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線性代數(shù)，

默認(rèn)的，二維平面我們有如下矩陣

$\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$

之所以是如此，是因?yàn)榈芽栕鴺?biāo)系初始定義默認(rèn)是如此
從縱向看過去，兩個(gè)列空間

$\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$

整個(gè)二維平面由這兩個(gè)基的所有線性無關(guān)的組合表示
現(xiàn)在考慮一個(gè)問題，你嘗試用這個(gè)矩陣去度量一個(gè)向量或者叫點(diǎn)(x,y)

即做如下乘法

$\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

我們發(fā)現(xiàn)答案依然是
$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$
現(xiàn)在我們來構(gòu)想一個(gè)有趣的事情
比如我們把矩陣改為
$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$

從縱向看過去，兩個(gè)列空間
$\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}$

我們發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)基向量發(fā)生了某種變換,或者說整個(gè)矩陣發(fā)生了某些變換，
我們嘗試度量一個(gè)向量或者說點(diǎn)(x,y)

像這樣
$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$
結(jié)果會是

$\begin{bmatrix}x+2y\\3x+4y\end{bmatrix}$

你會發(fā)現(xiàn)結(jié)果仍然是和1，2，3，4這幾個(gè)數(shù)字相聯(lián)系，更確切的說，是跟矩陣

$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$
相聯(lián)系，更深層的意義是，跟張成該空間的兩個(gè)基礎(chǔ)列空間基相聯(lián)系

繼續(xù)下去，我們看過的單位矩陣像這樣
$\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$
，或者諸如其他更高維度的矩陣，為什么單位矩陣會規(guī)定為主對角線為1其他元素均為0的矩陣呢，巧合么，其實(shí)不然，這恰恰是為了和笛卡爾坐標(biāo)系保持一致，極大便利了計(jì)算的方便程度。

單位矩陣的意義不僅如此，如我們剛剛提到的矩陣

$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$

，該矩陣表達(dá)了在單位矩陣（這里我更喜歡叫初始矩陣）

$\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$
的基礎(chǔ)之上的變換，看全體可能看不太出來，
但是我們從列空間向量

$\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$

可以看出變換后的
$\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}$

也就是說，該矩陣代表的變換是基于每一個(gè)列空間向量的變換而來的。
通過這種思路，說明，矩陣的變換不過是對基向量的變換而已。

我們知道單位矩陣
$\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$
所張成的空間構(gòu)成了整個(gè)平面，也即是說，平面是由列空間基向量的所有的線性無關(guān)組合構(gòu)成。
而對應(yīng)的
$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$

又是基于
$I=\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}$ 和 $J=\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}$
所構(gòu)成的新的 $I,J$ 的線性無關(guān)組合的平面。

也即是說，平面可能只有一個(gè)，但是對應(yīng)的線性無關(guān)組卻有無窮多個(gè)，如此美麗，如此自然。

結(jié)論：矩陣是描述運(yùn)動(dòng)的一種表示形式，矩陣的每一項(xiàng)列空間表示張成該空間的線性無關(guān)組合，這種組合作用于任意的向量或者點(diǎn),即矩陣的乘法

擴(kuò)展：

矩陣的乘法的這種關(guān)系可以很好的理解3D歐拉死鎖問題，歐拉角由三個(gè)矩陣構(gòu)成，即三個(gè)旋轉(zhuǎn)角度，在合適的角度下，三個(gè)矩陣 $A*B*C$ 若其中相鄰兩個(gè)的乘積得到的新的矩陣所具有的空間列向量無法保持其線性無關(guān)的特性,也即是說，有一個(gè)列空間向量對張成空間無作用，則修改第三個(gè)矩陣的角度參數(shù)時(shí)會無法張成整個(gè) $3$ 維的空間，而丟失一個(gè)維度，這丟失的一個(gè)維度，其實(shí)就是丟失的一個(gè)線性無關(guān)組。

擴(kuò)展2:

矩陣的乘法我們往往關(guān)心的是旋轉(zhuǎn)這一類的東西，但是不要忘了，向量是什么，是有大小和方向的一個(gè)東西，那么矩陣的乘法，除了對被施與矩陣乘法的事物進(jìn)行了角度方向上的變化之外，同時(shí)還有大小上的變化，很直觀的一個(gè)例子是，比如
$\begin{bmatrix}3&0\\0&2\end{bmatrix}$
這個(gè)矩陣施與的變化是角度變化量為0，而大小變化量為原來的六倍，這便引出了行列式的幾何意義，行列式的關(guān)注點(diǎn)正是這種變化量的大小，它并不關(guān)心線性變換的角度，這很重要，后面的特征值一類的東西我猜想也是這么來的。

擴(kuò)展3 ：

求解類似
$\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}\overrightarrow{X}=\overrightarrow{V}$
基于前面的知識，我們知道，這是要求我們使用左邊的矩陣去操作X 向量讓它和V向量重合，這里我們知道，當(dāng)這里的三個(gè)列空間向量
$\begin{bmatrix}a\\d\\g\end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}b\\e\\h\end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}c\\f\\i\end{bmatrix}$
有以下三種情況

能完全張成一個(gè)三維空間，，則必然可以操作向量X到達(dá)向量V的位置

若丟失一個(gè)列空間維度，也即只能展開為一個(gè)二維平面，那么若要操作向量X到達(dá)目標(biāo)向量V的位置，則只有當(dāng)V向量剛好在這個(gè)二維平面才有可能

若丟失二個(gè)列空間維度，即只能展開為一維的直線，則解存在的可能行更加小，即只有當(dāng)目標(biāo)向量V剛好和被操作向量X在一條直線上，即存在于矩陣所張成的直線上時(shí)。

若完全丟失維度，即變成所謂的 $0$ 矩陣，嘛，結(jié)果不用說了，限定V向量只能是0向量才有解。

這里需要引入一個(gè) 概念，矩陣的秩，我們說，這里的秩其實(shí)就是我們剛剛提到的能夠張成的空間的維度。即極大線性無關(guān)組的個(gè)數(shù)。也就是張成的列空間的個(gè)數(shù)，當(dāng)滿秩時(shí)，矩陣才可逆，因?yàn)榭臻g沒有被壓縮。

擴(kuò)展4：

當(dāng)A是一個(gè)矩陣，我們求解
$A\overrightarrow{X}=0$
時(shí)，我們實(shí)際上是求解符合條件的的所有的X，也即這些所有的X能夠張成的空間，也即，A矩陣本身能對哪些X向量坍縮至0空間（唔，這里可能叫0向量更好一些），很顯然，就是A所丟失的列空間（或者叫丟失的秩）正是X向量所能張成的空間，因此，X向量張成的空間的秩加上A的秩的和會剛好等于A為滿秩時(shí)的秩的值。這沒什么奇怪的，因?yàn)閄所張成的空間即是被A矩陣所丟棄的或者那部分空間，這部分空間叫做（A矩陣所在的零空間或者核）

擴(kuò)展5：

對于一個(gè)非方陣矩陣變換，例如 $\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$
左邊是一個(gè) $3\times2$ 的矩陣，而右邊是一個(gè) $2\times1$ 的矩陣，根據(jù) 矩陣乘法的基本知識，我們會得到一個(gè) $3\times1$ =的矩陣像這樣
$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+2y\\3x+4y\\5x+6y\end{bmatrix}$
根據(jù)我們之前的知識，這里左邊為轉(zhuǎn)換矩陣，右邊為輸入值，這里的值是布滿整個(gè)平面的點(diǎn)，然后輸出為一個(gè)高維(這里是 $3$ 維)的點(diǎn)，需要注意的是，輸出的這里的三維的所有點(diǎn)，依舊在一個(gè)平面上，如果把這個(gè)平面畫在三維歐式空間里可以看到這個(gè)平面是斜著一定角度的，但仍然是一個(gè)平面，也即是說，左邊的 $3\times2$ 矩陣秩依然是滿秩為 $2$ ，或者說列空間為 $2$ ，右邊的輸入值可以認(rèn)為是對所有列空間的線性組合，列空間為 $2$ 自然組合最多為平面，只不過這個(gè)平面有點(diǎn)不太一樣罷了。
$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=x*\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}+y*\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}$
上面相當(dāng)于對 $\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}$ 的線性組合
也即是說，這里將一個(gè)二維點(diǎn)進(jìn)行了“升維”，（為什么打引號，因?yàn)槠鋵?shí)維度并沒有改變，只能說，我把一個(gè)平面，表示在了三維空間而已。比如 $（x,y）$ 平面，如果我非要表示在三維空間，一個(gè)簡單的方式就是直接寫成 $（x,y,0）$ 即z值為 $0$ 的 $3$ 維空間中的二維平面，但 $z$ 不一定非要為 $0$ ，仔細(xì)想想就完全理解了）

同樣的對于
$\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$
左邊是一個(gè) $1\times2$ 的矩陣，而右邊是一個(gè) $2\times1$ 的矩陣，根據(jù) 矩陣乘法的基本知識，我們會得到一個(gè) $1\times1$ =的矩陣像這樣
$\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=x+2y=X$
左邊雖然有兩列，也即是原始的空間是 $2$ 維的，但兩列屬于線性相關(guān)，因此有一列是屬于重復(fù)貢獻(xiàn)了列空間，也即是說列空間為 $1$ ，即秩為 $1$ ，右邊輸入空間是二維向量，可以理解為對單一的一維列空間的線性組合，顯然結(jié)果是集中在一條直線上，這是對二維輸入的一個(gè)降維操作。圖形表示的話，就像是對一個(gè)不穩(wěn)定的正方形（比如說四個(gè)頂點(diǎn)用螺絲固定，假如螺絲不是很緊，那么正方形就可以發(fā)生一些形變），我們從上往下施加一個(gè)斜方向的壓力，就會逐漸變成平行四邊行，繼續(xù)往下壓折疊會逐漸折疊成一條直線，這個(gè)坍縮有點(diǎn)斜不拉幾的，然后逐漸坍縮到一條直線，
（注：似乎還是折疊比較適合這個(gè)概念。因?yàn)檫@條直線其實(shí)是整個(gè)平面折合到一起的直線）

如果你仔細(xì)注意上述乘法結(jié)果的話，你會發(fā)現(xiàn)似曾相識，是的，這便是點(diǎn)積的引入。我擔(dān)心你可能還是有點(diǎn)迷糊，所以我們不妨寫成等價(jià)的式子

$\begin{bmatrix}x1&y1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x2\\y2\end{bmatrix}=x1x2+y1y2$

為什么我們說左邊原始空間是二維，就是這么回事，但是為什么我們說他的貢獻(xiàn)只有單一的一維呢，因?yàn)榱锌臻g線性相關(guān)。我們對線性相關(guān)的列空間進(jìn)行組合，又因?yàn)檫@里的列空間維度是一，所以，相當(dāng)于是操作同一條直線上各個(gè)數(shù)字的各自系數(shù)的大小，然后相加，所以說，點(diǎn)積，似乎可以理解為對列空間基的積分。只不過這里的列空間基在一條直線上。

這在更高維度同樣適用
$\begin{bmatrix}x1&y1&z1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x2\\y2\\z2\end{bmatrix}=x1x2+y1y2+z1z2$

無論多高維度下都是將各個(gè)維度分別往到一維數(shù)軸所在位置然后進(jìn)行的線性組合的最終的加和，也就是點(diǎn)積