字符串匹配(查找)算法是一類重要的字符串算法(String Algorithm)。有兩個字符串, 長度為m的haystack(查找串)和長度為n的needle(模式串), 它們構(gòu)造自同一個有限的字母表(Alphabet)。如果在haystack中存在一個與needle相等的子串，返回子串的起始下標，否則返回-1。C/C++、PHP中的strstr函數(shù)實現(xiàn)的就是這一功能。LeetCode上也有類似的題目，比如#28、#187.
關(guān)于KMP，網(wǎng)上有很多很好的資料了，但我看了好久才看基本明白這到底是個什么玩意。于是決定自己總結(jié)一下，在這里做個筆記。
Knuth-Morris-Pratt算法，簡稱KMP，是一個經(jīng)典的字符串查找算法。Knuth就是傳說中的Donald Knuth，著有[The Art of Computer Programming](The Art of Computer Programming)。
我們知道，在進行字符串查找時，應當盡量避免不必要的匹配，以此來提高查找效率。因此Boyer-Moore、Sunday、KMP等算法，都試著在發(fā)生失配時，利用模式串或查找串的某種信息來跳過一些無意義的匹配嘗試。KMP關(guān)注的是模式串的部分匹配信息，這種信息是獨立于查找串之外的。
先來看個栗子，圖中上面的串是haystack，下面的則是needle。
在上圖中的查找過程中，當haystack[5]=c，needle[5]=d時發(fā)生失配了。接下來當然要把needle往右移動啦，最Naive辦法是只移動一位，而這必然是低效的，圖樣圖森破。
我們先來觀察一下這個needle串：
在發(fā)生失配的字母d的左邊，右一個子串
needle[3...4]=ab，在needle的最開始，也有一個子串needle[0...1]=ab。我們直到d才發(fā)現(xiàn)失配，說明d之前的串都是能夠匹配的，所以haystack串中也有兩個ab。當我們右移needle時，還是要求在至少haystack的后續(xù)串中能找到一個ab#ab#，而如果這倆#恰好分別是c和d，就查找成功了。我想說的就是，這里d失配了，但是d之前的部分匹配串應該被利用起來。如果我們右移needle，使得左邊那個ab跟haystack[3...4]=ab對應，那我們就成功越過了很多個位置，而且不會有遺漏某個成功匹配的危險。于是我們到了這個狀態(tài)：
接著發(fā)現(xiàn)在haystack[7]=d的時候右失配了：
接著觀察needle，發(fā)現(xiàn)在needle[4]之前有一個
needle[3]=a，在needle的開始處needle[0]也是a。
于是我們右移needle，把needle[0]=a和haystack[6]=a對其：
繼續(xù)這個過程，直到haystack結(jié)束，或者找到一個完整的needle。
在上述過程中，對haystack的搜索是持續(xù)向右的，下標沒有任何回退。并且對于needle，我們利用部分匹配的串，將其游標往回倒了倒。注意，只是把下標往回倒，重新對齊。（注意這些左移右移什么鬼的，是相對的）
KMP算法正是利用這種部分匹配串的信息，來跳過不必要的匹配嘗試。KMP算法定義了一個數(shù)組，通常稱為next數(shù)組。next[i]是一個非負整數(shù)，表示的意思是，如果在needle的位置i上發(fā)生失配，應該使needle的下標回到哪個位置。例如對于上面的needle串，當needle[5]=d發(fā)生失配，我們右移needle使得needle[0..1]和haystack[3...4]對齊。于是在下一輪查找中，我們可以直接從needle[2]=c開始匹配，也就是說，needle的下標由5回退到了2。所以對于此needle，其next[5]=2。
對于KMP算法的理解，難點就在于next數(shù)組的計算。這里嘗試用自認為比較好理解的表述方式來寫一寫。
如前所述，next[i]表示當在needle[i]的位置發(fā)生失配時，下標i應該倒回的位置，同時也表示，在i的前一個位置，有多長的一個子串是與needle開頭部分一樣長的。next數(shù)組的長度正是needle的長度，并且有，next[0]=0，next[1]=0 （如果有next[1]的話）。next數(shù)組的計算是從左往右的，假設(shè)我們現(xiàn)在已經(jīng)完成了next[i]的計算，得到了next=[k]，形成了下圖這種狀況。
圖中，整個長條表示的是needle串。已經(jīng)計算完了next[i]的意思就是說，我們已經(jīng)知道了如果在i位置失配，應該把下標i重置為幾；也就是說，已經(jīng)知道了在i之前一小串，有一串跟needle的開頭部分是一樣的，就是圖中的兩塊綠色，它們的長度正是k=next[i]。這兩塊綠色，前一塊是needle[0...k-1]這個子串，后一塊是needle[i-k...i-1]的子串。注意，我們在計算next[i]的時候，利用的是needle[i-1]這個字符，而并未訪問needle[i]。
接下來將要計算的是next[i+1]，我們需要考慮的正是字符needle[i]。我們試著擴展上一次得到的部分匹配串，考慮needle[i]和needle[k]，如下圖所示，考慮兩個藍色塊：
如果needle[i]==needle[k]，則上一次得到的部分匹配串可以擴展一個位置，得到這樣的情形：
于是我們知道，next[i+1]=k+1，這是比較好理解的。那么如果needle[i]不等于needle[k]，咋整？
Calm the hell down, and carry on...
既然next是從左往右計算的，那么needle從0到k這些位置，也是經(jīng)過同樣的計算方式得到的，我們來仔細看下這一段：
next[k]的值是已經(jīng)知道的，它表示如果在位置k失配，應該回到哪，同時也表示，在k之前有一個長度為next[k]的子串與needle開頭部分的一個長度為next[k]的子串是一樣長的。現(xiàn)在needle[i]!=needle[k]，我們只能尋求更短的部分匹配串了。現(xiàn)在可以確定的是，圖中四個綠色的塊是相等的串。那如果不能從上面的長綠色塊擴展，能不能退而求其次，將本圖中的短綠色塊擴展呢？所以現(xiàn)在令k=next[k]，然后查看新的needle[k]這個字符，如果它等于needle[i]，說明這個擴展是可行的，因此next[i+1]=k+1。如果仍然沒法匹配，則重復上述過程，繼續(xù)令k=next[k]...直到找到這樣的匹配，或者直到k為0依然沒法找到這樣的匹配。
接下來用Python實現(xiàn)一下這個求next數(shù)組的過程：
def getNxt(s):
nxt=[0]*(len(s))
for i in range(1, len(s)-1):
k=nxt[i]
while k and s[k]!=s[i]:
k=nxt[k]
nxt[i+1]=k+1 if s[k]==s[i] else 0
return nxt
注意如果我們沒法擴展部分匹配串，則置next[i+1]為0。也就是說，搜索過程中如果在needle[i+1]失配，則從needle開端位置重新開始匹配。
一旦得到了next數(shù)組，字符串的搜索過程就變得很簡單了。這個過程的思想是類似于next的求解過程的，本文前面也描述過。直接上代碼吧。
def strStr(self, haystack, needle):
if not needle:
return 0
nxt=getNxt(needle)
j=0
for i in range(len(haystack)):
while j and needle[j]!=haystack[i]:
j=nxt[j]
if needle[j]==haystack[i]:
j+=1
if j==len(needle):
return i-j+1
return -1
這里的j是needle的下標，當?shù)玫揭粋€匹配時，它加一，如果能加到len(needle)，則查找成功了，返回當時的haystack起始下標。如果當前的hays[i]不能與needle[j]匹配，也就是在needle[j]發(fā)生了失配，則把j置為next[j]，直到找到匹配，或者回到needle開始位置。
簡單分析一下算法的復雜度。KMP是一個線性時間復雜度的算法。對于查找函數(shù)strStr，主體部分有兩層循環(huán)，咋會是線性的呢？首先，haystack的下標i是在每次for循環(huán)之后都增加1的；其次，while循環(huán)對needle做回退，如果站在haystack的視角來看，頂多能回退到已經(jīng)匹配了的子串那么長，也就是說對haystack的訪問頂多就一來一回兩次，所以均攤下來是2*len(haystack)的。
也可以把strStr的主體部分改寫一下，就更清楚了：
上圖中，while循環(huán)的跳出條件是m+j>=len(haystack)，這里的m是haystack的當前子串的起點，也就說，每次考察的是needle[j]是否匹配haystack[m+j]。如果前一個分支被執(zhí)行，則i會加1，以至于m+i會加1；如果后一個分支被執(zhí)行，則要么m加1，要么m+i-next[i]，而i>next[i]，因此m總會增加。因此不管哪個分支被執(zhí)行，m+i總會變大，因此時間復雜度是O(n)。
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Reference
[1] Knuth, Donald; Morris, James H.; Pratt, Vaughan (1977). "Fast pattern matching in strings". SIAM Journal on Computing 6 (2): 323–350.
[2] Knuth–Morris–Pratt algorithm, Wikipedia
[3] 插圖的一部分靈感激發(fā)自某次無意中翻到的博客，找不到鏈接了，請認領(lǐng)。
