Unity當(dāng)中經(jīng)常會(huì)用到向量的運(yùn)算來(lái)計(jì)算目標(biāo)的方位，朝向，角度等相關(guān)數(shù)據(jù)，下面咱們來(lái)通過(guò)實(shí)例學(xué)習(xí)下Unity當(dāng)中最常用的點(diǎn)乘和叉乘的使用。

點(diǎn)乘

（又稱(chēng)"點(diǎn)積","數(shù)量積”,"內(nèi)積"）（Dot Product, 用＊）
定義：a·b=|a|·|b|cos<a,b> 【注：粗體小寫(xiě)字母表示向量，<a,b>表示向量a,b的夾角，取值范圍為[0，180]】
幾何意義：是一條邊向另一條邊的投影乘以另一條邊的長(zhǎng)度.

v1和v2向量的點(diǎn)乘運(yùn)算：相應(yīng)元素的乘積的和：v1( x1, y1，z1) * v2(x2, y2,z2) = x1x2 + y1y2+z1z2;
注意 : 結(jié)果不是一個(gè)向量，而是一個(gè)標(biāo)量。
性質(zhì)1： ab = |a||b|Cos(θ) ，θ是向量a 和向量 b之間的夾角。
性質(zhì)2： ab = ba 滿足乘法交換律
Unity項(xiàng)目應(yīng)用：
1.根據(jù)點(diǎn)乘計(jì)算兩個(gè)向量的夾角。<a,b>= arccos(a·b / (|a|·|b|))
2.根據(jù)點(diǎn)乘的正負(fù)值，得到夾角大小范圍，>0，則夾角（0,90）<0,則夾角（90,180），可以利用這點(diǎn)判斷一個(gè)多邊形是面向攝像機(jī)還是背向攝像機(jī)。
3.根據(jù)點(diǎn)乘的大小，得到向量的投影長(zhǎng)度，反應(yīng)了向量的長(zhǎng)度關(guān)系。
4.在生產(chǎn)生活中，點(diǎn)積同樣應(yīng)用廣泛。利用點(diǎn)積可判斷一個(gè)多邊形是否面向攝像機(jī)還是背向攝像機(jī)。向量的點(diǎn)積與它們夾角的余弦成正比，因此在聚光燈的效果計(jì)算中，可以根據(jù)點(diǎn)積來(lái)得到光照效果，如果點(diǎn)積越大，說(shuō)明夾角越小，則物理離光照的軸線越近，光照越強(qiáng)。物理中，點(diǎn)積可以用來(lái)計(jì)算合力和功。若b為單位矢量，則點(diǎn)積即為a在方向b的投影，即給出了力在這個(gè)方向上的分解。功即是力和位移的點(diǎn)積。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)常用來(lái)進(jìn)行方向性判斷，如兩矢量點(diǎn)積大于0，則它們的方向朝向相近；如果小于0，則方向相反。矢量?jī)?nèi)積是人工智能領(lǐng)域中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一，此方法還被用于動(dòng)畫(huà)渲染（Animation-Rendering）。

叉乘

（又稱(chēng)"叉積","向量積","外積"）（cross product，用x）
定義：c = a x b，其中a b c均為向量
幾何意義是：得到一個(gè)與這兩個(gè)向量都垂直的向量，這個(gè)向量的模是以兩個(gè)向量為邊的平行四邊形的面積
v1和v2向量的叉乘運(yùn)算：相應(yīng)元素的乘積的和：v1( x1, y1，z1) x v2(x2, y2, z2) = (y1z2 - y2z1)i+(x2z1 - x1z2)j+(x1y2-x2y1)k;
利用三階行列式計(jì)算
|i j k|
|x1 y1 z1|
|x2 y2 z2|
性質(zhì)1：c⊥a，c⊥b，即向量c與向量a，b所在平面垂直
性質(zhì)2：模長(zhǎng)|c| = |a||b| sin<a,b>
性質(zhì)3：(數(shù)學(xué)上)滿足右手法則, a x b = -b x a，所以我們可以使用叉乘的正負(fù)值來(lái)判斷a，b的相對(duì)位置，即b是處于a的順時(shí)針還是逆時(shí)針?lè)较颉?br> 叉乘的右手定則是用來(lái)確定叉乘積的方向的。
右手法則：右手的四指方向指向第一個(gè)矢量,屈向叉乘矢量的夾角方向（兩個(gè)矢量夾角方向取小于180°的方向）,那么此時(shí)大拇指方向就是叉乘所得的叉乘矢量的方向.（大拇指應(yīng)與食指成九十度）（注意：Unity當(dāng)中使用左手，因?yàn)閁nity使用的是左手坐標(biāo)系）

數(shù)學(xué)上叉乘的右手法則

Unity當(dāng)中叉乘的左手法則

Unity項(xiàng)目應(yīng)用：
1.根據(jù)叉乘得到a，b向量的相對(duì)位置，和順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)轿弧?br> 簡(jiǎn)單的說(shuō): 點(diǎn)乘判斷角度，叉乘判斷方向。
形象的說(shuō): 當(dāng)一個(gè)敵人在你身后的時(shí)候，叉乘可以判斷你是往左轉(zhuǎn)還是往右轉(zhuǎn)更好的轉(zhuǎn)向敵人，點(diǎn)乘得到你當(dāng)前的面朝向的方向和你到敵人的方向的所成的角度大小。
2.得到a，b夾角的正弦值，計(jì)算向量的夾角（0,90），可以配合點(diǎn)乘和Angle方法計(jì)算出含正負(fù)的方向。
3.根據(jù)叉乘大小，得到a，b向量所形成的平行四邊形的面積大小，根據(jù)面積大小得到向量的相對(duì)大小。

下面是代碼

using UnityEngine;  
  
public class VectorExample : MonoBehaviour {  
  
    //點(diǎn)積  
    private void TestDot(Vector3 a, Vector3 b)  
    {  
        // 計(jì)算 a、b 點(diǎn)積結(jié)果  
        float result = Vector3.Dot(a, b);  
  
        // 通過(guò)向量直接獲取兩個(gè)向量的夾角（默認(rèn)為 角度）， 此方法范圍 [0 - 180]  
        float angle = Vector3.Angle(a, b);  
  
        // 計(jì)算 a、b 單位向量的點(diǎn)積,得到夾角余弦值,|a.normalized|*|b.normalized|=1;  
        result = Vector3.Dot(a.normalized, b.normalized);  
        // 通過(guò)反余弦函數(shù)獲取 向量 a、b 夾角（默認(rèn)為 弧度）  
        float radians = Mathf.Acos(result);  
        // 將弧度轉(zhuǎn)換為 角度  
        angle = radians * Mathf.Rad2Deg;  
    }  
  
    //叉乘  
    private void TestCross(Vector3 a, Vector3 b)  
    {  
        //計(jì)算向量 a、b 的叉積，結(jié)果為 向量   
        Vector3 c = Vector3.Cross(a, b);  
  
        // 通過(guò)反正弦函數(shù)獲取向量 a、b 夾角（默認(rèn)為弧度）  
        float radians = Mathf.Asin(Vector3.Distance(Vector3.zero, Vector3.Cross(a.normalized, b.normalized)));  
        float angle = radians * Mathf.Rad2Deg;  
  
        // 判斷順時(shí)針、逆時(shí)針?lè)较颍窃?2D 平面內(nèi)的，所以需指定一個(gè)平面，  
        //下面以X、Z軸組成的平面為例 , (Y 軸為縱軸),  
        // 在 X、Z 軸平面上，判斷 b 在 a 的順時(shí)針或者逆時(shí)針?lè)较?  
        if (c.y > 0)  
        {  
            // b 在 a 的順時(shí)針?lè)较? 
        }  
        else if (c.y == 0)  
        {  
            // b 和 a 方向相同（平行）  
        }  
        else  
        {  
            // b 在 a 的逆時(shí)針?lè)较? 
        }  
    }  
  
    // 獲取兩個(gè)向量的夾角  Vector3.Angle 只能返回 [0, 180] 的值  
    // 如真實(shí)情況下向量 a 到 b 的夾角（80 度）則 b 到 a 的夾角是（-80）  
    // 通過(guò) Dot、Cross 結(jié)合獲取到 a 到 b， b 到 a 的不同夾角  
    private void GetAngle(Vector3 a, Vector3 b)  
    {  
        Vector3 c = Vector3.Cross(a, b);  
        float angle = Vector3.Angle(a, b);  
  
        // b 到 a 的夾角  
        float sign = Mathf.Sign(Vector3.Dot(c.normalized, Vector3.Cross(a.normalized, b.normalized)));  
        float signed_angle = angle * sign;  
  
        Debug.Log("b -> a :" + signed_angle);  
  
        // a 到 b 的夾角  
        sign = Mathf.Sign(Vector3.Dot(c.normalized, Vector3.Cross(b.normalized, a.normalized)));  
        signed_angle = angle * sign;  
  
        Debug.Log("a -> b :" + signed_angle);  
    }  
}