常用的預測方法（如回歸分析），需要較大的樣本，如果樣本較小，常造成較大的誤差，使預測目標失效?；叶阮A測模型（Gray Forecast Model）是通過利用少量的、不完全的信息，建立數學模型并做出預測的一種預測方法。本文將對這種預測模型進行詳細介紹。由于部分公式書寫麻煩，本文直接插入了公式圖片。

1. 灰度系統理論

灰度系統理論是由華中理工大學鄧聚龍教授于1982年提出并發展而成的解決灰色系統的理論和方法，該方法將一般的系統論、信息論和控制論的觀點與數學方法結合在一起。首先看一下灰度理論中的幾個概念。

1.1 灰度系統

灰度系統是指“部分信息已知，部分未知”的“小樣本”，“貧信息”的不確定性系統。系統中各因素間有不確定的關系。
作為兩個極端，如果系統中信息完全確定，則成為白色系統；相反，信息完全不確定的系統為黑色系統，只能通過它與外界的聯系來加以觀測研究。區別白色和黑色系統的重要標志是系統中各因素之間是否具有確定關系。

1.2 灰度系統的特點

灰色系統可以充分利用已知信息尋求系統的運動規律，使用灰色數學處理不確定量，使之量化，因此，灰色系統理論能夠處理貧信息或小樣本的系統。

2. 灰色預測方法

灰度預測法是對灰色系統進行預測的方法。通過關聯分析和數據處理來尋找系統變動的規律，生成有較強規律性的數據序列。然后用來預測兩種不同的目標，一種是預測某時刻的特征量來預測未來發展趨勢。另一種是固定特征量閾值，通過分析特征量出現時刻的規律，預測未來達到閾值的時間點。

2.1 灰色預測類型

(1) 數列預測。用觀察到的反映預測對象特征的時間序列構造灰色預測模型，預測未來某一時刻的特征量，或達到某一特征量的時間。
(2) 災變或異常值預測。利用灰度模型預測異常值出現的特定時間。
(3) 季節災變或異常值預測。預測災變或異常值發生在一年內哪個時間區間或季節內。
(4) 拓撲預測。將原始數據做曲線，在曲線上按照閾值尋找發生的所有時間點，并以該時間點構成的序列構建預測模型，建立模型預測該閾值的時間點。
(5) 系統預測。 通過對系統行為特征指標建立一組相關聯的灰度預測模型，預測系統中眾多變量間的相互協調關系的變化。

下面我們對具體的集中預測模型進行介紹。

3. GM(1,1)模型

3.1 數據/數列生成

我們獲取到的未作處理的數據被稱為原始數列，按照某種要求經過處理后生成的數列為生成數列，我們可以從中發現原始數列中沒有表現出的內在規律。
常用的數據處理方法有累加生成、累減生成、均值生成。
(1) 累加生成
通過依次累加某時刻之前的數據得到新的數列，記為AGO(Accumulating Ceneration Operator)。
設x^(0)為原始序列，既有
![][1]
[1]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?$x^{(0)}=[x{(0)}(1),x^{{(0)}(2),...,x}{(0)}(n)]$
按照下列公式生成新的累加數列：
![][2]
[2]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?$x^{{(1)}(k)=\sum_{i=1}}{k}x^{(0)}(i);k=1,2,...,n$
則稱x^(1)為x(0)的一次累加生成數列：
![][3]
[3]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?$x^{(1)}=[x{(1)}(1),x^{{(1)}(2),...,x}{(1)}(n)]$
類似的有r次累加生成：
![][4]
[4]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?$x^{{(r)}(k)=\sum_{i=1}}{k}x^{(r-1)}(i);k=1,2,...,n$
(2)累減生成
對原始數列的數據依次作前后兩個數據相減的運算，記為IAGO(Inverse Accumulating Ceneration Operator)。累減生成可以將累加生成序列還原成非生成序列。
我們設x^(1)為原始序列，則有
![][5]
[5]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?$x^{(1)}=[x{(1)}(1),x^{{(1)}(2),...,x}{(1)}(n)]$
如果令：
![][6]
[6]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?$x^{(0)}(k)=x{(1)}(k)-x^{(1)}(k-1)$
則可生成一次累減序列x^(0)：
![][7]
[7]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?$x^{(0)}=[x{(0)}(1),x^{{(0)}(2),...,x}{(0)}(n)]$
更一般地，有：
![][8]
[8]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?$x^{(r-1)}(k)=x{(r)}(k)-x^{(r)}(k-1)$
均值生成序列分為鄰均值生成和非鄰均值生成兩種，就暫時不在本文詳細介紹了，以后再補充。

3.2模型建立

給定觀測數據序列
![][9]
[9]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?$x^{(0)}=[x{(0)}(1),x^{{(0)}(2),...,x}{(0)}(n)]$
經過一次累加后，得到序列：
![][10]
[10]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?$x^{(1)}=[x{(1)}(1),x^{{(1)}(2),...,x}{(1)}(n)]$
設x^(1)滿足一階常微分方程
![][11]
[11]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?${dx^{{(1)}}/{dt}+ax}{(1)}=u$
其中a是發展灰數或發展系數，u為內生控制灰數或灰作用量，是對系統的常定輸入。該方程滿足當初始條件為：
![][12]
[12]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?$when:t=t_{0},x^{(1)}=x{(1)}(t_0)$
則有解為：
![][13]
[13]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?$x^{(1)}(t)=[x{(1)}(t_0)-u/a]e^{-a(t-t_0)}+u/a$
對等間距取樣的離散值,則有
![][19]
[19]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?$when:t_0=1\\x^{{(1)}(k+1)=[x}{(1)}(1)-u/a]e^{-ak}+u/a$
由于x^{(1)對t求導涉及x}(1)的兩個時刻值，因此，x^(1)(i)取前后兩個時刻的平均代替更合理。即有：
![][14]
[14]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?$1/2[x^{(r)}(i)+x{(r)}(i-1)],(i=2,3,...,N)$
寫成矩陣表達的形式為：
![][15]
[15]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?$\begin{bmatrix}x^{(0)}(2)\x{(0)}(3)\...\x^{{(0)}(N)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1/2[x}{(1)}(2)+x^{{(1)}(1)]&1\-1/2[x}{(1)}(3)+x^{{(1)}(2)]&1\...\-1/2[x}{(1)}(N)+x^{(1)}(N-1)]&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\u\end{bmatrix}$
如果用符號代表上式的向量或矩陣，則有
![][16]
[16]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?$y=BU$
其中，
![][17]
[17]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?$U=[a,u]^{T}\\y=[x{(0)}(2),x^{{(0)}(3),...,x}{(0)}(N)]^{{T}\\B=\begin{bmatrix}-1/2[x}{(1)}(2)+x^{{(1)}(1)]&1\-1/2[x}{(1)}(3)+x^{{(1)}(2)]&1\...\-1/2[x}{(1)}(N)+x^{(1)}(N-1)]&1\end{bmatrix}$
利用最小二乘法估計上式，可得：
![][18]
[18]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\hat{U}=\begin{bmatrix}\hat{a}\\hat{u}\end{bmatrix}=(B^{T}B){-1}B^{T}y
將上式得到的估計值a和u帶入求離散解的公式，得到時間響應方程
![][20]
[20]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\hat{x^{{(1)}}(k+1)=[x}{(1)}(1)-\frac{\hat{u}}{\hat{a}}]e^{-\hat{a}k}+\frac{\hat{u}}{\hat{a}}
當k=1,2,...,N-1時，由上式計算得到的結果是擬合值，當k>=N時，結果為預測值。這是相對于一次累加序列的擬合值，用后減運算還原，就可得原始序列的擬合值和預測值。

3.3 精度檢驗

(1) 殘差檢驗：預測得到的一次累加序列進行累減計算，得到原始序列估計值，再計算其與原始序列的絕對殘差序列和相對殘差序列。
殘差：
![][21]
[21]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?E(k)=x^{{(0)}(k)-\hat{x}{(0)}}(k),k=2,3,...N;
相對殘差：
![][22]
[22]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?e(k)=[x^{{(0)}(k)-\hat{x}{(0)}}(k)]/x^{(0)}(k),k=2,3,...N;
(2) 后驗差檢驗：分別計算
原始序列x^(0)的均值：
![][23]
[23]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\bar{X}=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}x{(0)}(k)
原始序列x^(0)的方差：
![][24]
[24]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?S_1=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}[x{(0)}(k)-\bar{X}]^2}
殘差的均值：
![][25]
[25]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\bar{E}=\frac{1}{N-1}\sum_{k=2}^{N}E(k)
殘差的方差：
![][26]
[26]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?S_2=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{k=2}^{{N}[E(k)-\bar{E}]}2}
后驗差比值：
![][27]
[27]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?C=\frac{S_2}{S_1}
小誤差概率：
![][28]
[28]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?P=P{|E(k)-\bar{E}|<0.6745S_1}
對比精度等級對照表，如下表所示。
![][29]
[29]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\begin{array}{c|lcr}level&\text{P}&\text{C}&\text{Level}\\hline1&{\textgreater0.95}&{\textless0.35}&Good\2&{\textgreater0.80}&{\textless0.45}&Qualified\3&{\textgreater0.70}&{\textless0.5}&Barely-passing\4&\leq0.70&\geq0.65&Unqualified\end{array}
評價模型的指標C越小越好，P越大越好，一般按照Max{P的level,C的level}來確定模型的精度級別。
(3) 關聯度檢驗
關聯度分析時根據因素之間發展態勢的相似或相異程度，分析事物動態關聯的特征和程度。后期再作補充。

由于灰度預測模型是給予一階常微分方程建立的，故被稱為一階一元灰色模型，記為GM(1,1)。特別注意，原始數據中如果有負數，需要先進行“數據整體提升”處理，再做一次累加，避免累加時正負抵消。

4. GM(1,1)殘差模型

如果用原始時間序列建立的GM(1,1)模型檢驗不合格或精度不理想時，要對建立的模型進行殘差修正，可以提高模型的預測精度。
我們設
![][30]
[30]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\varepsilon^{{(0)}=(\varepsilon}{(0)}(1),\varepsilon^{{(0)}(2),...,\varepsilon}{(0)}(n))
其中，我們稱
![][31]
[31]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\varepsilon(k)=x^{{(0)}(k)-\hat{x}}{(1)}(k)
為X^(1)的殘差序列。若存在k0滿足如下條件
![][32]
[32]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?1.\forall{k}\gek_0,\varepsilon^{(0)}(k)\textless0or*\varepsilon^{(0)}\textgreater0;\\****2.when:n-k_0\ge4;
則稱
![][33]
[33]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?(|\varepsilon^{{(0)}(k_0)|,|\varepsilon}{(0)}(k_0+1)|,...,|\varepsilon^{(0)}(n)|)
為可建模殘差尾段，仍記為
![][34]
[34]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?(\varepsilon^{{(0)}(k_0),\varepsilon}{(0)}(k_0+1),...,\varepsilon^{(0)}(n))
對其進行一次累加，得到序列
![][35]
[35]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?(\varepsilon^{{(1)}(k_0),\varepsilon}{(1)}(k_0+1),...,\varepsilon^{(1)}(n))
利用GM(1,1)建模后的時間響應式為：
![][36]
[36]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\varepsilon^{{(1)}(k+1)=(\varepsilon}{(0)}(k_0)-\frac{\hat{u}}{\hat{a}})e^{[-a(k-k_0)]}+\frac{\hat{u}}{\hat{a}},{k}\ge{k_{0}}
則殘差尾段的模擬序列為：
![][37]
[37]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\hat{\varepsilon}^{{(0)}=(\hat{\varepsilon}}{(0)}(k_0),\hat{\varepsilon}^{{(0)}(k_0+1),...,\hat{\varepsilon}}{(0)}(n))
其中
![][39]
[39]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\hat{\varepsilon}^{{(0)}(k+1)=-\hat{a}(\hat{\varepsilon}}{(0)}(k_0)-\frac{\hat{u}}{\hat{a}})e^{[-\hat{a}(k-k_0)]},k\ge{k_0}
如果用上式修正X^(1)，則稱修正后的時間響應式為
![][38]
[38]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?\hat{\varepsilon}^{{(1)}(k+1)=\left{\begin{array}{ll}(x}{(0)}(1)-\frac{u}{a})e^{{-ak}+\frac{u}{a},k\textless{k_0};(1)\\(x}{(0)}(1)-\frac{u}{a})e^{{-ak}+\frac{u}{a}\pm\hat{a}(\varepsilon}{(0)}(k_0)-\frac{\hat{u}}{\hat{a}})e^{[-\hat{a}(k-k_0)]},k\ge{k_0};(2)\end{array}\right.
因此為殘差修正GM(1,1)模型，簡稱殘差GM(1,1)

5. GM(n,h)模型

GM(n,h)模型是微分方程模型，可用于對描述對象做長期、連續、動態的反映。從原則上講，某一灰色系統無論內部機制如何，只要能將系統原始數據表示為原始時間序列，并保證值非負，則可用GM模型對系統表示和預測。