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1. 背景

本篇博文主要講解2015年深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域，非常值得學(xué)習(xí)的一篇文獻(xiàn)：《Batch Normalization: Accelerating Deep Network Training by Reducing Internal Covariate Shift》，這個算法目前已經(jīng)被大量的應(yīng)用，最新的文獻(xiàn)算法很多都會引用這個算法，進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，可見其強大之處非同一般啊。

近年來深度學(xué)習(xí)捷報連連、聲名鵲起，隨機梯度下架成了訓(xùn)練深度網(wǎng)絡(luò)的主流方法。盡管隨機梯度下降法對于訓(xùn)練深度網(wǎng)絡(luò)簡單高效，但是它有個毛病，就是需要我們?nèi)藶榈娜ミx擇參數(shù)，比如學(xué)習(xí)率、參數(shù)初始化、權(quán)重衰減系數(shù)、Drop out比例等。這些參數(shù)的選擇對訓(xùn)練結(jié)果至關(guān)重要，以至于我們很多時間都浪費在這些的調(diào)參上。那么學(xué)完這篇文獻(xiàn)之后，你可以不需要那么刻意的慢慢調(diào)整參數(shù)。BN算法（Batch Normalization）其強大之處如下：

1. 實際上深度網(wǎng)絡(luò)中每一層的學(xué)習(xí)率是不一樣的，一般為了網(wǎng)絡(luò)能夠正確的收斂、損失函數(shù)的值能夠有效的下降，常常將學(xué)習(xí)率設(shè)為所有層中學(xué)習(xí)率最小的那個值。但是 Batch Normalization 對每層數(shù)據(jù)規(guī)范化后，這個最低學(xué)習(xí)率就會被提高，所以網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時可以設(shè)置較高的初始學(xué)習(xí)率，加快收斂。
2. 你再也不用去理會過擬合中drop out、L2正則項參數(shù)的選擇問題，采用BN算法后，可以選擇更小的L2正則約束參數(shù)了，因為BN具有提高網(wǎng)絡(luò)泛化能力的特性；
3. 再也不需要使用使用局部響應(yīng)歸一化層了（局部響應(yīng)歸一化是Alexnet網(wǎng)絡(luò)用到的方法，搞視覺的估計比較熟悉），因為BN本身就是一個歸一化網(wǎng)絡(luò)層；
4. 可以把訓(xùn)練數(shù)據(jù)徹底打亂（防止每批訓(xùn)練的時候，某一個樣本都經(jīng)常被挑選到，文獻(xiàn)說這個可以提高1%的精度，這句話我也是百思不得其解啊）。

開始講解算法前，先來思考一個問題：我們知道在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練開始前，都要對輸入數(shù)據(jù)做一個歸一化處理，那么具體為什么需要歸一化呢？歸一化后有什么好處呢？原因在于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程本質(zhì)就是為了學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)分布，一旦訓(xùn)練數(shù)據(jù)與測試數(shù)據(jù)的分布不同，那么網(wǎng)絡(luò)的泛化能力也大大降低；另外一方面，一旦每批訓(xùn)練數(shù)據(jù)的分布各不相同(batch 梯度下降)，那么網(wǎng)絡(luò)就要在每次迭代都去學(xué)習(xí)適應(yīng)不同的分布，這樣將會大大降低網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練速度，這也正是為什么我們需要對數(shù)據(jù)都要做一個歸一化預(yù)處理的原因。

對于深度網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練是一個復(fù)雜的過程，只要網(wǎng)絡(luò)的前面幾層發(fā)生微小的改變，那么后面幾層就會被累積放大下去。一旦網(wǎng)絡(luò)某一層的輸入數(shù)據(jù)的分布發(fā)生改變，那么這一層網(wǎng)絡(luò)就需要去適應(yīng)學(xué)習(xí)這個新的數(shù)據(jù)分布，所以如果訓(xùn)練過程中，訓(xùn)練數(shù)據(jù)的分布一直在發(fā)生變化，那么將會影響網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練速度。

我們知道網(wǎng)絡(luò)一旦train起來，那么參數(shù)就要發(fā)生更新，除了輸入層的數(shù)據(jù)外(因為輸入層數(shù)據(jù)，我們已經(jīng)人為的為每個樣本歸一化)，后面網(wǎng)絡(luò)每一層的輸入數(shù)據(jù)分布是一直在發(fā)生變化的，因為在訓(xùn)練的時候，前面層訓(xùn)練參數(shù)的更新將導(dǎo)致后面層輸入數(shù)據(jù)分布的變化。以網(wǎng)絡(luò)第二層為例：網(wǎng)絡(luò)的第二層輸入，是由第一層的參數(shù)和input計算得到的，而第一層的參數(shù)在整個訓(xùn)練過程中一直在變化，因此必然會引起后面每一層輸入數(shù)據(jù)分布的改變。我們把網(wǎng)絡(luò)中間層在訓(xùn)練過程中，數(shù)據(jù)分布的改變稱之為：“Internal Covariate Shift”。Paper所提出的算法，就是要解決在訓(xùn)練過程中，中間層數(shù)據(jù)分布發(fā)生改變的情況，于是就有了Batch Normalization，這個牛逼算法的誕生。

2. BN(Batch Normalization)算法原理

2.1 BN概述

就像激活函數(shù)層、卷積層、全連接層、池化層一樣，BN(Batch Normalization)也屬于網(wǎng)絡(luò)的一層。在前面我們提到網(wǎng)絡(luò)除了輸出層外，其它層因為低層網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練的時候更新了參數(shù)，而引起后面層輸入數(shù)據(jù)分布的變化。這個時候我們可能就會想，如果在每一層輸入的時候，再加個預(yù)處理操作那該有多好啊，比如網(wǎng)絡(luò)第三層輸入數(shù)據(jù)X3(X3表示網(wǎng)絡(luò)第三層的輸入數(shù)據(jù))把它歸一化至：均值0、方差為1，然后再輸入第三層計算，這樣我們就可以解決前面所提到的“Internal Covariate Shift”的問題了。

而事實上，paper的算法本質(zhì)原理就是這樣：在網(wǎng)絡(luò)的每一層輸入的時候，又插入了一個歸一化層，也就是先做一個歸一化處理，然后再進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)的下一層。 不過文獻(xiàn)歸一化層，可不像我們想象的那么簡單，它是一個可學(xué)習(xí)、有參數(shù)的網(wǎng)絡(luò)層。既然說到數(shù)據(jù)預(yù)處理，下面就先來復(fù)習(xí)一下最強的預(yù)處理方法：白化。

2.2 預(yù)處理操作選擇

說到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入數(shù)據(jù)預(yù)處理，最好的算法莫過于白化預(yù)處理。然而白化計算量太大了，很不劃算，還有就是白化不是處處可微的，所以在深度學(xué)習(xí)中，其實很少用到白化。經(jīng)過白化預(yù)處理后，數(shù)據(jù)滿足條件：a、特征之間的相關(guān)性降低，這個就相當(dāng)于pca；b、數(shù)據(jù)均值、標(biāo)準(zhǔn)差歸一化，也就是使得每一維特征均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。 如果數(shù)據(jù)特征維數(shù)比較大，要進(jìn)行PCA，也就是實現(xiàn)白化的第1個要求，是需要計算特征向量，計算量非常大，于是為了簡化計算，作者忽略了第1個要求，僅僅使用了下面的公式進(jìn)行預(yù)處理，也就是近似白化預(yù)處理：

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3. BN算法實現(xiàn)

3.1 算法流程

經(jīng)過前面簡單介紹，這個時候可能我們會想當(dāng)然的以為：好像很簡單的樣子，不就是在網(wǎng)絡(luò)中間層數(shù)據(jù)做一個歸一化處理嘛，這么簡單的想法，為什么之前沒人用呢？然而其實實現(xiàn)起來并不是那么簡單的。其實如果是僅僅使用上面的歸一化公式，對網(wǎng)絡(luò)某一層A的輸出數(shù)據(jù)做歸一化，然后送入網(wǎng)絡(luò)下一層B，這樣是會影響到本層網(wǎng)絡(luò)A所學(xué)習(xí)到的特征的。打個比方，比如我網(wǎng)絡(luò)中間某一層學(xué)習(xí)到特征數(shù)據(jù)本身就分布在S型激活函數(shù)的兩側(cè)，你強制把它給我歸一化處理、標(biāo)準(zhǔn)差也限制在了1，把數(shù)據(jù)變換成分布于s函數(shù)的中間部分，這樣就相當(dāng)于我這一層網(wǎng)絡(luò)所學(xué)習(xí)到的特征分布被你搞壞了，這可怎么辦？于是文獻(xiàn)使出了一招驚天地泣鬼神的招式：變換重構(gòu)，引入了可學(xué)習(xí)參數(shù)γ、β，這就是算法關(guān)鍵之處：

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3.2 源碼實現(xiàn)

m = K.mean(X, axis=-1, keepdims=True)#計算均值  
std = K.std(X, axis=-1, keepdims=True)#計算標(biāo)準(zhǔn)差  
X_normed = (X - m) / (std + self.epsilon)#歸一化  
out = self.gamma * X_normed + self.beta#重構(gòu)變換  

上面的x是一個二維矩陣，對于源碼的實現(xiàn)就幾行代碼而已，輕輕松松。

3.3 實戰(zhàn)使用

• (1) 可能學(xué)完了上面的算法，你只是知道它的一個訓(xùn)練過程，一個網(wǎng)絡(luò)一旦訓(xùn)練完了，就沒有了min-batch這個概念了。測試階段我們一般只輸入一個測試樣本，看看結(jié)果而已。因此測試樣本，前向傳導(dǎo)的時候，上面的均值u、標(biāo)準(zhǔn)差σ要哪里來？其實網(wǎng)絡(luò)一旦訓(xùn)練完畢，參數(shù)都是固定的，這個時候即使是每批訓(xùn)練樣本進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)，那么BN層計算的均值u、和標(biāo)準(zhǔn)差都是固定不變的。我們可以采用這些數(shù)值來作為測試樣本所需要的均值、標(biāo)準(zhǔn)差，于是最后測試階段的u和σ計算公式如下：

  
  
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  上面簡單理解就是：對于均值來說直接計算所有batch u值的平均值；然后對于標(biāo)準(zhǔn)偏差采用每個batch σB的無偏估計。最后測試階段，BN的使用公式就是：

  
  
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• (2) 根據(jù)文獻(xiàn)說，BN可以應(yīng)用于一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的任何神經(jīng)元上。文獻(xiàn)主要是把BN變換，置于網(wǎng)絡(luò)激活函數(shù)層的前面。在沒有采用BN的時候，激活函數(shù)層是這樣的：
  z=g(Wu+b)

  也就是我們希望一個激活函數(shù)，比如s型函數(shù)s(x)的自變量x是經(jīng)過BN處理后的結(jié)果。因此前向傳導(dǎo)的計算公式就應(yīng)該是：

  z=g(BN(Wu+b))

  其實因為偏置參數(shù)b經(jīng)過BN層后其實是沒有用的，最后也會被均值歸一化，當(dāng)然BN層后面還有個β參數(shù)作為偏置項，所以b這個參數(shù)就可以不用了。因此最后把BN層+激活函數(shù)層就變成了：

  z=g(BN(Wu))

4. Batch Normalization在CNN中的使用

通過上面的學(xué)習(xí)，我們知道BN層是對于每個神經(jīng)元做歸一化處理，甚至只需要對某一個神經(jīng)元進(jìn)行歸一化，而不是對一整層網(wǎng)絡(luò)的神經(jīng)元進(jìn)行歸一化。既然BN是對單個神經(jīng)元的運算，那么在CNN中卷積層上要怎么搞？假如某一層卷積層有6個特征圖，每個特征圖的大小是100100，這樣就相當(dāng)于這一層網(wǎng)絡(luò)有6100100個神經(jīng)元，如果采用BN，就會有6100*100個參數(shù)γ、β，這樣豈不是太恐怖了。因此卷積層上的BN使用，其實也是使用了類似權(quán)值共享的策略，把一整張?zhí)卣鲌D當(dāng)做一個神經(jīng)元進(jìn)行處理。

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過卷積后得到的是一系列的特征圖，如果min-batch sizes為m，那么網(wǎng)絡(luò)某一層輸入數(shù)據(jù)可以表示為四維矩陣(m,f,p,q)，m為min-batch sizes，f為特征圖個數(shù)，p、q分別為特征圖的寬高。在cnn中我們可以把每個特征圖看成是一個特征處理（一個神經(jīng)元），因此在使用Batch Normalization，mini-batch size 的大小就是：mpq，于是對于每個特征圖都只有一對可學(xué)習(xí)參數(shù)：γ、β。說白了吧，這就是相當(dāng)于求取所有樣本所對應(yīng)的一個特征圖的所有神經(jīng)元的平均值、方差，然后對這個特征圖神經(jīng)元做歸一化。下面是來自于keras卷積層的BN實現(xiàn)一小段主要源碼：

input_shape = self.input_shape  
 reduction_axes = list(range(len(input_shape)))  
 del reduction_axes[self.axis]  
 broadcast_shape = [1] * len(input_shape)  
 broadcast_shape[self.axis] = input_shape[self.axis]  
 if train:  
     m = K.mean(X, axis=reduction_axes)  
     brodcast_m = K.reshape(m, broadcast_shape)  
     std = K.mean(K.square(X - brodcast_m) + self.epsilon, axis=reduction_axes)  
     std = K.sqrt(std)  
     brodcast_std = K.reshape(std, broadcast_shape)  
     mean_update = self.momentum * self.running_mean + (1-self.momentum) * m  
     std_update = self.momentum * self.running_std + (1-self.momentum) * std  
     self.updates = [(self.running_mean, mean_update),  
                     (self.running_std, std_update)]  
     X_normed = (X - brodcast_m) / (brodcast_std + self.epsilon)  
 else:  
     brodcast_m = K.reshape(self.running_mean, broadcast_shape)  
     brodcast_std = K.reshape(self.running_std, broadcast_shape)  
     X_normed = ((X - brodcast_m) /  
                 (brodcast_std + self.epsilon))  
 out = K.reshape(self.gamma, broadcast_shape) * X_normed + K.reshape(self.beta, broadcast_shape)

5. 最后

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