前言

第一次接觸線性代數是在大一的第一學期，學完以后分數不低，但是在結束考試后我就有點心虛，在這一段時間因為有個阿姨來問我線性代數，又溫習了一遍，心里邊變得更心虛。我覺得自己仿佛沒有學到東西，記憶當中也只有那些零零散散的計算公式，所以這一段時間為了幫助阿姨，自己又重新學習了一遍線性代數，對線性代數的實質稍微有了一點基礎，下面的行文思路是我在看MIT的線性代數的一個基礎視頻的總結筆記，期間會穿插著一些我自己對于線性代數的一些理解，一方面希望可以希望幫助像我和阿姨一樣的同學了解線性代數計算后面的本質，另一方面是為了快速幫助自己總結復習回憶起以前的知識點！

注意：在這個文章中，因為我自身的水平有限，所以想去討論一下像計算性這樣的東西，比如關于解的存在，唯一性等，因為這樣的定理都有充分地理論進行判定依據，要求解的話又可以有cramer法則，實在不行我們用MATLAB這樣的數學軟件也都可以解決，在這里我更想的是了解一些計算的本質，因為比較基礎，感謝各位大牛們給我指教，以此來幫助我和阿姨們共同進步。OK，話不多說，開寫；

1：線性方程組

線性方程組的特點：方程是未知數的一次齊次式，方程組的數目s和未知數的個數n可以相同，也可以不同。

關于線性方程組的解，有三個問題值得討論：

（1）、方程組是否有解，即解的存在性問題；

（2）、方程組如何求解，有多少個解

（3）、方程組有不止一個解時，這些不同的解之間有無內在聯系，即解的結構問題。

（4）

高斯消元法，最基礎和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：（1）、把某個方程的k倍加到另外一個方程上去；

（2）、交換某兩個方程的位置；

（3）、用某個常數k乘以某個方程。我們把這三種變換統稱為線性方程組的初等變換。

任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組。

由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個未知數的值，從而求得方程組的解。

對方程組的解起決定性作用的是未知數的系數及其相對位置，所以可以把方程組的所有系數及常數項按原來的位置提取出來，形成一張表，通過研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個數按某種方式構成的表稱為矩陣。

可以用矩陣的形式來表示一個線性方程組，這至少在書寫和表達上都更加簡潔。

系數矩陣和增廣矩陣。

高斯消元法中對線性方程組的初等變換，就對應的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對應的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。

階梯形矩陣的特點：左下方的元素全為零，每一行的第一個不為零的元素稱為該行的主元。

對不同的線性方程組的具體求解結果進行歸納總結（有唯一解、無解、有無窮多解），再經過嚴格證明，可得到關于線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現0=d這一項，則方程組無解，若未出現0=d一項，則方程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數目r等于未知量數目n，方程組有唯一解，若r

在利用初等變換得到階梯型后，還可進一步得到最簡形，使用最簡形，最簡形的特點是主元上方的元素也全為零，這對于求解未知量的值更加方便，但代價是之前需要經過更多的初等變換。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡形，取決于個人習慣。

常數項全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。

齊次方程組的方程組個數若小于未知量個數，則方程組一定有非零解。

利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題（1）解的存在性問題和（2）如何求解的問題，這是以線性方程組為出發點建立起來的最基本理論。

對于n個方程n個未知數的特殊情形，我們發現可以利用系數的某種組合來表示其解，這種按特定規則表示的系數組合稱為一個線性方程組（或矩陣）的行列式。行列式的特點：有n!項，每項的符號由角標排列的逆序數決定，是一個數。

通過對行列式進行研究，得到了行列式具有的一些性質（如交換某兩行其值反號、有兩行對應成比例其值為零、可按行展開等等），這些性質都有助于我們更方便的計算行列式。

用系數行列式可以判斷n個方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。

總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數目與未知量數目相等的特殊情形時引出的一部分內容。

在利用高斯消元法求解線性方程組的過程中，涉及到一種重要的運算，即把某一行的倍數加到另一行上，也就是說，為了研究從線性方程組的系數和常數項判斷它有沒有解，有多少解的問題，需要定義這樣的運算，這提示我們可以把問題轉為直接研究這種對n元有序數組的數量乘法和加法運算。

數域上的n元有序數組稱為n維向量。設向量a=(a1,a2,...,an)，稱ai是a的第i個分量。

n元有序數組寫成一行，稱為行向量，同時它也可以寫為一列，稱為列向量。要注意的是，行向量和列向量沒有本質區別，只是元素的寫法不同。

矩陣與向量通過行向量組和列向量組相聯系。

對給定的向量組，可以定義它的一個線性組合。線性表出定義的是一個向量和另外一組向量之間的相互關系。

利用矩陣的列向量組，我們可以把一個線性方程組有沒有解的問題轉化為一個向量能否由另外一組向量線性表出的問題。同時要注意這個結論的雙向作用。

從簡單例子（如幾何空間中的三個向量）可以看到，如果一個向量a1能由另外兩個向量a2、a3線性表出，則這三個向量共面，反之則不共面。為了研究向量個數更多時的類似情況，我們把上述兩種對向量組的描述進行推廣，便可得到線性相關和線性無關的定義。

通過一些簡單例子體會線性相關和線性無關（零向量一定線性無關、單個非零向量線性無關、單位向量組線性無關等等）。

從多個角度（線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程組角度）體會線性相關和線性無關的本質。

部分組線性相關，整個向量組線性相關。向量組線性無關，延伸組線性無關。

回到線性方程組的解的問題，即一個向量b在什么情況下能由另一個向量組a1,a2,...,an線性表出？如果這個向量組本身是線性無關的，可通過分析立即得到答案：b, a1, a2, ..., an線性相關。如果這個向量組本身是線性相關的，則需進一步探討。

任意一個向量組，都可以通過依次減少這個向量組中向量的個數找到它的一個部分組，這個部分組的特點是：本身線性無關，從向量組的其余向量中任取一個進去，得到的新的向量組都線性相關，我們把這種部分組稱作一個向量組的極大線性無關組。

如果一個向量組A中的每個向量都能被另一個向量組B線性表出，則稱A能被B線性表出。如果A和B能互相線性表出，稱A和B等價。

一個向量組可能又不止一個極大線性無關組，但可以確定的是，向量組和它的極大線性無關組等價，同時由等價的傳遞性可知，任意兩個極大線性無關組等價。

注意到一個重要事實：一個線性無關的向量組不能被個數比它更少的向量組線性表出。這是不難理解的，例如不共面的三個向量（對應線性無關）的確不可能由平面內的兩個向量組成的向量組線性表出。

一個向量組的任意兩個極大線性無關組所含的向量個數相等，我們將這個數目r稱為向量組的秩。

向量線性無關的充分必要條件是它的秩等于它所含向量的數目。等價的向量組有相同的秩。

有了秩的概念以后，我們可以把線性相關的向量組用它的極大線性無關組來替換掉，從而得到線性方程組的有解的充分必要條件：若系數矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等，則有解，若不等，則無解。

向量組的秩是一個自然數，由這個自然數就可以判斷向量組是線性相關還是線性無關，由此可見，秩是一個非常深刻而重要的概念，故有必要進一步研究向量組的秩的計算方法。

鑒于每篇文章內容不宜過長，后續的線性相關，矩陣乘法，空間變換，特征值與特征向量等知識會后續連載幾篇文章。謝謝阿姨的觀看，阿姨一定要學好哈！

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