0. 前言

我們采用nil代替null來簡化操作。如果你之前學過，有一些印象，那跟隨本文從上到下畫一畫插入與刪除的全過程，也能加深你的印象與熟練程度。

插入和刪除的主邏輯，與前面的文章——紅黑樹01——前傳-二叉搜索樹中基本一致，只是特別處理了一下nil。最大的不同是，當插入結點和它的父結點都為紅色時，違反了紅黑樹的屬性，需要重新調整，共有3種情況（應該是6種，因為是對稱的，所以只討論一半）；刪除結點時若涉及到黑結點的刪除（或替換），會導致一側黑結點數目減少，違反了紅黑樹的規則，所以也需要調整，共有4種情況。

本章內容比較長，如果看得吃力了，可以暫時停下休息一會，回頭再看。但長不可怕，可怕的是看不懂，所以本文中我盡可能地把各個操作的前因后果講清楚，不像很多書上直接告訴你最終怎么做，但不知道原理所以一直記不住。希望大家能耐心看下去，經過測試，我給部分同學講過之后，能輕松記住整個過程，且能寫出來全部代碼。一定要堅持看完弄懂，不要覺得麻煩就不看了，請相信我，欠下的債遲早要還的。

1. 插入后的調整

為了便于說明，設新插入結點為x，x的父結點為p，p的父結點為pp，p的兄弟結點為pb，pb的左孩子為pbl, pb的右孩子為pbr。因為對稱性，我們這里只討論p == pp.left的情況。已經x和p當前均為紅色，pp肯定為黑色。這一系列的字母，直接這樣看下去肯定會暈的，所以請畫出來，自己邊畫邊往下讀。也可以直接根據結論看文章后面的示例，再回頭來看這里討論的原因。

回到主題：因為有兩個紅色結點，我們需要把其中一個變成黑色。但置黑的肯定不是x，因為新插入的結點是紅色（為什么新插入的是紅色呢，因為如果不插入紅色的話，那就沒有紅色了。但為什么不擔心沒有黑色了呢？因為強制規定——根為黑色，所以能保證一定有黑色），所以我們將p置黑。

但這樣pp的左子樹就多了一個黑色，違反規則，現在要想辦法減少左邊的黑色，前面已分析了，x本身不能變，故只能使pp置紅。但又導致右邊少一個黑色，所以需要把右邊的黑色加上來，有兩種辦法：

1. 若pb為紅色，將pb置黑即可。因為pp置紅了，可能會違反不能連續兩個紅結點的規則，所以將x指向pp，進入下一輪循環繼續；
2. 若pb為黑色，只能右旋pp（還記得我們上一篇文章中旋轉的作用嗎？）。但要想pp能夠成功右旋，x、p、pp必須在一條直線上，否則x將作為pp新的左孩子從而造成連續兩個紅色。

    private void insertFixup(Node x) {
        while (x.parent != nil && x.parent.color == RED) {
            Node p = x.parent;
            // 因為父節點為紅色，而根節點為黑色，所以父節點肯定不為根，故祖父節點存在，所以這里不需要判斷為nil。
            Node pp = p.parent;
            pp.color = RED;
            if (pp.left == p) {
                Node pb = pp.right;
                if (pb.color == RED) {
                    insertFixUpStats[0]++;
                    p.color = BLACK;
                    pb.color = BLACK;
                    x = pp;
                } else {
                    if (p.left != x) {
                        insertFixUpStats[1]++;
                        rotateLeft(p);
                        x = p;
                        p = x.parent;
                    }
                    insertFixUpStats[2]++;
                    p.color = BLACK;
                    rotateRight(pp);
                }
            } else {
                Node pb = pp.left;
                if (pb.color == RED) {
                    insertFixUpStats[0]++;
                    p.color = BLACK;
                    pb.color = BLACK;
                    x = pp;
                } else {
                    if (p.right != x) {
                        insertFixUpStats[1]++;
                        rotateRight(p);
                        x = p;
                        p = x.parent;
                    }
                    insertFixUpStats[2]++;
                    p.color = BLACK;
                    rotateLeft(pp);
                }
            }
        }
        root.color = BLACK;
    }

2. 刪除

當黑色結點被替代者替換時，會導致黑色結點的缺失而違反性質4，我們需要對替代者做一些處理，使樹恢復平衡。設被刪除的結點為x，x的左孩子為xl(left)，右孩子為xr(right)，x的后繼為s(successor)，后繼的右孩子為sr，替代者為r(replacement)，被替代的顏色為rc(replacedColor)，x的父結點為p，x的兄弟節點為b，b的左右孩子分別為bl, br。

因為刪除調整也是對稱的，下面我們只討論x == p.left的情況。

2.1 確定替代者與被替代的顏色

1. 如果xl或xr不存在時，直接把xr或xl替換x即可，故r為xr或xl，rc為x.color；否則轉2。
2. 如果xr == s，則只發生一次替換：s -> x，故r為s，rc為x.color。
3. 如果xr != s，則發生兩次替換：sr -> s, s -> x。我們保留x位置的顏色不變，將x的顏色賦值給s，則在顏色上的替換只有一次：sr -> s，我們只需要調整一個結點的黑色結點問題，此時r為s.right，rc為s.color。

2.2 調整替代者

因為少了一個黑色的結點，所以，以根到x.parent整條路徑上的任意結點為根的子樹，其左子樹都會少一個黑色結點。前人發明了一招來治標：假設r指針附帶了一層額外的黑色（這個黑色是跟著r指針走的，與結點本身無關，當r向上移動的時候，這層黑色也會跟著指針r走），這樣少的那個黑色又加回來了。如果r節點為紅色，那將r置黑（即將虛擬的黑色實體化），即解決問題；否則，需要更多的調整。

先確定總的原則：1. x不能再變化，因為x的變化會導致左邊黑色進一步減少，無利于解決問題；2. 總需要做出點變化，不然靜止不動，肯定無法解決問題。

首先區分出4種情況：按b的顏色可分為兩種情況，而b為黑時，又根據bl, br的顏色，可分為全黑、左紅、右紅3種情況（為什么不考慮全紅：因為單獨考慮左紅、右紅已經包含全紅了。另外，右紅經過左旋可轉化為左紅，是的，跟上面插入時一樣，如果不在一條直線上則旋轉到一條直線上）。然后再逐個攻破：

• 情況1：如果b為紅色，則p、bl和br都為黑色。因不能連續兩紅，故p、bl、br都不能變色，唯一能做的只能是b，故將其置為黑色，這樣右邊又多了一個黑色，現在多了2個黑色，如果現在左旋最多只能減少一個，那就先把p置紅（這里為什么敢置紅呢？先試試嘛，萬一不行不變就是了，恰好接下來的左旋操作，使得p的父親變成黑色的b，所以不會出現兩個紅色），右邊黑色數目恢復，但左邊又少了一個黑色。那就p左旋（旋轉就是用來將一邊的顏色分享給另一邊而原來那一邊顏色不減少），這時b的黑色作用到兩邊使左右兩邊的黑色數目都恢復。另外p左旋導致原來的bl成了p.right，成為x的新兄弟，且bl是黑色的，故轉換為情況2/3/4的一種。
• 情況2：b, bl, br都為黑色，唯一可能的變化是右邊的某個結點由黑轉紅，如果該結點是bl或br的話，那會造成b子樹的不平衡，不但沒解決問題反而引入了新的問題，肯定不行，所以只能是b由黑轉紅。這時右邊就少了一個黑色。將r上移指向p，相當于將r的虛擬黑色分享給右邊，增加了一個黑色。但此時只解決了原r子樹的黑色不平衡問題，新的r及更上層的不平衡問題還未解決，故進入下一輪循環繼續。
• 情況3：b為黑色，bl為紅色，因p, b, bl不在一條直線上，參考插入過程，我們需要將p, b, bl調整到一條直線上來以便進行旋轉操作。故b置紅，bl置黑，右旋b，再重置b，轉為情況4。
• 情況4：b為黑色，br為紅色，則p, b, br在一條直線上，這個時候怎么搞事情呢？因為br是紅色，所以b不能再置紅，而bl和p顏色不確定，所以也不能直接修改顏色。故可能的變化只能是br置黑，則右邊多了一個黑色。因為不能將p置紅來減少右邊的黑色，唯一能做的就是想辦法把b的黑色弄到左邊去。首先想到的就是左旋p，但如果p是黑色的，左旋p會導致右邊黑色減1左邊加1，最終左邊黑色數目比右邊多2（算上那個虛擬黑色），所以不能直接左旋p。我們試著交換p和b的顏色，再左旋p，則p原來的顏色還在原來的位置，b的黑色成功置換到了左邊。但現在左邊又多了一個黑色，我們把r移走，指向root，則總體平衡了（右邊黑色一加一減不變，左邊增加了一個），結束處理。

所以將來大家記不住4種情況分別是什么時，不妨自己在紙上畫畫，強迫自己搞點事情出來，再逐步恢復之前的局勢，想必能幫助你想起來。

    private void deleteFixUp(Node r) {
        while (r.color == BLACK && r != root) {
            Node p = r.parent;
            if (r == p.left) {
                Node b = p.right;
                // 情況1，處理之后轉化為情況2/3/4的一種。
                if (b.color == RED) {
                    deleteFixUpStats[0]++;
                    b.color = BLACK;
                    p.color = RED;
                    rotateLeft(p);
                    b = p.right;
                }

                // 因為有哨兵nil，所以這里不需要判斷brother.left是否存在。
                if (b.left.color == BLACK && b.right.color == BLACK) {
                    deleteFixUpStats[1]++;
                    b.color = RED;
                    r = p;
                } else {
                    // 情況3轉化為情況4
                    if (b.left.color == RED) {
                        deleteFixUpStats[2]++;
                        b.left.color = BLACK;
                        b.color = RED;
                        rotateRight(b);
                        b = p.right;
                    }
                    deleteFixUpStats[3]++;
                    b.right.color = BLACK;
                    b.color = p.color;
                    p.color = BLACK;
                    rotateLeft(p);
                    r = root;
                }
            } else {
                Node b = p.left;
                if (b.color == RED) {
                    deleteFixUpStats[0]++;
                    b.color = BLACK;
                    p.color = RED;
                    rotateRight(p);
                    b = p.left;
                }

                if (b.left.color == BLACK && b.right.color == BLACK) {
                    deleteFixUpStats[1]++;
                    b.color = RED;
                    r = p;
                } else {
                    if (b.right.color == RED) {
                        deleteFixUpStats[2]++;
                        b.right.color = BLACK;
                        b.color = RED;
                        rotateLeft(b);
                        b = p.left;
                    }
                    deleteFixUpStats[3]++;
                    b.left.color = BLACK;
                    b.color = p.color;
                    p.color = BLACK;
                    rotateRight(p);
                    r = root;
                }
            }
        }
        r.color = BLACK;
    }

3. 示例

下面我將演示按{6, 3, 5, 4, 2, 1, 0}的順序逐個插入，再按{6, 4, 5, 0, 1, 3, 2}的順序逐個刪除結點，演示插入的3種情況和刪除的4種情況。話說你這兩串數字怎么得來了，你怎么能知道能出現所有的情況？嘿嘿，多運行幾次代碼，你就能挑到一個滿足條件的。

開始插入5

前面兩個結點太簡單，就不演示了。我們從插入5開始，現在3和5連續兩個紅結點，且6、3、5不在一條直接線，為插入情況2，我們左旋3，轉化為情況3；然后5置黑，6置紅，右旋6.

完成插入5

接下來插入4之后，3和6都為紅，為情況1，所以將3和6置黑，5置紅。然后繼續判斷的時候，x已經指向根，所以將根置黑即結束。

插入4

接下來插入2，不需要調整，所以不演示了，繼續插入1.此時2和4均為紅，為情況1，將2和4置黑，3置紅，因為3的父結點5不再是紅色，所以處理結束。

插入2和1

插入0，0、1、2在一條直線上，為情況3，所以1置黑，2置紅，右旋2.

插入0

現在插入完畢，哈哈，看起來左邊高很多，但也只是2倍啦，還是一棵合法的紅黑樹。接下來我們開始刪除操作{6, 4, 5, 0, 1, 3, 2}。繼續使用上文中的符號來表示。

刪除6。因6的左孩子為nil，所以r為其右孩子（也是nil，但沒關系，我們把nil當成普通結點看待），rc為6的顏色黑色，所以需要做調整。b為3，顏色為紅，符合情況1。所以將3置黑色，5置紅色，右旋5，再重置b。

此時b(4)為黑色，左右孩子均為nil，也為黑色，符合情況2，故4置紅，r指向5。

此時r本身為紅色了，所以結束循環，將其置黑，結束處理。總結一下，刪除結點6，我們共進行了2次調整，分別為情況1和情況2。

刪除6

繼續刪除結點4。因為4左孩子不存在，所以r為其右孩子，rc為4的顏色紅色，故不需要調整，這里不再單獨作圖。

再刪除5。因5的左孩子不存在，故r為其右孩子nil，rc為5的顏色黑色，所以需要調整。因為b(1)為黑色，且其右孩子為紅色，符合情況3，故1置紅，2置黑，b左旋，2成為新的b，轉情況4；情況4中，將bl(1)置黑，p(3)顏色給b，p置黑，右旋3，r指向root。

總結一下，刪除結點5，我們共進行了2次調整，情況3和情況4.

刪除5

接下來刪除0，因它沒有左右結點，且顏色為紅色，不需要調整，直接刪除即可，不再畫圖。接下來刪除1。1沒有左結點，故r為1，rc為1的顏色黑色，b為3，顏色為黑色，且3的左右孩子均為黑色（nil的顏色），符合情況2，故將b置紅，r指向p。因為此時p已經是根了，將其置黑結束處理。

刪除1

接下來刪除3，3為紅色，不需要調整，刪除2樹為空，也不需要調整，不再畫圖。

5. 結語

通過本文的練習，如果能正確得到結果，證明你已經基本掌握了紅黑樹的插入與刪除操作。記得，插入調整的3種情況和刪除調整的4種情況，都可以通過自己演練出來，記不住了，就在紙上畫畫，試著隨便去做一些調整（如果調整造成了其他的沖突，則想辦法往回調整），最終會得到正確的解決辦法。

源碼

https://github.com/readyou/algorithm-introduction-code/blob/master/src/main/java/me/wxl/demo/data/struct/RedBlackTree.java

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