一、背景知識：回顧梳理

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011 ）》中，把數(shù)學(xué)課程目標(biāo)分為總目標(biāo)與學(xué)段目標(biāo)，并分別從知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度四個方面加以闡述。 可見，“問題解決”是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)。 就“問題解決”的課程目標(biāo)而言，具體的要求是：要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，綜合運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，獲得分析問題、解決問題的一些基本方法，發(fā)展創(chuàng)新意識等。

過去，歸一問題屬于應(yīng)用題教學(xué)。多數(shù)采用綜合法、分析法等幫助學(xué)生分析題目中的數(shù)量關(guān)系，以找到“解題方法”為目標(biāo)。 而“解決問題”教學(xué)時，則沒有現(xiàn)成的類型和解法來套用，需要學(xué)生運用所學(xué)知識，并通過個人或小組合作的形式探索和實踐來解決，具有挑戰(zhàn)性，這樣就更有助于通過“解決問題”，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，發(fā)展其實踐能力和合作精神。

二、理性思考：數(shù)量關(guān)系

2019年4月7日凌晨，我聆聽了吳正憲老師的《歸一問題解決問題》，我久久不能睡著。一方面，吳老師動情地與兒童交流，吳老師從“1”和“多”之間的關(guān)系，建構(gòu)了數(shù)量關(guān)系為本質(zhì)的問題解決。

吳正憲老師執(zhí)教的《問題解決（歸一問題）》從數(shù)量關(guān)系出發(fā)，收尾呼應(yīng)。吳老師從問題出發(fā)，讓兒童回顧問題解決的全過程是閱讀理解-分析解答-回顧反思。比如，開課之后，吳老師以一系列問題，指明一個同學(xué)，幫助吳老師在黑板上板書。吳老師的問題是這樣的，她讓學(xué)生不斷提出問題。

1.從多到1，從1到多，明晰數(shù)量關(guān)系

第一個問題：12件衣服需要多少個小珠子？（你會馬上問我？）

學(xué)生記錄：一件。

第二問題：買8個碗需要多少錢？

學(xué)生記錄

第三問題：6小時行駛多少千米？

吳老師在黑板上圈出了1件、1個、1小時的，邊圈邊說，假如我們能知道了一件的，就可以求12件，還能求......

【思考：為什么吳老師這樣設(shè)計，吳老師把知識系統(tǒng)化，抓住了不同的類型的問題解決的關(guān)鍵之處，本質(zhì)的是從多到1，從1到多。我以為，吳老師果斷的讓學(xué)生思考，你會馬上問我？喚醒了學(xué)生的已有的問題解決過程。】

2.從數(shù)據(jù)到關(guān)系：多元表征，溝通本質(zhì)

出示問題：

吳老師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了重要數(shù)據(jù)，像4件、12件、24，還有要求的問題。這些數(shù)量之間有怎么樣的關(guān)系，我們解決問題就是研究數(shù)量和數(shù)量之間的關(guān)系。我相信已經(jīng)有人有答案了。你能求出12件衣服有多少個扣子。或許你現(xiàn)在就知道了，但是我想，讓同學(xué)們把手放下來，如果僅僅要數(shù)據(jù)，5分鐘就解決了。吳老師給你新的收獲。

你有什么辦法解決？你還能通過畫圖？或者四個數(shù)量組合組合，讓其他小朋友理解你。

【思考：問題解決需要借助直觀圖，比如3號同學(xué)直接畫衣服，1號同學(xué)畫三角形，2號同學(xué)畫線段圖，4號同學(xué)的圓形圖。吳老師在溝通不同計算表征過程中，并沒有先呈現(xiàn)線段圖的方式，也不是出示畫衣服的圖片，而是對比了1和3的作品。這樣的做法，我想是吳老師的基于兒童的經(jīng)驗或者兒童的理解，并且尊重了兒童的理解過程，但是，這個過程中，吳老師不斷啟發(fā)兒童之間要讀懂作品，她適時退后，讓兒童之間互相發(fā)問，讓兒童說出懂或者不懂。當(dāng)孩子不懂的時候，她主動讓兒童之間互相提出問題。她總是這樣說：“沒事兒。沒看懂的，我們一起讀懂這個同學(xué)的想法。”】

3.從現(xiàn)實到未來：建構(gòu)模型思想

接下來的環(huán)節(jié)里，吳老師讓學(xué)生把數(shù)學(xué)的數(shù)量關(guān)系進行梳理，并且把這樣的對應(yīng)關(guān)系板書到黑板上，可以看到，

24? ? ？個

4? ? ?12件

吳老師這樣說：“假如我們有了第二個問題，來不及解決了。你們自己能夠獨立解決嗎？同學(xué)們，你們經(jīng)常說的，1就是每份數(shù)，多就是總數(shù)。有了每份數(shù)和總數(shù)，他們之間的關(guān)系。我們就用每份數(shù)乘份數(shù)=總數(shù)。總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)。

馬上問一個碗多少錢，已經(jīng)不是困難。這里的每份數(shù)就可以叫做單價，總價，數(shù)量。又有了這樣的數(shù)量關(guān)系。

馬上想到，一小時行駛了多少。60，每份數(shù)有了速度，一共是多少就是路程，時間。同學(xué)們，不需要記憶，未來，哦，這就是1和多的關(guān)系的那位老師。再遇到速度、時間、路程的事兒。課已經(jīng)到了尾聲。但是我告訴你們。你們已經(jīng)順利拿下來了。今天這幾課重點研究的是歸一問題。”

【思考：收尾呼應(yīng)，提升模型思想。歸一數(shù)量關(guān)系，基本結(jié)構(gòu)是b分之a(chǎn)=x分之c，吳老師提升了對知識的整體建構(gòu)。從開始的問題出發(fā)回歸到了整個問題解決的過程，甚至是一類型的問題的提升。】’

三、課堂實錄：細微之處

我們吳正憲：一會兒，講的時候聲音大一點兒。不管哪位同學(xué)回答問題，說不定在她的眼神里，能讀懂。我們的眼睛都看著她。說不定在手勢中，理解她的表示。

今天，吳老師和大家繼續(xù)聊一個話題。這個話題叫解決問題。

吳老師：一年級學(xué)習(xí)了加減乘除的運算。這些運算幫助我們解決問題。

你們還記得解決問題，大致要經(jīng)歷哪些過程？

生：看問題

吳老師：閱讀理解。第二步呢？

生：分析

真好，吳老師說。

吳老師：進一步分析和解答，最后一步是檢查

最后一步就是回顧與反思。

吳老師：我們下面，我提完問題之后，大家可以不斷提出你的問題。

吳老師：出示第一個問題：12件衣服需要多少個小珠子？

生1：一件衣服有幾顆珠子。

吳老師：能解決

生：指明學(xué)生，板書：一件衣服

師：我繼續(xù)問，如果我想，買8個碗需要多少錢？

生：一個碗

6小時行駛了多少千米

生：1小時多少千米？

吳老師（圈出來）

孩子圈出來1小時

吳老師：假如，我們知道1件衣服，我們知道了12件衣服，還能求幾件的？

生 20

生100

生18

生50

生各種數(shù)字，就是很多很大的

吳老師：我知道了，只要知道了一件，就能求12件，50件的，很多件，很大件。我聽懂了（板書：1，板書多標(biāo)出箭頭）有的時候，一件偏偏做個玩笑。

出示【ppt】

藝術(shù)節(jié)要到了，學(xué)校舞蹈隊的孩子們要進行表揚，老師們決定在孩子們演出服上釘一些

生：4件衣服釘了24個珠子

師：

生：照這樣，12件衣服需要多少個珠子？

師：還有沒有重要的數(shù)據(jù)？

生：4件 ，12個珠子。 12件衣服，

還有嗎？

還有沒有不知道數(shù)據(jù)？

一件衣服可以釘幾個珠子？

生：一件衣服要釘6個珠子？

師：我們要求的問題是什么？

師：我聽懂了。

同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了重要的數(shù)據(jù)。

師：板書4件 24 個 12件 ？我們解決問題就是研究數(shù)量和數(shù)量之間的關(guān)系。你能求出12件事情有多少個扣子，這件事情不急，不急。你們就僅僅要數(shù)據(jù)。真的想通過這幾課，有點新的收獲。就是這些信息和數(shù)據(jù)，你能不能獨立思考，你有什么辦法解決這個問題，不僅僅自己看明白，比如畫畫圖，比如組合組合，讓其他小朋友理解。

我們先不討論，開始吧。

吳老師巡視，觀察兒童的思考過程。師：做完的小朋友，說一說你們是怎么想的？一會兒去集體交流。

吳老師：想法一樣的就不要了。討論討論，能不能理解別人的想法。

一會兒看看，老師要展示的幾位。

你們剛才做了一個簡短的交流。吳老師呈現(xiàn)幾位同學(xué)的解答過程。我問一下結(jié)果，最后釘多少個小珠子。

72顆

師：你不72.

還有不72的嗎？沒事的

師：這樣啊，我們一起來看一看。這個都弄明白了。

問：一個三角形表示多少

生：表示一件衣服。

師：一件一件 有4件衣服。

看懂了嗎？

一畫衣服看懂了

生：12里面有3個24

一個三角形表示4件衣服。

師：三號同學(xué)就一件衣服表示一件衣服。道理是一樣。同學(xué)們，你想說什么？

生：3號，因為她畫是衣服，畫清楚。

師：要是買冰箱，你們還笑嗎

生：那樣太麻煩了

生：如果數(shù)量很多，實體物品，用簡單的物品表示。

吳老師：畫衣服就懂了。我們有一個約定，我們可以用三角形、圓和線段圖，幫助解決問題。

師：你們看看2號同學(xué)，你們看懂了嗎？

生：看懂了嗎？

4件24，老師涂黑，一件衣服多少個，再用一件的乘12，我們知道了1就可以知道許多許多。剛才的一件沒有直接告訴你。我們知道4件衣服訂了24，知道許多件釘了許多扣子，我們能知道1，我們找到許多，我們還能找到1.正是三角形的圖，2號的圖多么簡潔。3號圖也好，衣服一朵多，怎么多。

生：可以乘法。

吳:4號同學(xué)在哪里？你看懂了我的想法？、

師：看懂的舉手。不急不急

你真的沒看懂。

師：沒事兒。沒看懂的，我們一起讀懂這個同學(xué)的想法。

這是幾？

生：4件衣服

生：12件衣服

師：為什么用12÷4＝3？

解鈴還須系鈴人。請你解釋解釋

你們看看他講的你能不能聽懂。

因為72有3個24.

你應(yīng)當(dāng)是問題。修改圖

問題是：為什么？

生：12件衣服，

生：明明3份，為什么說3件？3件從哪里來的？理解別人挺難的事兒。你知道嗎？

不知道。

誰知道。

生：快過年。我領(lǐng)著你。同學(xué)們一定要保護視力。

生：3件是，4件這樣的3組。一組一組，這里有3組

生：一組，一組，又一組。一共是3組。一組標(biāo)出24顆，下一組24，下一組24，所以3個24，就有3個24.就出來24+24+24=72.真的讀懂別人，需要我們認真思考。

生：我的意識是12÷4=3,12是4件衣服的3倍，可以所成3份，也就是3組。你知道你的意思為什么沒看看懂。

生：他們不知道為什么，圖上怎么樣讓我們看明白。

生：4件衣服，24，怎么看出12里面有3個4呢？

4件一組，可是圖上卻沒有圈、沒有畫。圈上3個圈，讓小朋友看3個圈，我們就找到了。讓別人讀懂自己，如果填上3個圈，就更好了。

師：讀懂了。這就是學(xué)習(xí)過程。我們不僅僅滿足結(jié)果，讓別人理解自己，還得下點功夫。同學(xué)們，剛才我們研究的都是4個數(shù)之間的關(guān)系，誰愿意到前面來，誰和誰一組比較合適？

生：我想把4件和24顆珠子房子一起，12件放在下面，代表。你覺得哪兩個數(shù)據(jù)最近。能把數(shù)據(jù)分開一點兒嗎？

師：4件和24有對應(yīng)關(guān)系。老師演示下，

24? ? ？個

4? ? ?12件

知道了許多，能求1件，知道1件，能求許多。

24? ? 72

4? ? ?12件

一件衣服的珠子，兩組數(shù)量的結(jié)果是相同的，用什么數(shù)學(xué)符號？

這個等號，很有力量。

師:這兩邊是相等的。

12÷4=3

72÷24=3

數(shù)量從豎著、橫著看一看，知道1和多的關(guān)系。

假如我們有了第二個問題，來不及解決了。你們自己能夠獨立解決嗎？同學(xué)們，你們經(jīng)常說的，1就是每份數(shù)，多就是總數(shù)。有了每份數(shù)和總數(shù)，他們之間的關(guān)系。我們就用每份數(shù)乘份數(shù)=總數(shù)。總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)。

馬上問一個碗多少錢，已經(jīng)不是困難。這里的每份數(shù)就可以叫做單價，總價，數(shù)量。又有了這樣的數(shù)量關(guān)系。

馬上想到，一小時行駛了多少。60，每份數(shù)有了速度，一共是多少就是路程，時間。同學(xué)們，不需要記憶，未來，哦，這就是1和多的關(guān)系的那位老師。再遇到速度、時間、路程的事兒。課已經(jīng)到了尾聲。但是我告訴你們。你們已經(jīng)順利拿下來了。今天這幾課重點研究的是歸一問題。

師：解決這個問題重點是每份數(shù)和多份數(shù)的關(guān)系。知道了老一，就知道老多。有了老多，就能推出老多。我們還會推出許多這樣特點的題。

吳老師：歸一問題，原來形式化、11簡單應(yīng)用題，加上典型應(yīng)用題。課改之后變成了問題解決，或者解決問題。我們本來是加強的。特別是新老師，反而淡化了。解決問題最重要的是研究數(shù)量關(guān)系。歸一問題有了重要特點。我想，研究的是數(shù)量之間的關(guān)系，研究的是1和多之間的關(guān)系，這是一種辯證的關(guān)系。主要的關(guān)系，每份數(shù)，份數(shù)和總數(shù)的關(guān)系。沒有抓手了，我們解決問題可不能虛化，我們?nèi)绾螏椭鷮W(xué)生提高學(xué)生的能力，它就長在課里。誰也繞不開。一日三餐的數(shù)學(xué)課，不是茶余飯后，喝點咖啡。核心知識，它是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)核心能力之重。讓學(xué)生理解1和多。孩子做題，沒有問題。孩子們已經(jīng)走向了比例，函數(shù)思想的重要的，正比例的圖像。我們歸一問題，從1走向多，我們走向比例。你的1和我的1相等，72變成了x，這就是一個重要的比例。到底有怎么的關(guān)系。我做了嘗試。一會兒人教版教材的指導(dǎo)，小學(xué)數(shù)學(xué)界的曹老師。

曹培英：各位老師，觀摩了吳老師的精彩演繹。

首先：一如既往的親和，名副其實的兒童數(shù)學(xué)，傳統(tǒng)內(nèi)容的與時俱進，模型思想的生動體現(xiàn)。知道多-明白一，到了六年級，正反比例列出一個表格，除了歸一還有倍比的關(guān)系。為什么關(guān)系“照這樣”吳老師的啟發(fā)，學(xué)生個個性化表征，為后續(xù)學(xué)習(xí)做出了鋪墊？

為什么學(xué)習(xí)歸一問題

北師大，增加了這個內(nèi)容

數(shù)量關(guān)系看：正比例關(guān)系-為學(xué)習(xí)比例做出鋪墊

遷移，分數(shù)乘除的中國思路

18÷三分之二 ，18的三分之二。

實際意義，一份是多少。剛才是整數(shù)乘分數(shù)，分數(shù)乘分數(shù)， 十九分之十八

已知一個數(shù)的三分之二是18，求這個數(shù)。我們看到了。

從文化差異看：不同的讀寫順序，三分之二：分數(shù)線，分母-分子

不同順序的影響。各有利弊。

國外學(xué)者之所有，分數(shù)的第五種意義。算子。