計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的主要功能：
- 基本操作符和操作單位(eg: number 和 加減法)
- 聚合的方法，把多個(gè)元素集合為一(eg: 1+1)
- 抽象的方法，讓一個(gè)復(fù)雜的元素作為一個(gè)單元使用(eg: function)
函數(shù)調(diào)用方法：
- 正常序：先完全展開(kāi)再計(jì)算
- 應(yīng)用序：邊計(jì)算邊展開(kāi)
例如：
(define (sqrt x) (* x x))
(+ (sqrt (sqrt 3)) (sqrt 4))
- 正常序：
(+ (* (* 3 3) (* 3 3)) (* 4 4)) => 97 - 應(yīng)用序：
(+ (* 9 9) 16) => 97
迭代與遞歸：
一直有很多人認(rèn)為遞歸就是函數(shù)調(diào)用自身。而實(shí)際上這里指的“遞歸”只是函數(shù)處理的形式，而并不是遞歸的處理形式。處理形式上迭代和遞歸的區(qū)別是，迭代保存了當(dāng)前的運(yùn)行狀態(tài)，無(wú)需展開(kāi)后再執(zhí)行收縮，而遞歸是展開(kāi)完全后再計(jì)算收縮。例如迭代即使中途停止，只要給它一個(gè)狀態(tài)值就可以得到最終結(jié)果，而遞歸就不行，它沒(méi)有顯式保存狀態(tài)值，必須從頭開(kāi)始運(yùn)算。以調(diào)用自身的方式進(jìn)行迭代的過(guò)程，我們稱(chēng)之為尾遞歸。
線(xiàn)性遞歸：
(define (factorical n)
(if (= n 1)
1
(+ n (factorical (- n 1)))))
樹(shù)形遞歸：
斐波那契：
(define (fib n)
(cond ((= n 0) 0)
((= n 1) 1)
(else (+ (fib (- n 1))
(fib (- n 2))))))
換零錢(qián)的方法數(shù)：
(define (count-change amount kinds-of-coins) (cc amout 5))
(define (cc amount kinds-of-coins)
(cond ((= amount 0) 1)
((or (< amount 0) (= kinds-of-coins 0)) 0)
(else (+ (cc amount (- kinds-of-coins 1))
(cc (- amount (value kinds-of-coins)) kinds-of-coins))))))
換零錢(qián)的方法數(shù) = 不使用使用當(dāng)前面額的方法數(shù) + 使用當(dāng)前面額的方法數(shù)
指數(shù)：
計(jì)算一個(gè)數(shù)的平方時(shí)一般用這個(gè)方法：
(define (exponent b n)
(cond ((= n 0) 1)
(else (* b (exponent b (- n 1))))))
這樣計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度是 O(n)，但是我們有更好的方法。先判斷指數(shù)為奇數(shù)還是偶數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)調(diào)用 square，為奇數(shù)就 (* b (exponent b (- n 1)))，這樣就可以減少接近一半的函數(shù)調(diào)用，時(shí)間復(fù)雜度為 O(log2 n)。
(define (fast-exponent b n)
(cond ((= n 0) 1)
((even? n) (square (fast-exponent b (/ n 2))))
(else (* b (fast-exponent b (- n 1))))))
(define (square x) (* x x))
高階函數(shù)：
在 lisp 中，函數(shù)可作為一個(gè)參數(shù)傳進(jìn)另一個(gè)函數(shù)里面，這樣的話(huà)我們就能實(shí)現(xiàn)一個(gè)更為抽象的函數(shù)（高階函數(shù)）。
例如一個(gè)我們實(shí)現(xiàn)一個(gè) sum 函數(shù)，讓它進(jìn)行從 a 到 b 的平方累加運(yùn)算：
(define (sum f a next b)
(if (> a b)
0
(+ (f a) (sum f (next a) next b))))
(define (normal-sum a b)
(sum
(lambda (x) (* x x))
a
(lambda (x) (+ x 1))
b))
然后，我們發(fā)現(xiàn)其實(shí)可以總結(jié)為一個(gè)更高階的函數(shù) accumulate，進(jìn)行任意地累次運(yùn)算。
(define (accumulate combiner null-value f a next b)
(if (> a b)
value
(combiner (f a) (sum f (next a) next b))))
(define (sum f a next b)
(accumulate + 0 f a next b))
返回函數(shù)
函數(shù)可作為一個(gè)返回值，當(dāng)我們返回一個(gè)函數(shù)時(shí)，這通常代表返回的函數(shù)派生自接受的函數(shù)。
(define (transform f) (lambda (y) (+ (f x) 1)))
(define num (transform (lambda (x) (* x x)) 4))
總結(jié)
sicp 的第一章主要講一個(gè)函數(shù)是怎樣從只適用于特定環(huán)節(jié)，到抽象成適用于類(lèi)似的通用情況。這一章用了很多的數(shù)學(xué)公式，從牛頓迭代法到微積分，sicp 利用了牛頓迭代法是微分的特殊情況，構(gòu)造了微分的方法，并從微分中派生出了牛頓迭代法，利用不定點(diǎn)根據(jù)牛頓迭代的函數(shù)進(jìn)行搜索，可以說(shuō)是抽象到了極致。我們?cè)趯?xiě)自己的程序時(shí)可以適當(dāng)考慮一下是否可以抽象，以及是否有必要抽象，要根據(jù)實(shí)際情況選擇抽象的等級(jí)。
