Given a binary tree, find the maximum path sum.
For this problem, a path is defined as any sequence of nodes from some starting node to any node in the tree along the parent-child connections. The path must contain at least one node and does not need to go through the root.

For example:
Given the below binary tree,
1
/ |
2 3
Return 6.

題意：求一個二叉樹的一條最大路徑和，這條路徑可以從任意節點起始，到任意節點結束，但至少要有一個節點。

思路：
如例子，路徑總共有三種類型：[1,2]，[1,3]，[2,1,3]。
即每個節點可以連接它的左邊一條最大路徑，或連接右邊一條最大路徑，或把左右最大路徑連接起來。
因此我想到，用一個方法求以當前節點為起始節點，到它下方任意節點為終點的最長路徑。通過這個方法可以求一個節點左右的最長路徑和，然后和這個節點值相加，就是以這個節點作為頂點的最大路徑。遍歷樹中所有節點，就可以找到最大的路徑和。

public int maxPath = Integer.MIN_VALUE;

public int maxPathSum(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return 0;
    }

    Queue<TreeNode> q = new LinkedList<>();
    q.add(root);
    while (!q.isEmpty()) {
        TreeNode cur = q.poll();
        int left = helper(cur.left);
        int right = helper(cur.right);
        maxPath = Math.max(maxPath, left + cur.val + right);
        if (cur.left != null) {
            q.offer(cur.left);
        }
        if (cur.right != null) {
            q.offer(cur.right);
        }
    }

    return maxPath;
}

public int helper(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return 0;
    }

    int left = helper(root.left);
    int right = helper(root.right);

    int curMax = Math.max(left, right) + root.val;
    return curMax > 0 ? curMax : 0;
}

這個方法，可以通過，但是會超時。原因是每層都遍歷一次，那么樹下方的節點要重復調用helper很多次。
優化：helper中已經得到了一個節點左右單向最大路徑和，那么就可以在helper中直接求出以當前節點為頂點的最大路徑和。即把maxPath更新的那行代碼移到helper中，這樣每個節點只會被遍歷一次。

public int maxPath = Integer.MIN_VALUE;

public int maxPathSum1(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return 0;
    }

    helper(root);

    return maxPath;
}

public int helper1(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return 0;
    }

    int left = helper(root.left);
    int right = helper(root.right);
    maxPath = Math.max(maxPath, root.val + left + right);
    int curMax = Math.max(left, right) + root.val;
    return curMax > 0 ? curMax : 0;
}