問題：
Given a positive integer n, break it into the sum of at least two positive integers and maximize the product of those integers. Return the maximum product you can get.
For example, given n = 2, return 1 (2 = 1 + 1); given n = 10, return 36 (10 = 3 + 3 + 4).
Note: You may assume that n is not less than 2 and not larger than 58.
大意：
給出一個正整數(shù)n，將其拆分成至少兩個正整數(shù)的和，并使這些數(shù)的乘積最大。返回你能獲得的最大乘積。
比如，給出 n = 2，返回 1（2 = 1 + 1）；給出 n = 10，返回 36（10 = 3 + 3 + 4）。
注意：你可以假設(shè)n在2~58之間。
思路：
這道題是要考我們一個個猜拆分數(shù)字的和的方法嗎？不是的，這種找最大乘積是有規(guī)律可循的，結(jié)論是拆分成多個2和3相乘得出的乘積最大，至于原因要靠數(shù)學分析。
假設(shè)將n拆分成相等的多個x相加，那么乘積就是x的n/x次方。
求導數(shù)得出，當 0 < x < e 時這個導數(shù)是正的，當 x = e 時等于0，當 x > e 時為負，也就是說這個乘積會在 x < e 時遞增，到達 x = e 時達到最大，接著x越大，乘積變小。所以讓 x = e 是最好的，也就是拆分成多個 e ，相乘的結(jié)果最大，但是題目要求拆分成正整數(shù)，那就只能找和e相近的，那就只能是2和3了，畢竟 2 < e < 3。
而3離e更近，所以我們傾向于多弄出點3來，但是當取到夠多的時候就不得不取2了，比如對于 n = 4，22 > 31，也就是說，如果取3使得剩下一個數(shù)是1，那么就要放棄取3，而取兩個2。
總結(jié)就是，將n盡量多拆分成多個3相加，最后如果剩下了4，那就不得不將剩下的4拆分成兩個2，此時相乘的乘積一定最大，計算出結(jié)果即可。
Leetcode刷到現(xiàn)在，隨著難度的提升，已經(jīng)開始出現(xiàn)需要純粹依靠高等數(shù)學來解決的問題，而不再是單純的邏輯思考，可見數(shù)學的重要性。
代碼（Java）：
public class Solution {
public int integerBreak(int n) {
if (n == 2) return 1;
else if (n == 3) return 2;
int sum = 0;
int result = 1;
while (true) {
if (n > 4) {
result = result * 3;
n -= 3;
} else {
result = result * n;
break;
}
}
return result;
}
}
合集：https://github.com/Cloudox/LeetCode-Record
