考研復習筆記-線性代數(shù)

作者創(chuàng)建時間復習1 復習2 復習3 復習4 林加賢 2015-08-31

復習時修改筆記，并添加相應考題類型

考綱

行列式

矩陣

特征值和特征向量

向量組

線性方程組

二次型

行列式

定義

$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =\sum {(-1)^t a_{1p_1}a_{2p_2} \cdots a_{np_n}}$
t為逆序數(shù)（怎么求解逆序數(shù)）

性質(zhì)

何為對換，對換性質(zhì)
轉(zhuǎn)置相等
互換變號
相等為零
因子可提
比例為零
元素可拆
比例相加不變
強調(diào)部分為行列式三種基本運算

展開定理

$D=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij} ~$ 或 $~ D=\sum_{i=1}^{n} a_{ij}A_{ij}$
余子式、代數(shù)余子式概念

特殊行列式

對角行列式
上（下）三角行列式
上（下）分塊行列式
范徳蒙徳行列式
$D_n=\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} =\prod_{n\geq i \geq j \geq 1} (x_i-x_j)$
雅可比行列式

矩陣

定義：m*n數(shù)表

$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}$
方陣，n*n數(shù)表

運算

加法和數(shù)乘
矩陣相乘、冪
- $C_{m*n}=A_{m*s}B_{s*n},~ c_{ij}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}$
- 不滿足交換律
矩陣轉(zhuǎn)置
- $(A^T)^T=A;~(A+B)^T=A^T+B^T;~(\lambda A)^T=\lambda A^T;~ (AB)^T=B^TA^T$
方陣行列式
- $|A^T|=|A|;~ |\lambda A|=\lambda^n|A|;~ |AB|=|A||B|$
方陣伴隨矩陣
- $A^*= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{n1} \end{pmatrix}$
- $AA^*=A^*A=|A|E$

逆矩陣

定義： $AB=BA=E，\text{則}B=A^{-1}$
定理
- A可逆 $\Leftrightarrow |A|\neq 0$
- AB=E 或 $~ BA=E \Rightarrow B=A^{-1}$

性質(zhì)

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}$ ;
$(A^{-1})^{-1}=A;~ (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1};~ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1};~ (A^T)^{-1}=(A^{_1})^T$

分塊矩陣

分塊矩陣加法、乘法
分塊對角矩陣
- 行列式
- 逆矩陣
按行分塊，按列分塊

等價矩陣

初等行變換（列同）
- $r_i \leftrightarrow r_j;~r_i*k;~r_i+r_j*k$
矩陣等價
- 定義（初等變換）與性質(zhì)（反身、對稱、傳遞）
- 行階梯形矩陣、行最簡形矩陣、標準形
定理
- $A ~r\sim B \Leftrightarrow \exists P(|P|\neq 0),PA=B$
- $A ~c\sim B \Leftrightarrow \exists Q$ (可逆), $AQ=B$
- A可逆 $\Leftrightarrow A~r\sim E$ 初等變換求逆矩陣

矩陣的秩

定義：k階子式，最高階非零子式
性質(zhì)
- - $R(A^T)=R(A)$
  - $A \sim B \Rightarrow R(A)=R(B)$ 初等變換求秩
  - $\max\{R(A),R(B)\}\leq R(A,B)\leq R(A)+R(B)$
  - $R(A)\leq R(A,b)\leq R(A)+1$
  - $R(A+B)\leq R(A)+R(B)$
  - $R(AB)\leq \min\{R(A),R(B)\}$
  - $A_{m*n}B_{n*l}=O,\Rightarrow R(A)+R(B)\leq n$

方陣的特征值和特征向量

定義： $Ax=\lambda x,x$ 為特征向量, $\lambda$ 為特征值
性質(zhì)定理
- $\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$
- $\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=|A|$
- 為A特征值,則為特征值
  - $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$ 各不相同,則 $p_1,p_2,\cdots,p_m$ 線性無關(guān)$
相似變換
- 定義:，相似矩陣，相似變換矩陣
  - 定理：相似則特征多項式、特征值相同
對角化（相似變換成對角矩陣）
- 可對角化充要條件:A存在n個線性無關(guān)特征向量
- 可對角化充分條件:A存在n個不同的特征值
  - 對稱矩陣對角化
    1. 求對稱矩陣特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$ ,重數(shù)為 $k_1,k_2,\cdots,k_s$ ；
    2. 對每個 $\lambda_i,求(A-\lambda_i E)x=0$ 基礎(chǔ)解系，的 $k_i$ 個線性無關(guān)特征向量；
    3. 施密特正交化，構(gòu)成正交矩陣P(P列向量與 $\Lambda$ 對角元素相對應)。

特殊矩陣（及相應線性變換）

單位矩陣 $E=\text{diag}(1,1,\cdots,1)$
對角矩陣
- $\Lambda^k=\text{diag}(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\cdots,\lambda_n^k)$
- - $(a_1,a_2,\cdots, a_n)*\Lambda=(\lambda_1a_1,\lambda_2a_2,\cdots, \lambda_na_n)$
- 對角矩陣特征值為對角元素
對稱矩陣
- $\lambda_1\neq \lambda_2 \Rightarrow p_1,p_2正交$
- $\exists 正交矩陣P，使P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda$
正交矩陣
- 充要條件：列向量都是單位向量且兩兩正交
  - 正交變換：長度保持不變

向量

內(nèi)積

定義： $[x,y]=\sum x_iy_i=x^T y$
性質(zhì)
$[x,y]=[y,x];~[\lambda x,y]=\lambda[x,y];~[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$
施瓦茨不等式： $[x,y]^2\geq [x,x][y,y]$

長度

定義： $\|x\|=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i}$
性質(zhì)： $\|x\|\geq 0;~\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|;~\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$

夾角 $\theta=\text{arccos}\frac{[x,y]}{\|x\|\|y\|}$

正交 $[x,y]=0$

向量組

定義： $A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)$
線性表示
- 向量線性表示： A的線性組合
  - 充要條件： $R(A)=R(A,b)$
- 向量組線性表示：B的列向量能由A線性表示
  - 充要條件： $R(A)=R(A,B)$
  - A線性表示B $\Rightarrow R(B)\leq R(A)$
- 向量組等價
  - 定義：相互線性表示
  - 充要條件： $R(A)=R(B)=R(A,B)$
線性相關(guān)性
- 定義：
  - 線性相關(guān)：不全為零的使
    - 充要條件：$R(A)
- 線性無關(guān)：不存在不全為零的使
  - 充要條件： $R(A)=m$
- 定理
  - A線性相關(guān)，則B=(A,b)也線性相關(guān)；B線性無關(guān)，則A也線性無關(guān)；
向量組的秩
- 定義：最大線性無關(guān)向量組
- 定理
  - 向量組的秩等于矩陣的秩
    - 最大線性無關(guān)組等價定義
向量組正交性
- 兩兩正交
- 兩兩正交且非零，則線性無關(guān)
向量空間
- 定義：加法、數(shù)乘封閉的向量集合
- 基：相當于向量組最大無關(guān)向量組
  - 基變換公式，過度矩陣
  - 規(guī)范正交基：兩兩正交且為單位向量
  - 施密特正交化
    - 正交化: $b_r=a_r-\sum_{i=1}^{r-1}\frac{[b_i-a_r]}{[b_i,b_i]}b_{i}$
    - 單位化: $e_i=\frac{1}{\|b_i\|}b_i$
- 維：相當于向量組的秩

線性方程組

克拉默法則
- $A_{n*n}x=b,|A|=D\neq 0$ ,有唯一解 $~x=A^{-1}b=\frac{1}{|A|}A^*b,~x_i=\frac{D_i}{D}$
- 無解：$R(A)
- 唯一解： $R(A)=R(A,b)=n$
- 無限多解：$r=R(A)=R(A,b)
矩陣方程
- 有解充要條件： $R(A)=R(A,B)$
解的結(jié)構(gòu)
- 齊次方程組
  - 基礎(chǔ)解系：解集的最大無關(guān)向量組如何求解基礎(chǔ)解系
  - R(A)=r,則解集S的秩Rs=n-r
  - $x_1,x_2為Ax=0的解，則x_1+x_2,k*x1也是Ax=0的解$
- 非齊次方程組
  - $x_1,x_2為非齊次的解，則x_1-x_2為齊次的解$
  - $x_1為非齊次的解，x_0為齊次的解，則x_0+x_1為非齊次的解$

二次型

定義：二次齊次函數(shù)
- $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j(a_{ij}=a_{ji})=x^T A x(A為對稱陣)$ 二次型與對稱矩陣一一對應
- 標準形：只含平方項
- 規(guī)范形：系數(shù)為-1,0,1的標準形
標準化
- 合同對角化
  1. $f=x^T A x$ A正交對角化 $P^T A P=\Lambda$
  2. $x=Py \Rightarrow f=y^T \Lambda y$ (標準形)
  3. $K=diag(\frac{1}{\sqrt{\lambda_1}},\frac{1}{\sqrt{\lambda_2}},\cdots,\frac{1}{\sqrt{\lambda_n}}),y=Kz$ （規(guī)范形）
- 拉格朗日配方法
  - 有平方項直接配方
  - 無平方項令 $x_i=y_1+y_2,x_j=y_1-y_2$ 構(gòu)造平方項
正定二次型
- 定義： $x\neq 0,f(x)>0$
- 定理：
  - 正定 $\Leftrightarrow$ 慣性指數(shù)為n標準化正系數(shù)個數(shù)不變，稱為正慣性指數(shù)
  - 正定 $\Leftrightarrow$ 特征值全為正
  - 正定 $\Leftrightarrow$ A的各階主子式全為正