我們先來看看第一個重點：數(shù)學(xué)的用處都有什么？

我們現(xiàn)在每天都離不開的手機和電腦，其實本質(zhì)上也就是各種計算機，要想讓它們輔助我們的生活工作，就避免不了讓它們處理人類的文字和語言，比如語音文字轉(zhuǎn)換、語言翻譯等等，那你知道計算機處理人類的文字、語言背后的原理是什么嗎？

其實在很早以前，人們就已經(jīng)試著用數(shù)學(xué)來解決文字校驗的問題了。我們知道，猶太人信仰猶太教，猶太教的經(jīng)典是《圣經(jīng)》中的《舊約》，里面記載著猶太人的歷史。可是，《圣經(jīng)》不是由一個人寫成的，它的寫作過程經(jīng)歷了好幾個世紀，所以之后的作者在補充《圣經(jīng)》時，就會面臨一個問題，那就是怎么在抄寫的過程中不出現(xiàn)錯誤？人的馬虎總是難以避免，所以這本應(yīng)該是一個難題。

但是聰明的猶太人發(fā)明了一種方法。他們在抄寫《圣經(jīng)》時，會把每一個希伯來字母對應(yīng)一個數(shù)字，這樣，每行或者每列文字加起來都對應(yīng)一個數(shù)，這個數(shù)就是這一行或這一列的校驗碼。這樣一來，抄完之后只要對比每行每列的校驗碼正不正確就行了，如果發(fā)現(xiàn)校驗碼有錯，那通過行和列的校驗碼，也可以很快地定位到抄錯的地方。這背后的原理，和我們今天的各種校驗也是相同的。

那人類的自然語言該怎么處理呢？在這個問題上，人們曾經(jīng)走過很多彎路。其實最開始的時候，科學(xué)家們按照仿生學(xué)的思路，堅持認為，要讓計算機學(xué)會處理自然語言，就必須像人一樣，先讓它理解自然語言，讓它學(xué)會語法。但是后來人們發(fā)現(xiàn)，語法規(guī)則實在太多，根本沒有辦法窮盡。因為我們?nèi)粘Ｓ玫淖匀徽Z言其實很復(fù)雜，不同的語境，不同的上下文，不同的語序，都會產(chǎn)生完全不同的語義。根據(jù)計算，就算覆蓋我們平時常用語言的20%，都要寫幾萬條語法，這個工作量就已經(jīng)是天文數(shù)字了。而且寫到后面，還會有自相矛盾的語法，為了區(qū)分，還要注明什么環(huán)境下用什么語法，整個過程無比繁瑣。所以讓計算機學(xué)習(xí)語法這一條路，在上個世紀70年代就走到了盡頭。

就在人們一籌莫展的時候，數(shù)學(xué)的威力顯示了出來。數(shù)學(xué)的魅力就在于讓復(fù)雜的問題簡單化。美國著名的計算機科學(xué)家賈里尼克領(lǐng)導(dǎo)他的實驗室，借助數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計學(xué)工具，把當時語言識別的成功率從70%提升到90%，同時讓語言識別的規(guī)模，從幾千個單詞上升到幾萬個單詞，讓語言識別有了實際應(yīng)用的可能。聽到這兒你可能很疑惑，統(tǒng)計學(xué)和自然語言好像沒什么關(guān)系，它怎么處理自然語言呢？其實賈里尼克的思路很簡單，他認為，要判斷一個句子正不正確，就要看這個句子出現(xiàn)的可能性的大小，這個可能性用概率來衡量。比如，我們假定第一個句子出現(xiàn)的概率是二分之一，第二個句子出現(xiàn)的概率是千分之一，那第一個句子出現(xiàn)的可能性就比第二個句子大得多，那么從概率的角度來說，第一個句子就更有可能是正確的。

所以接下來我們需要做的事，就是判斷一個句子出現(xiàn)的可能性有多大。這時就需要用到“馬爾科夫假設(shè)”，這個假設(shè)是說，假定一個句子里每個詞出現(xiàn)的概率，只和前一個詞有關(guān)，就好比“漲停”這個詞，最有可能出現(xiàn)在“股票”這個詞之后。那么，只要給計算機量足夠大的機讀文本，也就是專業(yè)人士說的語料庫，計算機就能算出來，在一個特定詞后面出現(xiàn)某個詞的概率。這樣，只要把一句話里所有詞出現(xiàn)的概率相乘，就是這個句子出現(xiàn)的概率。概率最大的句子，就是最有可能正確的句子。按照這個思路，科學(xué)家們成功地讓計算機擁有了處理自然語言的能力。

你看，一個用幾萬條復(fù)雜語法解決不了的問題，用數(shù)學(xué)工具就輕松地解決了，而且效果還要好得多。那除了自然語言，我們今天用手機、用電腦，最常做的一個動作之一就是“搜索”。很多人喜歡點網(wǎng)站上的分類標簽，看自己特別感興趣的新聞。那計算機是怎么給這些新聞分類的呢？這背后的原理也就是數(shù)學(xué)。這就是我們最開始舉的那個例子：余弦定理能幫助新聞網(wǎng)站進行新聞分類。

余弦定理大家中學(xué)都學(xué)過，你可能忘了，我來跟你復(fù)習(xí)一下啊。它是一個揭示三角形邊角關(guān)系的重要數(shù)學(xué)定理，使用余弦定理，就可以僅憑三角形兩個邊的向量，計算出這兩個邊的夾角。向量就是有特定長度和方向的量，可以表示為帶箭頭的線段。

具體該怎么做呢？一篇新聞里會有很多詞，像“之乎者也的”這種虛詞，對判斷新聞的分類沒有太大的意義。而像“股票”“利息”這種實詞，是判斷新聞分類的重點詞。科學(xué)家精選了一個詞匯表，這里面收錄著64000個詞，每個詞都對應(yīng)一個編號。他們先把大量文字數(shù)據(jù)輸入計算機，算出每個詞出現(xiàn)的次數(shù)。

一般來說，出現(xiàn)次數(shù)越少的詞越有搜索價值，比如“愛因斯坦”“數(shù)學(xué)之美”；而出現(xiàn)次數(shù)越多的詞，越?jīng)]有搜索價值，比如“一個”“這里”等等。根據(jù)這個標準，把詞匯表里的64000個詞都算出各自的權(quán)重，越特殊的詞權(quán)重越大。然后，再往計算機里輸入要分類的新聞，計算出這64000個詞在這篇新聞里的分布，如果某些詞沒有在這篇新聞里出現(xiàn)，對應(yīng)的值就是零，如果出現(xiàn)，對應(yīng)的值就是這個詞的權(quán)重。這樣，這64000個數(shù)，就構(gòu)成了一個64000維的向量，我們就用這個向量來代表這篇新聞，把它叫做這篇新聞的特征向量。

不同類型的新聞，用詞上有不同的特點，比如金融類新聞就經(jīng)常出現(xiàn)“股票”“銀行”這些詞，所以不難判斷，同類新聞的特征向量會有相似性。這樣的話，只要算出不同新聞特征向量之間夾角的大小，就可以判斷出它們是不是同一類新聞。這時就要用到余弦定理，來把兩則新聞的特征向量之間的夾角算出來。科學(xué)家可以人工設(shè)定一個值，只要兩個向量之間的夾角小于這個值，這兩則新聞就可以判定成同一類新聞。你看，一個簡單的數(shù)學(xué)定理，通過科學(xué)家們的巧妙應(yīng)用，再次舉重若輕地解決了一個難題。

來給你總結(jié)一下這部分的內(nèi)容。科學(xué)家們使用了統(tǒng)計學(xué)的方法，用概率的大小判斷一個句子的正確性，從而讓計算機獲得了處理自然語言的能力。而在新聞分類領(lǐng)域里，科學(xué)家們用到了余弦定理，來判斷新聞的特征向量之間的夾角，從而讓計算機能夠確定新聞的類別。

那咱們來回答一下這個部分的問題“數(shù)學(xué)的用處都有什么”。吳軍在書中說技術(shù)分為“道”和“術(shù)”兩種，做事的原理和原則是“道”，而做事的具體方法就是“術(shù)”。我覺得數(shù)學(xué)真正的作用，就是讓我們掌握“道”。因為從歷史的發(fā)展來看，所有的“術(shù)”都會從獨門秘籍到普及再到落伍，就像吳軍說的只有掌握了“道”的人才能永遠游刃有余。

第二部分

說完了數(shù)學(xué)的作用，可能有人還是覺得不太服氣：沒錯，數(shù)學(xué)有時候確實有用，但是人類也不是離不開數(shù)學(xué)，我不懂數(shù)學(xué)也可以憑經(jīng)驗來認識世界，來解決問題。有這種觀點的人可能不在少數(shù)，但吳軍在書里告訴我們，很多問題光靠經(jīng)驗累積是沒辦法解決的，必須要有數(shù)學(xué)的幫助才能得到答案，這是為什么呢？第二個重點我就給你說說：數(shù)學(xué)為什么這么有用？

和經(jīng)驗相比，數(shù)學(xué)能幫助我們的，就是能讓我們找到一個正確的數(shù)學(xué)模型。這有多重要呢？吳軍說，只有正確的數(shù)學(xué)模型，才能把一個大問題的計算復(fù)雜度降低，讓它變得簡單。而經(jīng)驗給我們的模型，常常是錯的，那由它總結(jié)出來的結(jié)論，也就是錯的。

比如人類從古時候起，就想弄清楚天上星星的運動規(guī)律，因為我們身處地球之上，所以古人們最開始很自然地把地球當成了宇宙的中心。其他的星體，不管是太陽、月亮還是金木水火土這幾大行星，在古人的眼里都在圍繞地球旋轉(zhuǎn)。這種基本認知就是我們今天常說的“地心說”。但是實際上，除了月亮以外，其他所有星體實際上并不是繞著地球轉(zhuǎn)的，所以這些星體的運動規(guī)律，在地球上看來就特別復(fù)雜。如果你讀過《達芬奇密碼》這本書就知道，金星大約每四年，會在天上畫一個五角星。

這個軌跡就太復(fù)雜了，為了給星體找到一個符合觀測經(jīng)驗的運動規(guī)律，古代科學(xué)家們找了很多方法，其中，最有名的來自古羅馬天文學(xué)家托勒密。托勒密為了完善地心說，設(shè)計了一種大圓套小圓的運動方式，極為精確地計算出了所有行星的運動軌跡。不過這個模型相當復(fù)雜，他的這套理論一共用到了40到60個圓形，大圓里面套小圓，你想想，就算今天有了計算機的幫助，我們都很難解出40個套在一起的圓方程。

你看行星的軌跡運行得這么復(fù)雜，就是因為數(shù)學(xué)模型找錯了的原因。托勒密的模型就算再精密，再符合當時人們的經(jīng)驗判斷，也不能說是正確的數(shù)學(xué)模型。后來，波蘭天文學(xué)家哥白尼提出了日心說，德國天文學(xué)家開普勒在他的基礎(chǔ)上，偶然發(fā)現(xiàn)，原來行星繞太陽轉(zhuǎn)不需要大圓套小圓，一個橢圓方程就搞定了。他還通過這個數(shù)學(xué)模型，總結(jié)出了行星圍繞恒星運轉(zhuǎn)的開普勒三定律，把星體的運動規(guī)律解釋得清清楚楚。

而且這個正確的數(shù)學(xué)模型，還在后來成功地幫科學(xué)家找到了海王星。當時法國天文學(xué)家布瓦爾發(fā)現(xiàn)，天王星的運行軌道和橢圓模型算出來的不太一樣。后來科學(xué)家直接用數(shù)學(xué)工具，計算出了吸引天王星偏離軌道的海王星。你看這種未觀測先發(fā)現(xiàn)的成果，是不可能光憑日常經(jīng)驗得到的。有些由經(jīng)驗帶來的先入為主的觀念，還會嚴重阻礙人們對世界本來面目的認識過程。

其實，歷史對人類在這方面的教訓(xùn)真不少，吳軍還說了一個和我們生活息息相關(guān)的例子。有二十年以上打字經(jīng)歷的朋友可能都知道，原來在電腦上打字可是一個技術(shù)活兒。當時比較流行的輸入法有五筆輸入法、雙拼輸入法、還有全拼輸入法，等等。可是到了今天，使用雙拼和五筆輸入法的人越來越少，而使用全拼的人越來越多，這是為什么呢？

這還是要從人們的固有經(jīng)驗說起。人們一開始總以為，最好的漢字輸入法就是最簡單的輸入法，平均打一個字敲擊的鍵盤次數(shù)越少，那這個輸入法就越好，但歷史又一次證明，這種經(jīng)驗上的直覺并不可靠。比如拼音輸入法中的雙拼和全拼，在雙拼輸入法中，每個聲母和韻母都只用一個鍵表示，而全拼輸入法則要求打出整個拼音。

比如“ao”這個韻母，在雙拼中只需要按“k”這個鍵，而全拼則需要按“a”和“o”兩個鍵。所以雙拼敲擊鍵盤的次數(shù)會天然地比全拼短，看起來更高效一些。但吳軍說，雙拼法看似減少了敲擊鍵盤的次數(shù)，但輸入一點也不快。為什么呢？因為漢語的聲母韻母加起來一共有50多個，但是鍵盤上只有26個字母鍵，所以很多韻母就需要共享一個字母鍵，這就會導(dǎo)致，打字的人要從更多的候選漢字里找到自己想打的字；而且雙拼的方法不自然，比全拼多出來一道拆分聲母和韻母的過程，你需要背下來哪個韻母是哪個按鍵；最后，很多南方人分不清前后鼻音和卷平舌音，結(jié)果就導(dǎo)致翻了好幾頁都找不到自己想打的字，其實原因是一開始就打錯了聲母或者韻母。

這一系列問題都證明，追求更簡單高效的雙拼輸入法，實際效率并不高，五筆輸入法也是類似的情況。上世紀90年代時，中國出現(xiàn)的輸入法種類一度多達上千種，但這些輸入法大多和雙拼一樣，都把發(fā)力點放在了減少敲擊次數(shù)上，都強調(diào)自己是最快的。這個方向就走偏了，到了現(xiàn)在，人們幾乎全都拋棄了這些輸入法，這一批發(fā)明人可以說是全軍覆沒。

與此同時，全拼輸入法得到不斷改進。所有漢字全拼的平均長度是2.98，只要能很好地利用上下文的相關(guān)性，就能把全拼輸入法的平均敲擊次數(shù)控制在3次以內(nèi)。那該怎么利用上下文的相關(guān)性呢？這里又有人繞過彎路。10年前，人們就是通過不斷增加詞庫，甚至把一整句唐詩當成一個詞來解決這個問題。但是統(tǒng)計下來發(fā)現(xiàn)，幫助不太大。因為漢語里短字詞“一音多字”的情況太多，如果詞庫非常大，打出來的候選詞太多，找到自己想要的那個還是很費時間。吳軍說，增大詞庫，這也是根據(jù)經(jīng)驗和直覺的應(yīng)對方法，就和我們剛剛說的，“在大圓里套小圓，在小圓里套更小的圓”思路一樣。

那最好的解決辦法是什么呢？就是借助語言模型。這和第一個重點里說的，計算機處理自然語言的思路比較像，都是利用統(tǒng)計學(xué)的原理，來計算出一長串拼音轉(zhuǎn)化成文字的最有可能選項，方便使用者直接打出一大段文字。和之前憑經(jīng)驗行動的解決方法相比，這就是更好的數(shù)學(xué)模型。

總結(jié)下這部分的內(nèi)容。在這個重點里，我們討論了“數(shù)學(xué)為什么這么有用”這個問題，答案是數(shù)學(xué)能幫助我們發(fā)現(xiàn)僅憑經(jīng)驗無法發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，找到僅憑經(jīng)驗無法總結(jié)出來的辦法。比如發(fā)現(xiàn)行星圍繞恒星運轉(zhuǎn)的事實，比如大幅優(yōu)化全拼輸入法，使之成為最好用的輸入法等等。可以說沒有數(shù)學(xué)，我們不可能擁有今天的世界觀和生活方式。

第三部分

我們說完了數(shù)學(xué)的用處，和數(shù)學(xué)有用的原因，接下來讓我們一起回歸這本書的標題，來看看吳軍認為的“數(shù)學(xué)之美”所以第三個重點就是，為什么說數(shù)學(xué)之美就是簡單美？

數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)計算、數(shù)學(xué)推導(dǎo)的過程可能實際應(yīng)用起來都很復(fù)雜，這也是為什么數(shù)學(xué)這么難學(xué)的原因。但是數(shù)學(xué)應(yīng)用背后所包含的數(shù)學(xué)思想，卻總是簡單的，這種簡單之美，就是吳軍一直說的數(shù)學(xué)之美。

計算機的原理其實就是一個例子，計算機的術(shù)很復(fù)雜，它一般由大量的精密電路搭建而成，但是計算機的道卻很簡單，它本質(zhì)上的邏輯來自簡單的不能再簡單的布爾代數(shù)。布爾代數(shù)的運算元素只有0和1兩個數(shù)字，基本的運算也只有三種，第一種是“與”，也就是英文AND，第二種“或”，也就是OR，第三種是“非”，也就是NOT很好理解。就是這么簡單的布爾代數(shù)，實際上就是數(shù)字電路的基礎(chǔ)。所有的數(shù)學(xué)和邏輯運算，比如加、減、乘、除、乘方、開方，等等，全部都能轉(zhuǎn)化成布爾代數(shù)的基本運算。正是靠這一點，人們才用以布爾代數(shù)原理為基礎(chǔ)的一個個電路，搭建起了現(xiàn)代電子計算機。

再比如，我們剛才介紹的幾個例子，讓計算機處理自然語言，一條路是成千上萬的復(fù)雜語法，另一條路是讓計算機算概率、找規(guī)律，前者科學(xué)家們努力了幾十年但沒什么收獲，后者輕輕松松就讓計算機處理語言文字的能力大幅提高，數(shù)學(xué)思想再次化繁為簡，用簡單的思路解決了復(fù)雜的問題。還有我們每天都要用到的全拼輸入法，在數(shù)學(xué)的幫助下輸入效率大大提高。而雙拼和五筆輸入法雖然符合人們對于快速輸入的直觀認識，但是實際應(yīng)用困難，效率反而不高，缺乏正確的數(shù)學(xué)方法，最終結(jié)果就是被使用者逐漸拋棄。用吳軍的話來說，在現(xiàn)實生活中，真正能夠通用的工具，在形式上一定是簡單的。一架普通的照相機，不應(yīng)該要求它的使用者必須精通光圈和快門速度的設(shè)置。

“簡單之美”說著容易，但其實，連谷歌這樣的大公司都曾經(jīng)犯過“大圓套小圓”的錯誤。吳軍說，他剛到谷歌的時候，發(fā)現(xiàn)一些早期的算法根本沒有系統(tǒng)的模型和理論基礎(chǔ)，大部分軟件工程師都是靠直覺來解決問題的。這些錯誤的模型，也許碰巧幾次會有效，就像“地心說”一樣，不是也用了幾千年嗎，但是錯誤的模型一定會漸漸表現(xiàn)出來負面影響。最終不僅會偏離正確的結(jié)果，甚至?xí)押唵蔚氖虑楦銖?fù)雜，最終瀕臨崩潰。

2006年后，谷歌幾乎重寫了所有項目的程序，保證了工程的正確性。但是在其他公司，甚至美國的一些掛著高科技頭銜的二流IT公司，“大圓套小圓”的情況還是很常見。這就像是一個人有了錢，穿金戴銀，但是內(nèi)在的學(xué)問和修養(yǎng)還沒提高。吳軍說他寫這本書，也是希望讀者可以通過對IT規(guī)律的認識，舉一反三地總結(jié)、學(xué)習(xí)和運用自己生活中的規(guī)律性，提升自己的境界。