內容梗概：前幾次說到冬至是從陰到陽的轉折點，“日北至”，“一陽生”。但冬至不是某一天而是一個時刻。如何測量這一時刻？最常見的方法是測量冬至前后幾天的影長。但如果那幾天陰天怎么辦？冬至時刻不是正午怎么測量影長？祖沖之提出了巧妙的方法解決了這一問題。這種方法后來為歷代所采用，它所用的數學和幾何原理非常簡單，初中生都明白，但卻蘊含著科學發現的普遍規律：長期觀測、分析數據、深入思考、提出假設、實驗驗證。
一周以后，老師和學生又在老地方碰面了。這天餐廳里有些擁擠，中間的大長條桌坐滿了人，好像在聚餐。他們好不容易找到了一個靠墻的座位。
剛一坐下老師就問：“上次我們提到的那位中國古代科學家，你猜到了嗎？”
“是祖沖之吧？” 學生說道。
“對，正是他。”
“提到圓周率就想到了祖沖之，以前只知道他是數學家，還真不知道他還測量過冬至時刻！” 學生說到。
“除此之外，祖沖之還對天文歷法做出了很大的貢獻！你記得祖沖之是什么時候的人嗎？”
“是南北朝的？”
“對，也就是公元500年左右，距今已經1500多年了。那時既沒有望遠鏡、也沒有精確的秒表，更不用說其它先進的儀器和設備了。”
“那祖沖之是用什么工具來測量冬至時刻的呢？” 學生不解地問道。
“只是用一根桿子而已，測定正午時分桿子投射在地面上的影長。當然準確的叫法應該是圭表。”
“就這么簡單？”
“是的，如果僅僅是想知道冬至大概是在哪一天，那么只需要測量冬天正午影子最長的那一天即可。但是由于“景之差行，當二至前后，進退在微芒之間”，冬至附近影長變化經歷了一個拐點，本來變化就不明顯，再加上冬天日影變淡，很難精確測量，所以根據《左傳》等資料推算，那時連冬至日都測不準，通常會有2-3天的誤差。”
“可是我有個疑問：冬至那幾天要是“陰天”怎么辦？ 就沒法測量日影了吧？”
“是的，這是個棘手的事情，畢竟天氣沒法輕易改變。其實，祖沖之還有更大的挑戰呢！”
“什么挑戰？” 學生問道。
“冬至不是一個日子，而是一個時刻。而要精確地測量出冬至時刻，才能夠幫助制定出準確的歷法。但我們知道冬至時刻每年都在變，不一定正好是正午，如果冬至時刻在晚上，那又如何測量影長呢？古人總不會繞過大半個地球跑到美國去測量正午時分的影長吧！”
“那該怎么辦呢？”
“這說明，單單測量影長已無法準確得到冬至時刻，必須進行推算。祖沖之之前的何承天，他連續測量十年，并且利用古人提出“要取其中”的方法來推算冬至時刻。但是具體如何做，現在已經不可考了。祖沖之長袖善舞，提出了一種很巧妙的方法，化解了陰天無日影問題、冬至時刻不在正午的問題。他提出的方法不局限在一定要在冬至這一天測量影長，而是在冬至前后幾十天的范圍內挑選幾個晴天的日子測影長，然后進行一些簡單計算就可以了，這樣一來，天氣的原因對于祖沖之來說就不是問題了。”
“哦，是嗎？真巧妙！那需要測量多少次呢？”
“需要三天正午的測量數據，因為不知道未來會不會陰天，為了保險可以多測幾次，但做計算時只要有三次的有效影長的數據就夠了。”
“只需3次的數據？”
“是的。”
“我對祖沖之越來越好奇了”，學生感嘆道：“他究竟是個什么樣的人呢？既精于數學，又通天文！”
“你說的沒錯，一個人的性格、經歷和治學態度，決定了他采用的方法，而方法又決定了成就大小。”
“嗯。祖沖之的家庭是怎么樣的呢？”
“祖沖之生于429年，在他出生前九年，東晉滅亡。接下來中國進入了南北朝時期，形成了南北對立的局面。 祖沖之生活在南朝的宋和齊兩個朝代，都城是建康，也就是今天的南京。祖沖之家族屬于低級士族，地位不高，但是有世代鉆研學習的傳統。祖沖之的祖父祖昌善于發明，在朝廷擔任過大匠卿，父親祖朔之是皇帝的侍從官員。根據《隋書》記載，祖家世代掌管歷法。祖沖之自幼生活在這樣的家庭里，對天文學和數學非常感興趣，廣泛搜羅閱讀鉆研前朝留下的著作，但是他發現古人留下的論述中又有一些不可靠的地方，所以他每每“親量圭尺，躬察儀漏，目盡毫厘，心窮籌策”，“不虛推古人”。”
“這讓我想到了歐洲十六、七世紀的開普勒。開普勒繼承了他的老師第谷留下的大量觀測數據，同時又不拘泥于古人的結論，終于推翻了行星軌道是圓形的觀念。”
“是的，既能夠占有大量數據，又自己親自測量和計算，不囿于古人的結論和成法，從而才能開創出一片新天地。祖沖之自己是這樣說他如何利用古人的文獻資料的：
“搜煉古今，博采沈奧。
唐篇夏典，莫不揆量。
周正漢朔，咸加核驗。
罄策籌之思，究疏密之辨”。
祖沖之對張衡的天文著作、東漢時期劉洪的《乾象歷》和三國時期楊偉的《景初歷》都進行了系統研究考察，對前人的觀點批判地繼承。”
“比如說呢？”
“例如祖沖之看到東漢初年班固所寫的《漢書》里提到了六種古代歷法：《皇帝歷》、《顓頊歷》、《夏歷》、《殷歷》、《周歷》和《魯歷》。后人曾以為是這幾個朝代當時所采用的歷法，而經過祖沖之的推斷發現，這些只不過是后人的偽作而已，他說：“古術之書，皆在漢初周末，理不得遠”。”
“祖沖之在哪里進行研究呢？”
“祖沖之在青年時代就進入了南北朝時期宋朝設立的華林學省的機構，專門從事天文歷法和數學研究。因為工作出色，被朝廷“省賜宅宇車服”。后來祖沖之雖然出任了地方官，但仍然沒有中斷天文測量和研究。”
“那祖沖之是如何利用手頭的影長數據來推算冬至時刻呢？”
“雖然說祖沖之的方法只需要進行三次測量，但是實際上祖沖之每天都堅持觀測，并且積累了大量的一手數據，并且他還利用工作上的便利接觸到大量的古代觀測數據。他平時沒事就去琢磨這些數據。”
“那他從中琢磨到了什么嗎？”
“就比如關于影長的觀測數據吧，他經過長年累月的觀察，發現冬至前后影長的數據都與下表類似。比方說有這么一組由于陰天導致觀測記錄不完整的桿子影長數據：
| 日期 | 影長 |
|---|---|
| 十月三十 | 12尺 |
| 十一月初一 | 12.06尺 |
| 十一月初二 | 12.12尺 |
| 十一月初三 | *陰天沒有影長數據 |
| 十一月初四 | 12.12尺 |
| 十一月初五 | 12.06尺 |
| 十二月初六 | 12尺 |
| 十二月初七 | *陰天沒有影長數據 |
“你能看出有什么規律嗎？” 老師問道。
“讓我看看，影長一開始不斷增加，突然來了一個陰天，后來又不斷減少，又來了一個陰天。總體趨勢是這樣先增加后減少的。”
“對。”
“既然如此，那么從增加變得減少的拐點應就是冬至日。”
“對，如果假設冬至前后影長增加的速度和減少的速度都是均勻的，冬至前每天增加0.06尺，冬至后每天減少0.06尺。即使有兩天是陰天，那么我們也可以估計出十一月初三那天應該是影子最長，是冬至日。”
“嗯，同意！”
“祖沖之手頭上積累了很多這樣的數據，分析研究這些數據是他從事研究的基礎。換句話說，現代科學研究也是如此：大量占有數據，并且深入思考、科學地進行分析才有可能取得突破。”
“嗯。”
“祖沖之經過仔細琢磨得到了兩個基本判斷：冬至前影長增加，冬至后影長減少，并且基本對稱。影子的變化速度是近似均勻的。”
“那根據這兩個假設就能夠計算出冬至時刻嗎？”
“還要加上一點點最基本的幾何知識。”
“什么樣的幾何知識呢？” 學生問道。
“兩個相似三角形的對應邊長成比例。”
“就這么簡單嗎？”
“方法是簡單，但是能想到這一方法本身并不簡單。它需要十年如一日的觀測，翻閱幾百年的觀測數據，還要有恒心、細心和毅力才可以。在祖沖之之前，就已經有了測量冬至時刻的粗糙方法。北朝的周琮指出：“晉、漢歷術，多以（至）前后所測晚晷，要取其中。” 但是古人是如何“要取其中”，卻沒有明確交代，因此具有很大的主觀性和隨意性，而祖沖之是第一個從嚴格的數學意義上推導出冬至點的觀測方法。”
“那么他是具體怎么測量的呢？”
“祖沖之曾經簡要介紹了自己的計算方法，我在手機里查到了南朝《宋史 歷律志》里的原文：
“大明五年十月十日影一丈七寸七分半，
十一月二十五日一丈八寸一分太，
二十六日一丈七寸五分強，
折取其中，則中天冬至應在十一月三日。
求其蚤(早)晚，令后二日影相減，則一日差率也，倍之為法;
前二日減，以百刻乘之為實。
以法除實，得冬至加時在夜半后三十一刻，在元嘉歷后一日，天數之正也”。”
“是什么意思呢？”
“ 簡單翻譯一下就是，
- 大明五年十月十日影長為10.775尺，
- 十一月月二十五日影長為10.8175尺（“太”是古代的一個計數符號，是最小單位的3/4），
- 十一月二十六日影長為10.7508尺（“強”也是古代的一個計數符號，是最小單位的1/12）。
- 十月十日的影長落在十一月二十五日和二十六影長之間，所以根據對稱原理，冬至日應在十月十日和十一月二十五日之間，也就是十一月三日。
- 令十一月二十五日和二十六日測得的兩個影長相減：10.8175-10.7508=0.0667，
- 然后乘以2倍，0.0667 x2=0.1334，這個值稱為“法”。
- 再令十月十日和十月二十五的影長相減：10.8175-10.775=0.0425，
- 這個值乘以100（古代每天等分成100刻）得到4.25，稱為“實”。
- 用“實”除以“法”：4.25/0.1334=31.86刻，
- 即大明5年的冬至點是在11月3日31刻多一些。”
“讓我換算一下，一天是100刻，那么31.86刻就是在一天的三分之一附近，也就是早上8點前一點，大約是現在的早上7點37分26秒。那具體是怎么計算的呢？”
“如果把三天的影長按照時間順序分別是a，b和c，那么計算的公式就是：
冬至在一天100刻中所處的相對時刻：100(b-a)/2(b-c)。”
“哦，這個計算真簡單，加減乘除四則運算就夠了。可是這只是具體的計算方法，那背后的原理是什么呢？” 學生問道。
“后人推測祖沖之應該是利用了相似三角形的原理。”
“相似三角形？果然有初中幾何知識就夠了。”
“嗯。首先，祖沖之在冬至前后選擇了A/B/C三天，正午的影長分別為a,b,c。我們可以把這三個影長畫在時間軸上（如圖），橫軸代表日期，而縱軸代表影長。a的影長介于b和c之間，根據對稱性，所以冬至日應該在A和B中間的那一天，我們標識為D日零時。也就是說A在冬至前N天，B在冬至后N天，C在冬至后N+1天。有了這三天的數據就可以推算冬至時刻了，這樣即使冬至日是陰天也沒有關系，因為并不需要在冬至那一天進行測量。退一步講，即使A/B/C三個測量日期是陰天也沒關系，只要把A提前一天，把B和C分別推后一天，我們就可以利用新的數據來計算了。”
“太妙了！”
“對。下面我們就開始驗證祖沖之的腳步開始推算了，你準備好了嗎？”
“想想都激動，這可是祖沖之一千五百多年前使用的方法！”
“讓我們開始吧”。老師說道。
- 首先，既然冬至日D是AB的中點，所以AD=DB 。
又因為D是冬至日子夜零時，所以冬至時刻在D右邊的E點，且DB=DE+EB。
這個E點的位置就是我們要找的冬至時刻，換句話說只需求出DE的長度就能確定冬至時刻。
- 接下來，因為冬至前后影長是對稱的，而且a介于b和c之間，c<a<b，所以在BC之間必有一個A的對稱點A1，其影長a1=a。
所以可以得到：AE=EA1，即AD+DE=EB+BA1。 - 然后，我們很容易推導出DE剛好是BA1的一半。（推導方法：把AD=DB=DE+EB帶入到上式，就得到了AD+DE=DE+EB+DE=EB+BA1，約去左右的EB，得到2DE=BA1）”
既然我們要求出DE，那么可以先求出BA1,然后減半就可以求得DE了！
“那怎么求BA1的長度呢？”
“關鍵之處就要找出兩個相似三角形。”
“找哪兩個相似三角形呢？”
“我們一起看一看。既然是要求BA1，那其中一個三角形肯定和BA1有關，它剛好對應了一個小三角形B'FA'1的底邊，而GC'剛好是另一個大三角形B'GC'的底邊，GC'的長度是B的正午和C的正午的間隔，剛好是一天100刻（注：古代一天分為100刻，1刻相當于現在14.4分鐘）。那么就找到了這兩個相似三角形。小三角形的豎直邊長b-a，大三角形的豎直邊長b-c。”
接下來，根據三角形相似的原理，我們就有：(b-a)/(b-c)＝BA1/BC。
所以，BA1＝(b-a1)·BC/(b-c)。
而BC為25日至26日1晝夜時長100刻，也就是祖沖之原話中的“百刻”，因此BA1＝100(b-a)/(b-c)。
而DE是BA1的一半，所以BA1＝100(b-a)/2(b-c)。
“那祖沖之測量到的冬至時刻與理論值有多大誤差呢？”
“誤差大約是20刻，這個值遠遠小于歷代的誤差。例如東漢四分歷測得的公元173年冬至的誤差是239刻，晉朝楊偉的景初歷測的237年冬至的誤差是221刻，王朔之的永和歷測的351年冬至時刻誤差是102刻，與祖沖之同時代的何承天“立八尺之表，連測十余年”，他的元嘉歷在公元442年測的誤差是50刻，這已經比前人的誤差縮短了一半，而祖沖之的測量誤差比何承天又小了一多半。祖沖之的方法首次提出一種明確的數學表達式來計算冬至時刻。”
“那祖沖之為什么把冬至前后三個日子的距離拉得那么大呢？前后有四十多天。”
“道理也很簡單。這樣就克服了冬至前后影長變化不明顯問題。把測量日期提前或推后到冬至前后二十多天，那時影長的日變化量比冬至大很多，超過了六分，更容易測量影長變化。”
“祖沖之的測量和計算方法對現在有什么意義呢？” 學生問道。
“它的意義在于，用簡單的測量工具和簡單的數學計算得到了非常高的測算精度，這是當前科學研究和工程實踐追求的目標。”
“能舉個例子嗎？”
“如果用一句話來說，就是奧姆卡剃刀原理，又叫“簡單有效原理”，即“如無必要，勿增實體”。你看在祖沖之的測量方法里沒有任何一步是多余的，你無法再精簡了。”
“為什么精簡的就好呢？”
“精簡的東西人們更容易記住，也更容易流傳下來。祖沖之測量冬至時刻所發明的這個方法也被后人所繼續使用，元代的郭守敬后來繼續改進了測量的圭表，讓它的的精度又進一步提高。”
“那郭守敬是如何改進圭表的測量的呢？”
未完，待續...
參考文獻：
郭蕊，《數學泰斗祖沖之》，吉林出版集團，2011-1. ISBN 9787546341040
陳美東. 祖沖之的天文歷法工作[J]. 自然辯證法通訊, 2002, 24(2):68-73.
陳美東. 論我國古代冬至時刻的測定及郭守敬等人的貢獻[J]. 自然科學史研究, 1983, 2(1):51-60.
《全齊文》卷十六 祖沖之
白壽彝，《中國通史（第二版）》，上海人民出版社 江西教育出版社，2013-7
