題目描述

一只青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級……它也可以跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。

我的想法

因為和斐波那契變種的跳臺階很像，首先想到的還是寫遞歸公式，看能不能推出什么。表面上有種f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n - (n-1))的感覺，發現如果真的是這樣，完全可以化簡成f(n) = 2^(n-2) * f(1)，但是這當然是錯的，細細一想就會發現會多出很多重復情況，這個式子完全不可取。
于是換一種思路，可以去選擇臺階，選擇跳上n階所踩過的臺階。于是得出這樣的式子，f(n) = 1 + C(1, n-1) + C(2, n-2) + ... + C(n-1, n-1)，這很數學。列出階乘公式，帶入很容易就ac了。
代碼如下：

public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        int rtn = 1;
        long njie = jiecheng(target - 1);
        for (int i = 1; i < target; i++) {
            rtn += njie / (jiecheng(i) * jiecheng(target - 1 - i));
        }
        return rtn;
    }

    public long jiecheng(int start) {
        long rtn = 1;
        for (int i = start; i >= 1; i--) {
            rtn *= i;
        }
        return rtn;
    }
}

別人的思路

看到解析第一個，又驚了，只有幾行代碼......思路和我的很不一樣，具體是這樣的：
f(1) = f(1-1) = 1
f(2) = f(2-1) + f(2-2) = f(1) + f(0)
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3) = f(2) + f(1) + f(0)
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(n-n) = f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n-1)
解釋一下就是當跳的臺階只有一階時，只有一種跳法。
當跳兩階臺階時，可以分兩種方式，直接跳上去，另一種是先跳一階，再跳上去，只是第二種方法跳過第一步后就變成跳一階的情況。
了。
同樣跳三階樓梯，分三種，1.先跳一階后轉換成f(2)，2.先跳兩階轉換成f(1)，3.直接跳上去。
這種思路就推出了上面的公式。化簡一下：
f(n-1) = f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n-2)
f(n) = (f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n-2)) + f(n-1) = 2*f(n-1)

推出來的公式真的超簡單啊，代碼就沒有什么難度了
f(n) = 2*f(n-1)。

public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if (target <= 1) {
            return 1;
        } else {
            return 2 * JumpFloorII(target - 1);
        }
    }
}

但是畢竟這是遞歸，來看幾個優化：
迭代：

class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        int rtn = 1;
        while (--target != 0) {
            rtn *= 2;
        }
        return rtn;
    }
}

位運算一行代碼：

class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        return 1<<(target-1);
    }
}

可怕可怕，移位代替了乘2的工作，運算速度更快。
感覺自己想到方法已經很不容易了，看到別人的算法，感覺思維好有差距，還是要多練多練。