羅博深教授在今年9月為課程做教研時獨立發現了一種二次方程的簡單解法，并于10月將此種方法以論文形式公開發布在互聯網上，開放閱讀和分享。論文發表后立即引起了數學愛好者和教育者在紅迪（Reddit）論壇上的激烈討論，隨后此方法被中美多家媒體報道。遺憾的是，由于數學學術討論本身需要極強的邏輯性和嚴謹性，任何一個微小的詞語和句式變化都可能使論述的邏輯發生轉變，這導致部分信息傳播者在二次轉述時偏離了羅教授的本意，甚至連《麻省理工科技評論》（MIT Technology Review）這樣專業性的科技媒體也錯誤地將此方法的第一步理解為使用韋達定理，即假設二次方程一定有兩個根（該文章現已勘誤），這類的問題也造成了許多網友對此這個看似簡單的方法的質疑和不理解。本文是羅博深教授個人網站上關于此二次方程解法的博客文章《方法詳述》（Quadratic Method: Detailed Explanation)的譯文，旨在最精準地將羅教授的原意傳達給習慣中文閱讀的讀者。對論文原文感興趣的讀者請點擊文末左下角“閱讀原文”跳轉至原論文鏈接。

方法詳述

二次方程的替代解法

1.如果找到兩個數r和s，它們的和為- B、乘積為C，那么

成立，且r和s即為該方程的根。

2. 當兩個數字分別為-B/2± u時，兩數之和為- B。

3. 由1可知，兩數乘積為C, 所以兩個數字相乘得出

。

4. 開平方運算后，滿足上述條件的u一定存在。

5. 所以-B/2± u 分別代表r和s，是該方程全部的根。

第1點于數百年前已知 （韋達定理逆定理）。

第2、3、4點被發現于數千年前（古巴比倫人、古希臘人）。

這一方法的每一個步驟都早在古代就已經被數學家們發現了，它們的結合其實也是每一個人都有可能想到的，但是自此方法面向公眾發布以來，從歷史參考文獻中，我只找到了一篇與本方法相似的、連貫完整的二次方程解法的文章，該文章于1989年發表于《數學老師》（The Mathematics Teacher），作者約翰·薩維奇（John Savage）是一位數學老師。他的方法幾乎與本方法的所有數學步驟重合，只是在符號選擇上有所不同。

舉例解釋二次方程解法

回顧：相乘和分解

首先，讓我們從使用分配律進行因式相乘開始（編者注：學生一般在學習二次方程前會先學習整式運算，人教版教材中，整式運算出現在七年級上冊，一元二次方程出現在九年級下冊）：

這里的關鍵的一點是，-7x中的系數-7是由-3和-4相加得來的，而12則是-3和-4相乘而得。

下面是另一個例子：

式子中同時出現了-3和3，且+3u和-3u可以被互相抵消，于是我們得到的結果是u和3兩個數的平方差。這個計算過程（編者注：平方差公式）會在接下來的過程里有用。

了解整個多項式相乘的過程是很有必要的，因為如果我們可以進行反向的運算，那么我們就可以解二次方程了。例如，怎樣才能找到滿足

這個式子的所有x值？我們現在已經知道，只需要找到滿足

這個式子的所有x值即可以得到想要的答案。

若想讓兩個數字乘積為零，唯一的方法就是讓其中的至少一個數字為零。因此，只有x-3=0（即x=3）或x-4=0（即x=4）才能恰好能達到這種效果。請注意，這個解是我們從x中減去的數字，我們減去的不是-3和-4，而是3和4。

回顧：構建因式分解

讓我們用下面的方程來嘗試一下因式相乘的反向過程

我們試圖將其因式分解為類似如下形式：

這樣分解原方程的兩個因式是一定存在的(編者注：這個步驟不是先假設二次方程一定有兩個根，而是假設二次方程可以被因式分解，這個邏輯上的區別非常重要），雖然學生還沒有學到這個知識點，但是通過這個方法可以向他們證明其可行性！

在上一節的討論中，我們知道如果可以將二次方程做因式分解，則括號里空白處的兩個數字就是該二次方程的根。若兩個數字的和為2、積為-24，怎么確認這兩個數字的值呢？絕大多數的學生學到的方法都是猜測和嘗試（編者注：也就是中國讀者熟悉的十字相乘法），以此來找到這些數字。這個過程可能會讓人失去耐心，尤其是在要嘗試負數相乘、且乘積值有多種分解方式（比如24就有很多因數）的時候。

薩維奇的求解思路其實和我的是一樣的，只不過他想要找到的因式分解形式是

，這種形式和我要找的

在數學意義上是等價的。不過按照薩維奇的方法，空白處的數字就應該是解的相反數，因此，薩維奇解題的最后一步是，在找到可以分解出的兩個因式后，再給空白處的數字變號。其中的數學原理是相同的，但是從教學的角度來看，使用負號更有利于把標準二次方程簡化為和積問題，這樣可以讓人更直觀地看出原方程的系數、與根的乘積、根的和之間的關系。

為了讓初學者更加流暢地思考和理解，教學者在初次介紹因式分解的概念時，我推薦采用一個一次項系數為負的實例，這樣讓學生在理解因式分解的解題過程時既自然又方便地得到

的形式。此外，到了通過利用乘積為0的性質觀察方程的根的步驟時，根也就變得更加顯而易見，無需再取求得數字的相反數。更多討論可以參考文末給出的“相關成果 Quadratic Method: Related Work”鏈接。

見解：無需猜測就可以分解因式

我提出的這種方法能讓學生不再依賴猜測因數便可準確找出根：如果兩個數字之和為2，則它們的平均值為1。因此，無論這兩個數字是多少，它們都可以分別表示為1加上一定數值，和1減去相等的數值。也就是說這兩個數字可以表示成1+u和1-u，想要知道這兩個數字是多少，只要找出u的值就可以了，當然，u的值是有可能為零的。

回到

這個式子上，我們構造的(1+u)和(1-u)兩個數字，其和自然是2。同時我們也需要讓它們的乘積為-24。怎樣才能找到滿足條件的u呢？

我們之前已經見過了這種兩數之和與兩數之差相乘形式的式子了。答案永遠是它們的平方差！因此，我們要找的就是這樣的u，讓它滿足

這一步非常讓人興奮！除了一個 u的平方項，其他的部分都是數字！這意味著我可以輕松地把u解出來，而不需要依賴于任何新方法：

我們要找的兩個數字就是(1+u)和(1-u)，那么這里得到的兩個u互為相反數就完全能夠說通了，因為通過兩個數值算出的結果是完全一樣的：1+(-5)=-4, 1-(-5)=6或1+5=6, 1-5=-4。同時我們也能發現，6和-4的和為2，其乘積為-24。這些數字滿足了和與乘積的關系，這一事實說明這樣的因式分解式確實存在，也意味著我們已經找到了方程的根：x = 6 和 x= -4。

正如我在論文中指出的那樣，雖然我（和其他許多人一樣）提出了根據給定的和與乘積來找到兩個數字的技巧，但實際上，古巴比倫人和古希臘人早在數千年前就已經知道了這種技巧。遺憾的是，古巴比倫時期的數學發展程度還不足以讓他們用這個技巧來解二次方程。具體來說，他們當時根本還沒有發展出多項式因式分解和負數（更不用說非實復數了）的概念。更深入的討論，請參考文末給出的“相關成果 Quadratic Method: Related Work”鏈接。

應用示例：不易分解的二次方程

現在我們已經不再需要通過猜測常數項的因數來解方程，而是可以使用上述方法來解任何二次方程。比如說下面這個二次方程：

首先，讓我們把兩邊同時乘以2使二次項的系數為1：

就像上面一樣，如果我們可以找到兩個和為4、乘積為6的數字，則因式分解(x- ? )(x- ? )將會存在，且空白處的這兩個數字就將是方程解。它們的平均值必須是兩數之和的一半，也就是說，我們想找到某個u，使得兩個數分別為2+u和2-u。2+u和2-u的乘積應該是6。以下三個等式彼此等效：

在數學這門科學里，復數是一項非常重要的發明，它甚至讓負數也有了平方根，所以我們這里的u便有了有效的數值。（這正是為什么這種方法無需使用“代數基本定理”，事實上，這種方法恰好證明了該定理適用于二次多項式。）因此，確實有這樣兩個數，它們的和為4，乘積為6，它們分別表示為2+u和2-u，即

。這些數字滿足了和與乘積的關系，意味著因式分解

存在，這樣一來我們就找到了方程的根：x=

。我們在沒有借助任何記憶公式的情況下，解出了這道題！這種無需套用公式的方法適用于任何一個二次方程，且每個步驟都有簡單易懂的數學解釋作為支撐。

應用示例：二次方程公式的證明

根據上述推演過程，我們能看到這一方法也提供了二次方程求根公式的另一種簡單證明方法。

對于一般的二次方程

來說，以上小節的演示表明，我們只需要找到兩個和為-B、乘積為C的兩個數字，此時相應的因式分解將存在、且方程的根就是這兩個數字。所以，我們需要找到某個u，這樣兩個數字就可以表(B/2 + u)和(B/2 - u)，且它們的乘積應該為C，這些條件在以下情況下恰好實現：

這三個等式都是彼此等價的。由于任何數都有平方根（有的時候需要以復數的形式來表示），所以當我們找到兩個數字

，它們的和為-B，乘積為C，也就意味著它們是方程的解。

上面的公式足以用來解決任何二次方程式，并不僅僅限于二次項系數為1的特殊情況。當二次項系數不為1的時候，你可以將方程兩邊同時乘以或除以某個數字，來使二次項前面的系數為1。這一步計算得出的公式與學生們過去在學校里學到的求根公式完全相同，這里演示一下求根公式是如何通過一般二次方程

得來的。

只需要先將等式兩邊同時除以A，得到

然后，按照上面的方法，把B/A插入B的位置，C/A插入C的位置，便可以得到如下公式：

總結

該方法從一般二次方程式

入手，整個過程包含了兩個主要步驟，

1. 由于多項式因式分解存在，如果我們可以找到和為-B、積為C的兩個數，則它們就是方程根的完整集合。

2. 使用古巴比倫/古希臘人的數學技巧（拓展到了復數領域），我們便可以在任意情況下找到這兩個數字。

這個方法之所以在數學上是具有嚴謹性的，是因為有這樣至關重要的一點，那就是在任何情況下，在進行步驟2時，我們總能找到滿足步驟1中使用的兩個數字，即使有時它們是非實數。所以說，卡爾達諾(Cardano)(約公元1500年)之前的數學家不可能完全做到這一點。

無論是韋達提出的根與系數的關系（步驟1），還是古希臘古巴比倫的先人數學家們得知兩個數字之和為B時，這兩個數字可以表示為B/2± u（步驟2）都是在幾千年的數學歷史中早已為大家所熟知的。通過在教學中的回顧和思考，我發現將它們組合起來，能夠構成一個完整連貫的方法，可以幫助大家更簡單明確、合乎邏輯地解出一般二次方程，也正是我追尋這種方法的意義所在——讓更多對人類有用處的東西被保留下來，讓它們不再隨著時間的推移而消逝。

編后：

羅教授的論文在網絡上公開之后，除了專注于學術的討論之外，我們也看聽到了不少讀者對于該方法意義的不同聲音。有些讀者不解，一位“國家奧數隊總教練”、“CMU數學系終身教授”頭銜加身的人為什么會分享這樣一個簡單的發現？也有讀者認為，人們已經有足夠的工具去充分理解和求解二次方程了，這樣的“創新”沒有太大意義。

過去的十幾年里，羅教授一直在競賽圈和學術界孜孜不倦地貢獻著自己的力量。但他本人也曾多次公開表達過，作為一名教育工作者，他認為推動更廣大的群體對數學的興趣和追求，是一件比只關注頂端的幾個人更有意義的事情。

無論是社會或是個人成長和發展的過程中，總有一些很難平衡的問題：我們是應該投入大量的經費去探索未知的宇宙和海洋，還是應該把更多的資源分配給需要幫助的國家與人民？是用最好的鏡頭，在庫穆庫里沙漠潛心守候拍下一張藏羚羊的遷徙，還是用最簡單的手機攝影，記錄下父母50年的金婚瞬間？有些問題永遠沒有正確答案，只在于你凝視世界時的思考與世界回望時你的回應。

羅教授本人愿意傾聽不同的聲音，并樂于給出自己的解答，歡迎讀者朋友們把自己的想法留在評論區內，感謝大家的關注！

相關閱讀：

方法詳述Quadratic Method: Detailed Explanation

https://www.poshenloh.com/quadraticdetail

相關成果 Quadratic Method: Related Work

https://www.poshenloh.com/quadraticrelated

論文原文A Simple Proof of the Quadratic Formula:

https://arxiv.org/pdf/1910.06709.pdf

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