Knuth 大佬（發明 KMP 算法的那位）曾說:

Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward,
the details can be surprisingly tricky...

這句話可以這樣理解：思路很簡單，細節是魔鬼。

最常用的二分查找場景：尋找一個數、尋找左側邊界、尋找右側邊界

二分查找框架

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = ...;

    while(...) {
        int mid = (right + left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            ...
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = ...
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = ...
        }
    }
    return ...;
}

分析二分查找的一個技巧是：不要出現 else，而是把所有情況用 else if 寫清楚，這樣可以清楚地展現所有細節。
計算 mid 時需要技巧防止溢出，即 mid=left+(right-left)/2

①尋找一個數（基本的二分搜索）

搜索一個數，如果存在，返回其索引，否則返回 -1（數組已排序）

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) {
        int mid = (right + left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意
        }
    return -1;
}

1. 為什么 while 循環的條件中是 <=，而不是 < ？
因為初始化 right的賦值是 nums.length-1，即最后一個元素的索引，而不是 nums.length。
這二者可能出現在不同功能的二分查找中，區別是：前者nums.length-1相當于兩端都閉區間[left, right]，后者相當于左閉右開區間[left, right)，因為索引大小為 nums.length是越界的。
我們這個算法中使用的是前者 [left, right] 兩端都閉的區間。這個區間其實就是每次進行搜索的區間，我們不妨稱為搜索區間。

什么時候應該停止搜索呢？當然，找到了目標值的時候可以終止：

    if(nums[mid] == target)
        return mid; 

但如果沒找到，就需要 while 循環終止，然后返回 -1。那 while 循環什么時候應該終止？
搜索區間為空的時候應該終止，意味著你沒得找了，就等于沒找到。

• while(left <= right)的終止條件是left == right + 1，寫成區間的形式就是[right + 1, right]，或者帶個具體的數字進去[3, 2]，可見這時候搜索區間為空，因為沒有數字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以這時候 while循環終止是正確的，直接返回 -1 即可。

• while(left < right)的終止條件是left == right，寫成區間的形式就是 [left, right]，或者帶個具體的數字進去[2, 2]，這時候搜索區間非空，還有一個數 2，但此時 while 循環終止了。也就是說這區間 [2, 2]被漏掉了，索引 2 沒有被搜索，如果這時候直接返回-1 就是錯誤的。

你非要用 while(left < right)也可以，我們已經知道了出錯的原因，就打個補丁好了

//...
while(left < right) {
    // ...
}
return nums[left] == target ? left : -1;

2. 為什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代碼是right = mid或者 left = mid，沒有這些加加減減，到底怎么回事，怎么判斷？

• 答:剛才明確了搜索區間這個概念，而且本算法的搜索區間是兩端都閉的，即[left, right]。那么當我們發現索引 mid 不是要找的 target時，如何確定下一步的搜索區間呢？
  當然是 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right] 對不對？因為mid已經搜索過，應該從搜索區間中去除。

3. 此算法有什么缺陷？
答：至此，你應該已經掌握了該算法的所有細節，以及這樣處理的原因。但是，這個算法存在局限性。
比如說給你有序數組nums = [1,2,2,2,3]，target = 2，此算法返回的索引是2，沒錯。但是如果我想得到target的左側邊界，即索引1，或者我想得到target的右側邊界，即索引 3，這樣的話此算法是無法處理的。

這樣的需求很常見。你也許會說，找到一個target，然后向左或向右線性搜索不行嗎？可以，但是不好，因為這樣難以保證二分查找對數級的復雜度了。
我們后續的算法就來討論這兩種二分查找的算法。

②尋找左側邊界的二分搜索

int left_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0;
    int right = nums.length; // 注意
    
    while (left < right) { // 注意
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            right = mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid; // 注意
        }
    }
    return left;
}

1. 為什么 while(left < right) 而不是 <= ?
答：用相同的方法分析，因為right = nums.length 而不是 nums.length - 1 。因此每次循環的「搜索區間」是[left, right)左閉右開。
while(left < right) 終止的條件是 left == right，此時搜索區間 [left, left)為空，所以可以正確終止。

2. 為什么沒有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 這個值，怎么辦？
先理解一下這個「左側邊界」有什么特殊含義：

• 對于有序數組 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法會返回 0，含義是：nums 中小于 1 的元素有 0 個。
  再比如
• 對nums不變，target = 8，算法會返回 4，含義是：nums 中小于 8 的元素有 4個。

綜上可以看出
函數的返回值（即 left 變量的值）取值區間是閉區間[0, nums.length]，所以我們簡單添加兩行代碼就能在正確的時候return -1

while (left < right) {
    //...
}
// target 比所有數都大
if (left == nums.length) return -1;
// 類似之前算法的處理方式
return nums[left] == target ? left : -1;

3. 為什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一樣？
這個很好解釋，因為我們的「搜索區間」是[left, right)左閉右開，所以當 nums[mid]被檢測之后，下一步的搜索區間應該去掉 mid分割成兩個區間，即 [left, mid)或[mid + 1, right)。
4.為什么該算法能夠搜索左側邊界？

關鍵在于對于nums[mid] == target這種情況的處理：

if (nums[mid] == target)
        right = mid;

找到 target時不要立即返回，而是縮小「搜索區間」的上界right，在區間 [left, mid)中繼續搜索，即不斷向左收縮，達到鎖定左側邊界的目的。

4.為什么返回 left 而不是 right？
都是一樣的，因為while 終止的條件是 left == right。

③尋找右側邊界的二分查找

int right_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length;
    
    while (left < right) {
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            left = mid + 1; // 注意
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid;
        }
    }
    return left - 1; // 注意
}

1. 為什么這個算法能夠找到右側邊界？
關鍵點還是這里

if (nums[mid] == target) {
    left = mid + 1;

當nums[mid] == target時，不要立即返回，而是增大「搜索區間」的下界left（即縮小左邊界讓他向右靠攏，left值越大，越向右靠攏），使得區間不斷向右收縮，達到鎖定右側邊界的目的
2. 為什么最后返回 left - 1 而不像左側邊界的函數，返回 left？而且我覺得這里既然是搜索右側邊界，應該返回 right 才對。
首先，while循環的終止條件是 left == right，所以 left和right是一樣的，你非要體現右側的特點，返回 right - 1好了。
至于為什么要減一，這是搜索右側邊界的一個特殊點，關鍵在這個條件判斷：

if (nums[mid] == target) {
    left = mid + 1;
    // 這樣想: mid = left - 1

3.為什么沒有返回 ?1 的操作？如果 nums 中不存在 target 這個值，怎么辦？
類似之前的左側邊界搜索，因為 while的終止條件是left == right，就是說left 的取值范圍是 [0, nums.length]，所以可以添加兩行代碼，正確地返回 ?1：

while (left < right) {
    // ...
}
if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;

④最后總結

第一個，最基本的二分查找算法

因為我們初始化 right = nums.length - 1
所以決定了我們的「搜索區間」是 [left, right]
所以決定了 while (left <= right)
同時也決定了 left = mid+1 和 right = mid-1
因為我們只需找到一個 target 的索引即可
所以當 nums[mid] == target 時可以立即返回

第二個，尋找左側邊界的二分查找：

因為我們初始化 right = nums.length
所以決定了我們的「搜索區間」是 [left, right)
所以決定了 while (left < right)
同時也決定了 left = mid + 1 和 right = mid
因為我們需找到 target 的最左側索引
所以當 nums[mid] == target 時不要立即返回
而要縮小右側邊界 right = mid;以鎖定左側邊界

第三個，尋找右側邊界的二分查找：

因為我們初始化 right = nums.length
所以決定了我們的「搜索區間」是 [left, right)
所以決定了 while (left < right)
同時也決定了 left = mid + 1 和 right = mid
因為我們需找到 target 的最右側索引
所以當 nums[mid] == target 時不要立即返回
而要收緊左側邊界以鎖定右側邊界
又因為收緊左側邊界（要增大left）時必須 left = mid + 1
所以最后無論返回 left 還是 right，必須減一

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