考研復習筆記-線性代數(shù)
作者 創(chuàng)建時間 復習1 復習2 復習3 復習4 林加賢 2015-08-31
復習時修改筆記,并添加相應考題類型
考綱
行列式
矩陣
- 特征值和特征向量
向量組
線性方程組
二次型
行列式
定義
- t為逆序數(shù)(
怎么求解逆序數(shù)
)
性質(zhì)
何為對換,對換性質(zhì)
- 轉(zhuǎn)置相等
- 互換變號
- 相等為零
- 因子可提
- 比例為零
- 元素可拆
- 比例相加不變
強調(diào)部分為行列式三種基本運算
展開定理
-
或
- 余子式、代數(shù)余子式概念
特殊行列式
- 對角行列式
- 上(下)三角行列式
- 上(下)分塊行列式
- 范徳蒙徳行列式
- 雅可比行列式
矩陣
定義:m*n數(shù)表
- 方陣,n*n數(shù)表
運算
- 加法和數(shù)乘
- 矩陣相乘、冪
- 不滿足交換律
- 矩陣轉(zhuǎn)置
- 方陣行列式
- 方陣伴隨矩陣
逆矩陣
- 定義:
- 定理
- A可逆
- AB=E 或
- A可逆
性質(zhì)
-
;
分塊矩陣
- 分塊矩陣加法、乘法
- 分塊對角矩陣
- 行列式
- 逆矩陣
- 按行分塊,按列分塊
等價矩陣
- 初等行變換(列同)
- 矩陣等價
- 定義(初等變換)與性質(zhì)(反身、對稱、傳遞)
- 行階梯形矩陣、行最簡形矩陣、標準形
- 定理
-
(可逆),
- A可逆
初等變換求逆矩陣
矩陣的秩
- 定義:k階子式,最高階非零子式
- 性質(zhì)
-
-
初等變換求秩
-
方陣的特征值和特征向量
- 定義:
為特征向量,
為特征值
- 性質(zhì)定理
-
為A特征值,則
為
特征值
-
各不相同,則
線性無關(guān)$
-
- 相似變換
- 定義:
,相似矩陣,相似變換矩陣
- 定理:相似則特征多項式、特征值相同
- 定義:
- 對角化(相似變換成對角矩陣)
- 可對角化充要條件:A存在n個線性無關(guān)特征向量
- 可對角化充分條件:A存在n個不同的特征值
- 對稱矩陣對角化
- 求對稱矩陣特征值
,重數(shù)為
;
- 對每個
基礎(chǔ)解系,的
個線性無關(guān)特征向量;
- 施密特正交化,構(gòu)成正交矩陣P(P列向量與
對角元素相對應)。
- 求對稱矩陣特征值
- 對稱矩陣對角化
特殊矩陣(及相應線性變換)
- 單位矩陣
- 對角矩陣
-
- 對角矩陣特征值為對角元素
- 對稱矩陣
- 正交矩陣
- 充要條件:列向量都是單位向量且兩兩正交
- 正交變換:長度保持不變
- 充要條件:列向量都是單位向量且兩兩正交
向量
內(nèi)積
- 定義:
- 性質(zhì)
- 施瓦茨不等式:
- 定義:
- 性質(zhì):
向量組
- 定義:
- 線性表示
- 向量線性表示:
A的線性組合
- 充要條件:
- 充要條件:
- 向量組線性表示:B的列向量
能由A線性表示
- 充要條件:
- A線性表示B
- 充要條件:
- 向量組等價
- 定義:相互線性表示
- 充要條件:
- 向量線性表示:
- 線性相關(guān)性
- 定義:
- 線性相關(guān):
不全為零的
使
- 充要條件:$R(A)
- 線性相關(guān):
- 線性無關(guān):不存在不全為零的
使
- 充要條件:
- 充要條件:
- 定理
- A線性相關(guān),則B=(A,b)也線性相關(guān);B線性無關(guān),則A也線性無關(guān);
- 定義:
- 向量組的秩
- 定義:最大線性無關(guān)向量組
- 定理
- 向量組的秩等于矩陣的秩
- 最大線性無關(guān)組等價定義
- 向量組的秩等于矩陣的秩
- 向量組正交性
- 兩兩正交
- 兩兩正交且非零,則線性無關(guān)
- 向量空間
- 定義:加法、數(shù)乘封閉的向量集合
- 基:相當于向量組最大無關(guān)向量組
- 基變換公式,過度矩陣
- 規(guī)范正交基:兩兩正交且為單位向量
- 施密特正交化
- 正交化:
- 單位化:
- 正交化:
- 維:相當于向量組的秩
線性方程組
- 克拉默法則
-
,有唯一解
-
-
- 無解:$R(A)
- 唯一解:
- 無限多解:$r=R(A)=R(A,b)
- 矩陣方程
- 有解充要條件:
- 有解充要條件:
- 解的結(jié)構(gòu)
- 齊次方程組
- 基礎(chǔ)解系:解集的最大無關(guān)向量組
如何求解基礎(chǔ)解系
- R(A)=r,則解集S的秩Rs=n-r
- 基礎(chǔ)解系:解集的最大無關(guān)向量組
- 非齊次方程組
- 齊次方程組
二次型
- 定義:二次齊次函數(shù)
-
二次型與對稱矩陣一一對應
- 標準形:只含平方項
- 規(guī)范形:系數(shù)為-1,0,1的標準形
-
- 標準化
- 合同對角化
-
A正交對角化
-
(標準形)
-
(規(guī)范形)
-
- 拉格朗日配方法
- 有平方項直接配方
- 無平方項令
構(gòu)造平方項
- 合同對角化
- 正定二次型
- 定義:
- 定理:
- 正定
慣性指數(shù)為n
標準化正系數(shù)個數(shù)不變,稱為正慣性指數(shù)
- 正定
特征值全為正
- 正定
A的各階主子式全為正
- 正定
- 定義:
?