在上一篇文章我們推導出了black-scholes方程,然后這是一個很復雜的公式,而這一次我們要去解一下一些關于看漲期權的實際的問題
首先我們要把解的原理說清楚,當我們去解歐式看漲期權,我們實際上問的一個問題是首先它的看漲期權隨著時間演化的那個動力學方程(black-scholes方程),并且我們的邊界條件也是確定的,學過數學的我們知道,有數學加邊界條件我們就能夠得到現在的值,所以我們現在整體的思想也是這樣,我們需要兩種原料,既要有這樣發動機是如何運作的,然后也要有現在是什么情況推測出發動機之后是什么情況.
推理過程:
1:看漲期權(call option):u(tx)
2:x:Stock Price
所以在black-scholes方程就可以得到以下的情況:
這時候的邊界條件是看漲期權的收益U,首先大家來思考這樣一個問題:
看漲期權在他要行權的前一秒他的價格應該是多少,就是你的收益價格,因為理性人會在這個時候把他換算成收益,但是這時候如果別人硬是要在此刻買你這張看漲期權你只會以你能賺到的收益去賣掉,所以這時候看漲期權的邊界價格就應該是剛才所說的收益曲線,所以他的看漲期權在行權的哪一個時刻T的時候,他的價格等于
為了解這個實在是太復雜了,我們要引入一個擴散方程,然后我們再把這個U拆成幾個函數的乘積,然后其中的某一個函數滿足擴散方程,這些純粹是數學技巧,沒什么好說的,
首先我們有一個函數y,y是有兩個變量s和v,他是滿足一個擴散方程:
這是一個標準的擴散方程,并且s和v還是兩個函數,然后我們定義y0和v:
而上邊這個擴散方程實在是過于簡單求解,我們這里直接給出結果:
而這個解釋常規的,現在我們要做一個很惱人的過程,而做這個惱人的過程有助于化簡這樣的微分方程,因為這是一個多元微分,所以我們要反復化簡.
我們令u(t,x)=f(t)y(s,x),而s是關于t的函數,v是關于t,x的函數:
現在我們是想把這個帶進去化簡出更簡單的關于y或者是s和v的微分方程,然后劃到足夠簡單,然后再帶回去(這個能夠解出來),
因為剛才的black-scholes方程是用到了v,s的偏導數,我們便依次為推導:
而詳細的替換過程實在是太過于復雜,所以只能給出推導的參考文件了:
參考文獻:
[ 1 ] Copeland T E, W eston J F. F inancial T heo ry and Co rpo rate Po licy. A ddison W esley Publish ing Company, 1992.
[ 2 ] B lack F, Scho lesM. T he p ricing op tions and co rpo rate liabilities. Journal of Po litical Econom y, M ay2June, 1973, 637～ 659.
[ 3 ] 宋 威編 1 金融數學模型 1 華南理工大學出版社, 19991
