原文鏈接http://blog.csdn.net/Ying_Xu/article/details/51487977
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本周的內(nèi)容是NP問題，NP的全稱是Non-deterministic Polynomial，即多項(xiàng)式復(fù)雜程度的非確定性問題。百度上對(duì)NP的解釋是，P/NP問題是在理論信息學(xué)中計(jì)算復(fù)雜度理論里至今沒有解決的問題。通俗的說，是將不可知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，進(jìn)而計(jì)算器復(fù)雜度。
首先介紹多項(xiàng)式時(shí)間的規(guī)約，即Polynomial-Time Reductions，通過解決另一個(gè)不同問題的假設(shè)的子程序，使用不包含子程序在內(nèi)的多項(xiàng)式時(shí)間來解決一個(gè)問題的方法。主觀上，一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間規(guī)約證明了第一個(gè)問題不比第二個(gè)問題難，因?yàn)橹灰獙?duì)于第二個(gè)問題有有效的解決辦法，那么對(duì)于第一個(gè)問題就一定也存在解決方法。
根據(jù)計(jì)算的復(fù)雜度，我們可以將問題分為兩類，一種是可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決的，另一種是不能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被解決的。下面的表格給出了一些算法。
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一些問題被證明需要指數(shù)時(shí)間：
1.給定一臺(tái)圖靈機(jī)，它能否在最多k步的時(shí)候停止？
2.給定一個(gè)nxn的棋盤，黑棋能夠保證贏嗎？
一個(gè)不樂觀的消息是幾十年來大量的基礎(chǔ)問題都忽略了分類。這一節(jié)的內(nèi)容是表明這些基本問題是計(jì)算等價(jià)的，似乎是一個(gè)非常難問題的不同表現(xiàn)。
假設(shè)我們可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決X問題，那么我們?cè)诙囗?xiàng)式時(shí)間內(nèi)能解決其他什么問題嗎?這里引入Reduction的定義。
Reduction：?jiǎn)栴}X可以多項(xiàng)式規(guī)約為問題Y，如果問題X的任意實(shí)例可以使用下面的條件被解決：
A） 多項(xiàng)式數(shù)量的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算步驟加上，
B） 可以解決問題Y的oracle多項(xiàng)式數(shù)目次的調(diào)用，這里，oracle是特殊硬件提供的可以在單步中解決Y的實(shí)例的計(jì)算模型。
表示為
這里，X是已知的可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決的問題，Y是不可知復(fù)雜度的問題。中間的符號(hào)表示，有方法將X轉(zhuǎn)換為Y，有點(diǎn)類似于小于等于符號(hào)的含義是表明X的復(fù)雜度小于等于Y的復(fù)雜度，一般情況下，符號(hào)中p的上面會(huì)有一個(gè)m，表示可以是many to one reduction,也就是可以是多對(duì)一的映射。如果X有polynomial-time解，那么該解是下界；如果Y有polynomial-time解，那么該解是上界。
因此多項(xiàng)式時(shí)間的規(guī)約的目的是根據(jù)問題的相對(duì)困難度來對(duì)問題分類的。如果有
我們也可以建立等價(jià)性，這里的等價(jià)是指的reduction的成本。如果
下面有三個(gè)基本的規(guī)約策略，通過簡(jiǎn)單等價(jià)規(guī)約、從特殊案例到一般案例的規(guī)約和通過子程序的編碼來規(guī)約。
一、簡(jiǎn)單等價(jià)規(guī)約
首先定義獨(dú)立集（IndependentSet, 我們?cè)贛atroid中已經(jīng)學(xué)習(xí)過），給定一個(gè)圖G=(V, E)和一個(gè)整數(shù)k，存在一個(gè)頂點(diǎn)的子集
如下圖：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
對(duì)于上圖，存在一個(gè)大小大于等于6的獨(dú)立集，但是不存在大小大于等于7的獨(dú)立集。
下面定義一個(gè)頂點(diǎn)覆蓋集，給定一個(gè)圖G=(V, E)和一個(gè)整數(shù)k，存在一個(gè)頂點(diǎn)的子集
例如：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
對(duì)于上圖，存在一個(gè)大小小于等于4的頂點(diǎn)覆蓋集，但是不存在一個(gè)大小小于等于3的頂點(diǎn)覆蓋集。
對(duì)于頂點(diǎn)覆蓋集合和獨(dú)立集，有
其實(shí)從上面兩個(gè)圖，我們就可以看出，兩個(gè)集合互補(bǔ)。S是一個(gè)獨(dú)立集當(dāng)且僅當(dāng)V-S是一個(gè)頂點(diǎn)覆蓋集。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
從上面等價(jià)條件來，我們可以從
令S為任意的獨(dú)立集，考慮一條任意的邊(u, v), 因?yàn)镾為獨(dú)立集
因此，V-S包含(u, v).
令V-S為任意的頂點(diǎn)覆蓋集，考慮兩個(gè)頂點(diǎn)u∈S和v∈S，因?yàn)閂-S是一個(gè)頂點(diǎn)覆蓋集，觀察到(u, v)?S，因此，不存在S中的兩個(gè)頂點(diǎn)連接同一條邊。因此，S是一個(gè)獨(dú)立集。
二、從特殊案例到一般案例的規(guī)約
定義集合覆蓋：
集合覆蓋（Set Cover）：給定一個(gè)元素的集合U，一個(gè)U的子集的集合S1,S2,…Sm,和一個(gè)整數(shù)k，存在一個(gè)集合含有小于等于k個(gè)這樣的集合的并等于U。
例：
? ? ? ??
上面的例子中，S2和S6即為滿足的集合。
頂點(diǎn)覆蓋集合(Vertex cover)可以規(guī)約為集合覆蓋（Set Cover），即
證明：
給定一個(gè)頂點(diǎn)覆蓋集合的實(shí)例G=(V,E),k,我們建立了一個(gè)集合覆蓋實(shí)例，其大小等于頂點(diǎn)覆蓋實(shí)例的大小。
創(chuàng)建過程：
創(chuàng)建集合覆蓋實(shí)例：
集合覆蓋的大小小于等于k當(dāng)且僅當(dāng)頂點(diǎn)覆蓋的大小小于等于k。
? ? ? ?
三、通過子程序的編碼來規(guī)約。
首先定義
literal：一個(gè)布爾變量或者它的否定：
clause子句：literal的析取：
合取范式（Conjunction Normal Form， CNF）：子句clause的聯(lián)合的一個(gè)命題公式
SAT：給出一個(gè)CNF公式
3-SAT：每一個(gè)子句包含恰好3個(gè)literals的SAT
? ? ??
上面的例子是一個(gè)SAT，但不是一個(gè)3-SAT。第3個(gè)clause再加一個(gè)literal就為3-SAT。
3-SAT可以規(guī)約到獨(dú)立集，即
證明：
給定一個(gè)3-SAT的實(shí)例
創(chuàng)建過程：
G對(duì)于每一個(gè)子句包含3個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)每一個(gè)literal有1個(gè)頂點(diǎn)；一個(gè)三角形中一個(gè)子句中連接3個(gè)literals；每一個(gè)literal連接到自身的否定。
? ? ? ? ? ??
3可滿足性可以規(guī)約到獨(dú)立集。
G包含一個(gè)大小為
證明：
→
令S為大小為k的獨(dú)立集，那么S在每一個(gè)三角形中包含恰好一個(gè)頂點(diǎn)，將這些literal全部設(shè)置為true，，其余的變量也保持一致，那么真命題賦值是一致的且所有的子句都滿足
←
給定一個(gè)滿足的命題， 從每一個(gè)三角形中選擇一個(gè)為真的literal。那么這就是一個(gè)大小為k的獨(dú)立集。
總結(jié)一下以上三種基本的規(guī)約方法：
? ? ? ? ?
傳遞性：
? ? ? ? ? ??
如：
? ? ? ? ?
決策問題：是否存在一個(gè)大小小于等于k的頂點(diǎn)覆蓋?
搜索問題：找到有著最小基數(shù)的頂點(diǎn)覆蓋
自規(guī)約性：搜索問題決策問題，將會(huì)應(yīng)用到這一章節(jié)的所有問題中，并且
證明我們對(duì)于決策問題的聚焦。
例如：
我們想要找到具有最小基數(shù)的頂點(diǎn)覆蓋
方法為：
（二進(jìn)制）搜索找到最小頂點(diǎn)覆蓋的基數(shù)k*
找到一個(gè)頂點(diǎn)v使得G-{v}有一個(gè)大小小于等于k*-1的頂點(diǎn)覆蓋（在任何的最小頂點(diǎn)覆蓋中的任意頂點(diǎn)都有這個(gè)性質(zhì)）
將v包含到這個(gè)頂點(diǎn)覆蓋中
遞歸找到一個(gè)最小的頂點(diǎn)覆蓋G-{v}
下面開始探討重點(diǎn)的NP問題
首先是決策問題。
X是字符串的一個(gè)集合，有一個(gè)實(shí)例字符串s，那么設(shè)計(jì)一個(gè)算法A解決問題X：使得A(s)=yes當(dāng)且僅當(dāng)s∈X
如果算法A是對(duì)于每一個(gè)字符串s運(yùn)行在一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)的，那么A(s)將會(huì)在最多第p(|s|)步終止，其中p(·)是某一個(gè)多項(xiàng)式。
定義P：
對(duì)一個(gè)有著多項(xiàng)式運(yùn)行時(shí)間的算法的決策問題
? ? ? ? ? ?
NP問題：
認(rèn)證算法的意圖：
Certifier（證明者）是從管理的角度來看待事情的，并不能自己決定是否有s∈X，然而，他可以檢驗(yàn)一個(gè)提出的證明這個(gè)s∈X。
定義：算法C(s,t)是一個(gè)問題X的證明者，如果對(duì)于每一個(gè)字符串s有s∈X當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)字符串t使得C(s,t) = yes.
NP是指存在一個(gè)多項(xiàng)式Certifier的決策問題，這是相對(duì)于P而言的定義。
例子：
給出一個(gè)整數(shù)s，s是一個(gè)合數(shù)（質(zhì)數(shù)的對(duì)立）嗎？
Certificate ：s的一個(gè)非質(zhì)因子t，存在這樣的一個(gè)憑證存在當(dāng)且僅當(dāng)s是一個(gè)合數(shù)。
Certifier:
? ? ? ? ? ??
如一個(gè)實(shí)例：
s = 437699
Certificate: t = 541 或者809
結(jié)論是：合數(shù)是一個(gè)NP問題
SAT：給出一個(gè)CNF公式
Certificate：對(duì)于n個(gè)布爾變量的真值的賦值
Certifier：檢查
例如：
實(shí)例s
Certificate：
結(jié)論：SAT是一個(gè)NP問題
哈密頓環(huán)（Hamiltonian Cycle）
哈密頓環(huán)是：給定一個(gè)無向圖G=(V, E), 存在一個(gè)簡(jiǎn)單環(huán)C能夠訪問每一個(gè)結(jié)點(diǎn)
Certificate：n個(gè)結(jié)點(diǎn)的排列
Certifier：檢驗(yàn)排列中V中包含的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)是否恰好出現(xiàn)一次，并且在排列中每一對(duì)相鄰的結(jié)點(diǎn)之間是否存在一條邊。
結(jié)論：哈密頓環(huán)是一個(gè)NP問題
? ? ? ??
?
那么P是否等于NP呢？
所有的完全多項(xiàng)式非確定性問題，都可以轉(zhuǎn)換為一類叫做滿足性問題的邏輯運(yùn)算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)計(jì)算，人們于是就猜想，是否這類問題，存在一個(gè)確定性算法，可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。
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如果yes：那么有效的算法對(duì)3-Color，TSP， FACTOR， SAT…
如果No：沒有有效的算法對(duì)3-Color，TSP， FACTOR， SAT…
一致的輿論為p≠NP
最后討論的是NP完全問題。
問題X多項(xiàng)式規(guī)約（polynomial reduces, Cook提出的）到問題Y，如果問題X的任意實(shí)例可以使用下面的來解決：
A． 多項(xiàng)式數(shù)目的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算步驟，加上
B． 可以解決問題Y的oracle的多項(xiàng)式數(shù)目的調(diào)用
多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換(polynomialtransforms, Karp提出的)是指問題X多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為問題Y如果給定一個(gè)任意的輸入x給X，我們可以生成一個(gè)輸出y使得x是X的一個(gè)yes實(shí)例當(dāng)且僅當(dāng)y是Y的一個(gè)yes實(shí)例。
多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換是一個(gè)對(duì)于Y而言只有一個(gè)oracle調(diào)用的多項(xiàng)式規(guī)約，就在對(duì)X的算法的最后。幾乎所有之前的規(guī)約都是這種形式。
那么這兩個(gè)對(duì)于NP而言是相同的嗎？
NP完全問題是最難的問題。它的定義是：NP中的一個(gè)問題Y有這樣的一個(gè)性質(zhì)：對(duì)于NP中的任意問題X，有
完全多項(xiàng)式非確定性問題可以用窮舉法得到答案，一個(gè)個(gè)檢驗(yàn)下去，最終便能得到結(jié)果。但是這樣算法的復(fù)雜程度，是指數(shù)關(guān)系，因此計(jì)算的時(shí)間隨問題的復(fù)雜程度成指數(shù)的增長(zhǎng)，很快便變得不可計(jì)算了。
定理：假設(shè)y是一個(gè)NP完全問題，那么y可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決當(dāng)且僅當(dāng)P=NP
證明：
←如果P=NP，那么因?yàn)閥是一個(gè)NP問題，因此可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被解決
→假定y可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被解決，令X為任意一個(gè)NP問題。因?yàn)?/p>
下面描述一個(gè)電路可滿足性問題，在理論計(jì)算機(jī)科學(xué)中，電路可滿足性問題（CIRCUIT-SAT）是決定一個(gè)給定的布爾電路是否有一個(gè)可以使得輸出為true的輸入的賦值的決策性問題。
給出一個(gè)由AND，OR和NOT門的聯(lián)合電路，是否存在一個(gè)方法設(shè)置電路的輸入使得其輸出為1？
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
我們可以驗(yàn)證，CIRCUIT-SAT是一個(gè)NP完全問題。
證明：任何一個(gè)將固定數(shù)目的n位作為輸入并且產(chǎn)生一個(gè)yes/no的輸出的算法都可以被這樣的一個(gè)電路來表示。并且，如果該算法花費(fèi)多項(xiàng)式時(shí)間，那么電路也是多項(xiàng)式大小。（固定為n位是非常重要的，反應(yīng)了算法和電路之間的基本區(qū)別）
考慮一個(gè)NP問題X，它有一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間certifier C(s, t).為了決策s是否在X中，我們需要知道是否存在一個(gè)長(zhǎng)度為p(|s|)的憑證t使得C(s, t)=yes。
我們將C(s, t)看做是一個(gè)|s|+p(|s|)位的算法（輸入為s，憑證為t），將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間的電路K。前|s|位是用s硬編碼的，剩下的p(|s|)位是t的位，那么電路K是可滿足的當(dāng)且僅當(dāng)C(s,t)=yes。
例如：
? ? ? ? ? ? ??
上面的電路就創(chuàng)建了一個(gè)電路K，它的輸入這樣被設(shè)置使得K輸出為真當(dāng)且僅當(dāng)圖G有一個(gè)大小為2的獨(dú)立集。
那么如何建立一個(gè)NP完全問題呢？
一旦我們建立了第一個(gè)NP完全問題，那么其他的也就是一個(gè)道理了。
建立問題y的完全NP問題的步驟：
1） 表明Y是一個(gè)NP問題
2） 選擇一個(gè)完全NP問題X
3） 證明
可以證明3-SAT是一個(gè)NP完全問題。
下面這個(gè)圖顯示了NP完全問題以及可以多項(xiàng)式規(guī)約到另一個(gè)問題。
? ? ? ? ? ? ??
NP完全問題的6個(gè)種類和典型例子：
a)??包裝問題：SET-PACKING，INDEPENDENT SET
b)??覆蓋問題：SET-COVER， VERTEX-COVER
c)??約束滿足問題：SAT， 3-SAT
d)??序列問題：HAMILTONIAN-CYCLE， TSP
e)??分區(qū)問題：3D-MATCHING, 3-COLOR
f)??數(shù)值問題：SUBSET-SUM， KNAPSACK
大部分的NP問題要么是P要么就是完全NP問題。
NP的對(duì)稱：我們只需要有對(duì)于yes實(shí)例的簡(jiǎn)單證明即可。
1.? SATvs. TAUTOLOGY
可以證明對(duì)于一個(gè)給定的賦值，一個(gè)CNF公式是可以滿足的，那么如何證明一個(gè)公式不可滿足呢？
2.? HAM-CYCLEvs. NO-HAM-CYCLE
給定一個(gè)哈密頓環(huán)可以證明一個(gè)圖是哈密頓，那么如何證明一個(gè)圖不是哈密頓呢？
??????? co-NP是NP決策問題的補(bǔ)集。
? ? ? ? ??
那么，NP=co-NP呢？
一致的輿論是不等于的。
如果有NP≠co-NP，那么P≠NP。但可以得出，
質(zhì)數(shù)問題是一個(gè)NP∩co-NP的問題
（Pratt定理）一個(gè)奇數(shù)是一個(gè)質(zhì)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)整數(shù)1<t<s,使得對(duì)于所有s-1的所有素除子p有
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? FACTORIZE：給定一個(gè)整數(shù)x，找出它的素因子
??? FACTOR：給定兩個(gè)整數(shù)x和y，找出x是否有一個(gè)小于y的非質(zhì)因子。
??? 定理：
??? FACTOR是一個(gè)NP∩co-NP的問題。
? ??
