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15.1 時間序列--概念

15.1.1 概念

橫截面數據：在一個給定的時間點測量變量值
縱向數據：隨著時間的變化反復測量變量值

對時序數據的研究包括兩個基本問題：

對數據的描述【這段時間內發生了什么？趨勢？季節性？】
預測【接下來會發生什么？時間序列模型的預測】

15.1.2 生成時間序列

在R中，一個數值型向量或數據框中的一列可通過ts()函數存儲為時序對象

myseries <- ts(data, start=, end=, frequency=)

data：原始的包含觀測值的數值型向量

start：時序的起始時間

end：時序的終止時間

frequency：為每個單位時間所包含的觀測值數量（如frequency=1對應年度數據，frequency=12對應月度數據，frequency=4對應季度數據

sales <- c(18, 33, 41, 7, 34, 35, 24, 25, 24, 21, 25, 20, 22, 31, 40, 29, 25, 21, 22, 54, 31, 25, 26, 35)
tsales <- ts(sales, start=c(2003, 1), frequency=12) 
tsales
plot(tsales)   # 繪制時間序列

start(tsales)         # start()獲得起始時間
end(tsales)           # end()獲得結束時間
frequency(tsales)     # frequency()獲得頻率

# window()函數取子集
tsales.subset <- window(tsales, start=c(2003, 5), end=c(2004, 6)) 
tsales.subset

15.2 時序的平滑化和季節分解

時間序列數據【存在季節性因素，如月度數據、季度數據等】可以被分解為趨勢因子、季節性因子和隨機因子

趨勢因子trend component能捕捉到長期變化
季節性因子seasonal component能捕捉到一年內的周期性變化
隨機（誤差）因子irregular/error component能捕捉到那些不能被趨勢或季節效應解釋的變化。

可以通過相加模型，也可以通過相乘模型來分解數據
$\begin{align} \\&Y_{t} = Trend_{t} + Seasonal_{t} + Irregular_{t} \\ \\&Y_{t} = Trend_{t} \times Seasonal_{t} \times Irregular_{t} \end{align}$
對于乘法模型，可以取對數，將其轉化為加性模型

那么如何將時間序列進行拆分，分解成這三部分呢？對于趨勢和季節的分解，下面介紹移動平均和季節因子

15.2.1 分解趨勢--移動平均

時序數據集中通常有很顯著的隨機或誤差成分。為了辨明數據中的規律，我們總是希望能夠撇開這些波動，畫出一條平滑曲線。畫出平滑曲線的最簡單辦法是簡單移動平均。比如每個數據點都可用這一點和其前后q個點的平均值來表示，這就是居中移動平均centered moving average
$S_{t} =\frac{ (Y_{t-q}+...+Y + ...+Y_{t+q})}{2q+1}$

St是時間點t的平滑值，k=2q+1是每次用來平均的觀測值的個數，一般我們會將其設為一個奇數。居中移動平均法的代價是，每個時序集中我們會損失最后的q個觀測值，平均值消除了數據中的一些隨機性

使用R語言forecast包中的ma()函數來對Nile時序數據進行平滑處理

ma(ts,k=)

ts：時間序列數據

k：移動平均的步長為k

library(forecast) 
opar <- par(no.readonly=TRUE) 
par(mfrow=c(2,2)) 
ylim <- c(min(Nile), max(Nile)) 
plot(Nile, main="Raw time series") 
plot(ma(Nile, 3), main="Simple Moving Averages (k=3)", ylim=ylim) 
plot(ma(Nile, 7), main="Simple Moving Averages (k=7)", ylim=ylim) 
plot(ma(Nile, 15), main="Simple Moving Averages (k=15)", ylim=ylim) 
par(opar)

從圖像來看，隨著k的增大，圖像變得越來越平滑。因此我們需要找到最能畫出數據中規律的k，避免過平滑或者欠平滑。這里并沒有什么特別的科學理論來指導k的選取，我們只是需要先嘗試多個不同的k，再決定一個最好的k

除此之外，還可以使用加權移動平均來進行平滑化
$\begin{align} \\& assuming\ k=2q+1 \\ \\& weight = [a_{t-q},...,a_{t},...,a_{t+q}] \\ \\& S_{t} = \sum _{j = t-q}^{t+q}ajY_{j} \end{align}$

加權移動平均法的一大優勢是它可以讓趨勢周期項的估計更平滑。觀測值不是直接完全進入或離開計算，它們的權重緩步增加，然后緩步下降，讓曲線更加平滑

15.2.2 季節分解

季節指數的計算

季節因子(Seasonal factor)

$\begin{align} \\& \bar x_{k} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}k}{n}, n = 1,2,3... \\ \\& \bar x = \frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}{m}x_{i}k}{nm},n = 1,2,3... ; k=1,2,3...m \\ \\&S_{k} = \frac{\bar x_{k}}{\bar x},k=1,2,3....m \end{align}$

Sk代表第k個季節的季節因子，分子代表第k個季度的平均數，分母代表總平均數
季節因子表示第k個季節的數相對于總平均數的占比，反應當前季節相對于平均值的變化
Sk越接近1，季節性越弱，Sk大于1說明該季度的值高于平均值，Sk小于1說明該季度的值低于平均值

季節性差分

有時候我們需要消除季節性，需要將季節性從數據中剔除，這個過程叫季節調整
$\Delta _sx_{t} = x_{t} - x_{t-s}$
s代表周期，即使用t期的數據減t-s期的數據

將時序分解為趨勢項、季節項和隨機項的常用方法是用LOESS光滑做季節性分解。這可以通過R中的stl()函數

stl(ts, s.window=, t.window=)

ts：要分解的時間序列

s.window：控制季節效應變化的速度

t.window：控制趨勢項變化的速度

stl函數只能處理相加模型，如果要處理相乘模型，可以使用log進行轉換

AirPassengers  # 國際航班乘客數據集
plot(AirPassengers) 
lAirPassengers <- log(AirPassengers) 
plot(lAirPassengers, ylab="log(AirPassengers)")
fit <- stl(lAirPassengers, s.window="period")  # 將季節效應限定為每年都一樣
plot(fit)
fit$time.series

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chapter15.1-2 時間序列1--時間序列分解

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15.1 時間序列--概念

15.1.1 概念

15.1.2 生成時間序列

15.2 時序的平滑化和季節分解

15.2.1 分解趨勢--移動平均

15.2.2 季節分解

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15.1 時間序列--概念

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15.2.1 分解趨勢--移動平均

15.2.2 季節分解

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