設二元函數(shù)?)
在)
處可微的，
在處沿偏導數(shù)方向的切線決定一個平面
，證明是在處的切面。證明如下：
? ??在處沿偏導數(shù)方向的切線方程分別為：%20%20%26%20%2C%20y%20%3D%20y_%7B0%7D%5C%5C%20%20%20%20L2%3A%20z-z_%7B0%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20(y-%20y_%7B0%7D)%20%20%26%20%2C%20x%20%3D%20x_%7B0%7D%5Cend%7Bcases%7D)
，其中，
是沿
方向的切線，方向向量為))
；
是沿
方向上的切線，方向向量為))
。和相交于，故它們決定了平面。平面的法線
(y-y_%7B0%7D))%2C-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y%7D(x-x_%7B0%7D)(y-y_%7B0%7D)%2C(x-x_%7B0%7D)(y-y_%7B0%7D)))
。
????考慮函數(shù)實際上是三元函數(shù)%3D%20f(x%2Cy)%20-%20z)
的等位面，故)
與正交，即
垂直于在處的切平面。由于
，即過且的法線與切平面的法線方向相同，故就是在處的切平面。
? ? 命題證畢。
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