(yīng)的臨界半徑 r_H(r) 將永遠(yuǎn)小于 r，因?yàn)槲镔|(zhì)要進(jìn)一步聚集，就必須要完成上述“在有限時(shí)間內(nèi)抵達(dá)臨界半徑”的任務(wù)，而這一任務(wù)已經(jīng)被證明是做不到的了。

另一方面，對于非球?qū)ΨQ的情況（比如旋轉(zhuǎn)的 Kerr 時(shí)空，或者別的更加奇葩的時(shí)空），這里不好說。

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