有學過微積分的讀者，不妨先嘗試求下面這個定積分：

或許很快就會發現，微積分教科書里面提到的幾個積分求解辦法，包括換元法（Substitution），分部積分法（Integration by parts）或者部分分式法（Integration by partial fraction）均不能求得上面定積分。這道題實際上是幾年前印度理工學院入學考試JEE Advanced的題目之一。該考試的難度甚高，能通過考試并獲得錄取的學生只有1%不到！！

回到上面積分。這里引入一個讀者或許沒見過的積分公式：

這個公式很漂亮，首先被積函數里面是由f(x)和其變換后的f(a+b-x)組成的分式。另外，其結果剛好是上限b與下限a之差的一半。利用這個公式來解原來的積分，就變得十分簡單。

首先，令?。

于是?

(不記得三角函數余角恒等式的讀者自己反省一下)。

因此，原定積分可以寫成：

十分簡潔！！

接下來，我們證明這個積分公式的正確性。

首先，使用換元法，令u = a + b - x。可得x = a + b - u, 以及du = -dx, 即-du = dx。

又有當x = a時，u = b；當x = b時，u = a。因此，原定積分可以換成u為變量的定積分：

現在定積分的上下限顛倒了，但是與du前面的負號結合，又可以顛倒回去，于是：

這一步是證明中最難轉過彎來的。首先我們要知道被積函數中的變量成為啞變量（Dummy Variable），它用什么字母根本沒關系，因為到最后，它需要被替換成上下限，求反導數值之差。又因為上面換元后定積分的上下限與原定積分一致，即a為下限，b為上限，且a小于等于b。因此，積分值I(x):

因此，這個換元后定積分實質是原定積分的一個等價形式。于是，2I(x)等于這兩個等價的定積分相加：

因此，得：

證畢！