今天在leetcode上做了幾道dynamic programming的題。就其中兩道題做個總結吧。

• coin change
• coin change 2

Coin change

先從第一道題講起，題目大意是：有不同面值的硬幣，以及一個需要由各種硬幣組成的數字，需要找出最少要幾個硬幣才能組成這個數字。（每種面值的硬幣的數量都是無窮的）。如果硬幣無法組成這個數字，返回-1。
這是一個例子，下面的講解也用這個例子：

Input: coins = [1, 2, 5], amount = 11
Output: 3 
Explanation: 11 = 5 + 5 + 1

這是一個一眼看上去就比較典型的dp問題，我直觀地想到的解法就是

1. 直接使用recursion方法

一開始，我直接使用上面這個總結出來的公式，寫出了如下代碼，顯然是不符合時間復雜度的。但是可以作為優化的起點。

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        //f(n) = 1 + min(f(n-1), f(n-5), f(n-10)) 
        // 1 5 10 is type of coin
        if(amount == 0) {
            return 0;
        }
        int res = Integer.MAX_VALUE;
        for(int coin: coins) {
            if(amount - coin >= 0) {
                res = Math.min(res, coinChange(coins, amount-coin));
            }
        }
        return (res == Integer.MAX_VALUE || res < 0)?-1:res+1;
    }
}

2. 優化recursion方法

根據前面一篇dynamic programming文章提到的，對recursion進行優化，可以用一個array將已經計算過的東西儲存起來，避免重復運算。

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        if(amount == 0) {
            return 0;
        }
        int[] cache = new int[amount+1];
        Arrays.fill(cache, -1);
        for(int coin: coins) {
            if(coin <= amount) {
                cache[coin] = 1;
            }
        }
        return coinChange(coins, amount, cache);
    }
    public int coinChange(int[] coins, int amount, int[] cache) {
        if(cache[amount] >= 0) {
            return cache[amount];
        }
        int res = Integer.MAX_VALUE;
        for(int coin: coins) {
            if(amount-coin >= 0) {
                res = Math.min(res, coinChange(coins, amount-coin, cache));
            }
        }
        cache[amount] = (res == Integer.MAX_VALUE || res < 0)?-1:res+1;
        return cache[amount];
    }
}

優化過的recursion代碼思想還是和之前的一致的，只是增加了cache變量。

3. 將從上到下轉化為從下到上

Dynamic programming最重要的一步。之前的recursion代碼是從上到下的一個過程，在這一步需要將它轉化為從下到上，去除recursion過程，因為recursion往往會需要更多的space。
下面是代碼

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        if(amount == 0) {
            return 0;
        }
        int[] cache = new int[amount+1];
        Arrays.fill(cache,  -1);
        for(int coin: coins) {
            if(coin <= amount) {
                cache[coin] = 1;
            }
        }
        for(int i = 1; i <= amount; i++) {
            if(cache[i] >= 0) {
                continue;
            } else {
                int res = Integer.MAX_VALUE;
                for(int coin: coins) {
                    if(i-coin >= 0 && cache[i-coin]!=-1) {
                        res = Math.min(res, cache[i-coin]+1);
                    }
                    cache[i] = (res==Integer.MAX_VALUE||res<=0)?-1:res;
                }
            }
            
        }
        return cache[amount];
    }
}

之后在discussion看到了更加簡潔的答案：

public class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int max = amount + 1;             
        int[] dp = new int[amount + 1];  
        Arrays.fill(dp, max);  
        dp[0] = 0;   
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {
            for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
                if (coins[j] <= i) {
                    dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
    }
}

總結

從整體的解答思想和一步一步得到danamic programming解法的過程來說，我的解答完全遵循前面一篇文章中提到的步驟。我在解題過程中遇到的最大的問題不是代碼的邏輯，而是edge case的處理和array的initial value，其實這兩個是同一個問題。我做了很多種不同的嘗試，但是最后都沒有寫出和討論區看到的解答那樣簡潔的答案。
通過學習別人的代碼，我學習到的：根據迭代的方法設立好的初始值對edge case來說至關重要。但是還沒能總結出什么規律，還需要多學習別人的解答。不要總盯著0，1，-1，Integer.MAX_VALUE，Integer.Min_VALUE不放。