本書開篇就?以20世紀初，偉大數學家大衛·希爾伯特的發現：【有很多數學中的重要論點在結構上十分類似】道出了，大道至簡，結構當然相似，而且是從底層開始構建。
書中的概念，比如內積空間（大部分讀者會云里霧里），它由歐幾里得空間抽象而來，這是泛函分析討論的課題。至少我們都學過歐幾里得的平面幾何，即使忘記了也無妨，閱讀此書它會讓我們重溫歐幾里得四大公設，并理解了抽象思考的方法，假如讀者愿意跟隨本書的節奏，不僅可以掌握些許抽象思維的方法，并把通過對歐幾里得第五公設平行線的思考，衍生出對球面的思考，得出雙曲幾何、球面幾何的概念。從而由抽象思考形成抽象思維習慣后，能幫助自己從紛繁復雜的現象中迅速歸納出一個或者多個規律，并會由此心生歡喜。因為我們可以得到，在地球表面上，有一個各角均等于直角的等邊三角形。作者指出【“原則上”這個短語在這里被過度使用了，因為這樣的計算將會是極端復雜的，并且需要知道骰子的形狀、材料、初始速度、旋轉速度等更為精確的信息，而這般精確的信息在實際中是根本無法測出來的。】，是不是感覺到，如果我們在與人討論”看到都不一定是真實”這樣民間智慧的時候，可以幫助我們更智慧方式就是使用抽象思考得出規律，然后將具體情況再代入呢？是不是也可以理解了，凡事從公理出發，充分應用、遵循特定的“規則”，最后以有趣的數學陳述結束，那么這樣的陳述就可以當作定理接受，否則就不能被視為定理。是否覺的佛教理論的因果論也如是說呢？
科幻《三體》里一個概念“降維打擊”被眾人津津樂道。什么叫降維？又怎么升維？在數學中可以將其特征表述出來嗎？高維與低維的距離怎么算？假設已知二維面積，向三維擴大一倍，三維的為什么是二維的四倍？還有，為什么這個時候不用體積來做單位？其中的含義又如何？此書會一一給你到來，讀者只需拿著筆和數張草稿紙跟著計算即可。
通過閱讀此書，或者類似的書籍，我們也許可以開個腦洞，在數學中將求導高階函數，也是一種降維；也可以在與人的交流過程中，對方如果習慣使用陳述句，那么至少交流對象是一個對自己很負責任的人，因為作者引用了一個宣言【邏輯實證主義者的宣言：“陳述的意義就是其證實的方法。”如果你出于哲學方面的考慮，認為我的觀點令人生厭，那你不妨不要將它看作一個教條式的斷言，而是視為一種可供采納的態度。實際上，我希望表明的是，要想正確地理解更高等的數學，采納這種態度是至關重要的。】，理由是數學即使無法做到精確的時候，至少它不放棄，而采納一種誤差允許范圍內的近似；閱讀此書，它還可以幫助我們如何理解俗語說的“那只是一種理論，與實際脫節”的真正內涵是什么？原來，理論本來就是解決現實問題的，說這樣話的人并沒有對理論熟悉到能解決實際問題的能力，所以他要么想繞過去，要么想掩蓋自己的理論不扎實，或者羞于承認自己浪費了一些本可以不浪費的時間。
由于人類的心理作用，認為公理都是因為它的真實性，閱讀此書，我發現了【公理系統的主要問題并不是公理的真實性，而是公理的自洽性和有用性。】于是，我們對根號2具體是什么數字，為什么是無理數也就釋懷了。
閱讀此書，我覺的數學一直在踐行著科學精神中的質疑、探索、理性、實證四要素。啟發較大的是，數學思想在生活、工作中應用，就是提醒自己，不要考慮一步到位的完美解決方案，因為那樣有可能讓人一籌莫展，卻又很裝逼似得暗示自己，“我在追求完美”。
作者還提出“思維體操”這個概念，這個詞義表示需要數學需要基礎訓練，而且存在已知的高難度的動作，還有不可預知的難度。從這個概念出發，我們也理解了為什么有那么多人旗幟鮮明地厭惡數學？因為數學總是持續在自身的基礎上構建，所以學習時的步步跟進就顯得很重要。也理解了，如果對數學研究的艱難程度沒有一點概念，不了解要想做出重大的原創性工作，必須要花上數年的時間來充分發展知識和專長，也不知道數學是一項多么需要集體合作的活動。那么數學的確是令人望而卻步的。
