數列之目：2022年新高考題18

2022年新高考題18

已知數列 \lbrace a_n \rbrace 是等比數列，且 8a_3=a_6,\;a_2+a_5=36 .

（1）求數列 \lbrace a_n \rbrace 的通項公式;

（2）設 b_n=\dfrac{a_n}{(a_n+1)(a_{n+1}+1)}, 求數列 \lbrace b_n \rbrace 的前 n 項和 T_n，并證明：T_n \lt \dfrac{1}{3}

【解答問題1】

a_n=a_1 q^{n-1}

8a_3=a_6 \Rightarrow\; q^3=8 \Rightarrow q=2;

a_2+a_5=36 \Rightarrow a_1(2^1+2^4)=36 \Rightarrow\; a_1=2

所以，數列 \lbrace a_n \rbrace 的通項公式為：a_n=2^n

【解答問題2】

根據前節結論，a_n=2^n

a_n=a_{n+1}-a_n= (a_{n+1}+1)- (a_n+1)

\dfrac{1} {a_n+1} - \dfrac{1}{a_{n+1}+1} = \dfrac{a_n}{(a_n+1)(a_{n+1}+1)}

T_n=b_1+b_2+\cdots+b_n

= (\dfrac{1}{a_1+1}-\dfrac{1}{a_{2}+1}) + (\dfrac{1}{a_2+1}-\dfrac{1}{a_{3}+1}) +\cdots+ (\dfrac{1}{a_n+1}-\dfrac{1}{a_{n+1}+1})

=\dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{a_{n+1}+1}

=\dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{2^{n+1}+1}

∵ \dfrac{1}{2^{n+1}+1} \gt 0

∴ T_n \lt \dfrac{1}{3}

證明完畢.

【提煉與提高】

在最近十年的高考題中，本題難度可以算是入門級，掌握裂項方法即可解答。本題可以作為裂項方法的配套習題使用。

數列是高中數學的核心內容之一。在此前的高考數學大題中，數列與三角大題常常交替出現。在2022年的高考數學中，數列和三角大題同時出現，估計以后會沿用這種安排。

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