廣義線性混合模型（GLMM）

知識背景

廣義線性混合模型可以看做是廣義線性模型（GLM）以及線性混合模型(LMM)的擴展，為了更好地理解GLMM，肯定要對普通線性模型、廣義線性模型以及線性混合模型有個理解。

  • 普通線性模型長大概這個樣子（以只有一個因變量舉例）：
    y = \beta_0 +\beta_1 * x + ε 或
    Y=\mathbf X\beta + ε
    也就是固定效應+隨機誤差，且因變量必須要滿足正態性、獨立性以及方差齊性。

  • 廣義線性模型（GLM）可以長這個樣子：
    log(\frac{P(y=1)}{1-P(y=1)})=\beta_0 + \beta_1 * x_1+ ε
    也可以長這個樣子：log(y) = \beta_0 + \beta_1 * x_1+ ε...
    也就是對因變量y進行了變換，使得變換后的值適用普通線性回歸。而GLM之所以稱為“廣義”，關鍵就在于這種變換——連接函數（就是上邊兩個等式左邊那一堆），使得模型的應用范圍變得更寬，只要因變量服從指數分布就行；

  • 而線性混合模型（LMM）則形如（以矩陣形式表示）：
    Y = \mathbf X\beta + \mathbf Z \gamma + ε

相較普通線性模型，LMM其實就是多了隨機效應\mathbf Z \gamma而已。

如何劃分固定效應和隨機效應？
（1）固定效應的因子水平明確，在抽樣數據集中包含其所有類別，通常是在實驗中加以控制的因素，例如組別。
（2）隨機效應的因子水平不清晰，在抽樣數據集中并不包含該自變量的所有情況，通常是實驗中無法控制的因素，例如個體。

換句話說，以固定方式對因變量產生影響的因素為固定效應，相反，則為隨機效應。

  • 廣義線性混合模型

至此，GLMM應該就好理解了，其實就是在等式左側對因變量進行變換，在等式右側將固定效應與隨機效應進行結合。但公式寫起來蠻復雜，我就不列出來了。

示例

光說不練假把式，下面我們以縱向研究的宏基因組數據（分實驗組和對照組，且每一個個體在3個時間點采樣）為例來說明GLMM的具體應用：

假設你已經獲得了物種豐度結果taxa.raw，形如：

WX20201110-151431.png

以及樣本的各種信息sample.info，形如：

WX20201110-151645.png
  • 步驟1：多濾掉低豐度數據
#過濾掉物種豐度為0的樣本數過多的行
> filter.index <- apply(taxa.raw, 1, function(X){sum(X>0)>0.1*length(X)})
> taxa.filter <- taxa.raw[filter.index, ]
#確保樣本豐度和相加為100
> taxa.filter <- 100*sweep(taxa.filter, 2, colSums(taxa.filter), FUN="/")
> taxa.data <- as.data.frame(t(taxa.filter))
  • 步驟2：創建協變量矩陣

我們可以用如下代碼為group、time以及group和time的交互項創建協變量矩陣：

> reg.cov <- tibble::rownames_to_column(sample.info, var = 'Sample') %>% 
           dplyr::select(Sample, group, indID, time) %>% 
           dplyr::mutate(time = ifelse(time == 'w0', 0, ifelse(time == 'w2', 1, ifelse(time == 'w4', 2,NA)))) %>%  #創建時間變量代碼：w0是0，w2是1，w4是2；
           dplyr::mutate(group = ifelse(group == 'ck', 0, 1)) %>%  #創建分組變量代碼：ck組為0，A組為1
           dplyr::mutate(timeXgroup = time*group) %>%   #創建時間與分組交互代碼
           dplyr::mutate(indID = as.character(indID)) %>% 
           as.data.frame
#過濾掉采樣不全的個體數據
> ind.count <- table(reg.cov$indID)
> reg.cov <- subset(reg.cov, indID %in% names(ind.count)[ind.count == 3])

> head(reg.cov)
  Sample group indID time timeXgroup
1   FN3T     1  A2-1    1          1
2   FN40     0  D2-4    0          0
3   FN42     1  A1-4    1          1
4   FN44     1  A1-5    0          0
5   FN45     1  A2-3    1          1
7   FN49     0  D2-2    1          0
  • 步驟3：擬合模型

先將w0和w1+w2的數據分別取出備用:

> reg.cov.w0 <- subset(reg.cov, time == 0)
> rownames(reg.cov.w0) <- reg.cov.w0$indID
> head(reg.cov.w0)
     Sample group indID time timeXgroup
D2-4   FN40     0  D2-4    0          0
A1-5   FN44     1  A1-5    0          0
D2-5   FN4D     0  D2-5    0          0
D1-2   FN54     0  D1-2    0          0
A1-4   FN5J     1  A1-4    0          0
A2-4   FN60     1  A2-4    0          0

> reg.cov.w12 <- subset(reg.cov, time != 0)
> reg.cov.w12 <- na.omit(data.frame(baseline.sample = reg.cov.w0[reg.cov.w12$indID, 'Sample'],
                 baseline.subject = reg.cov.w0[reg.cov.w12$indID, 'indID'],
                 reg.cov.w12,
                 stringsAsFactors = F))
> head(reg.cov.w12)
  baseline.sample baseline.subject Sample group indID time timeXgroup
1            FN70             A2-1   FN3T     1  A2-1    1          1
3            FN5J             A1-4   FN42     1  A1-4    1          1
5            FN68             A2-3   FN45     1  A2-3    1          1
7            FN71             D2-2   FN49     0  D2-2    1          0
8            FN54             D1-2   FN4A     0  D1-2    2          0
9            FN6T             D1-5   FN4B     0  D1-5    1          0

然后單獨為每一個物種進行擬合（為了便于說明，此處我們僅以其中一個物種豐度舉例：

library(dplyr)
library(nlme)

> taxa.all <- colnames(taxa.data)
> p.taxa.list.lme <- list()
> spe <- taxa.all[9]
> spe
[1] "s__Bacteroides_vulgatus"

> X <- data.frame(Baseline = taxa.data[reg.cov.w12$baseline.sample, spe]/100,
                  reg.cov.w12[, c('time', 'group')])
> rownames(X) <- reg.cov.w12$Sample
> head(X)
         Baseline time group
FN3T 0.0004122127    1     1
FN42 0.0001939168    1     1
FN45 0.0026208886    1     1
FN49 0.0003091166    1     0
FN4A 0.0007188949    2     0
FN4B 0.0005986076    1     0

> Z <- X
> subject.ind <- reg.cov.w12$indID
> time.ind <- reg.cov.w12$time
> Y <- taxa.data[reg.cov.w12$Sample, spe]/100
> cat('Zeros/All',sum(Y==0),'/',length(Y),'\n')
Zeros/All 0 / 30 

#對Y進行變換（先開方在反正弦？）
> tdata <- data.frame(Y.tran = asin(sqrt(Y)), X, SID = subject.ind)
> head(tdata)
         Y.tran     Baseline time group  SID
FN3T 0.04531814 0.0004122127    1     1 A2-1
FN42 0.05269246 0.0001939168    1     1 A1-4
FN45 0.01527299 0.0026208886    1     1 A2-3
FN49 0.02599619 0.0003091166    1     0 D2-2
FN4A 0.01817293 0.0007188949    2     0 D1-2
FN4B 0.03147346 0.0005986076    1     0 D1-5
#進行擬合（以Baseline、time以及group為固定效應，以SID為隨機效應）
> lme.fit <- try(lme(Y.tran ~ Baseline + time + group, random = ~1|SID, data = tdata))

隨機效應的表達方式：
（1）1|SID：SID是隨機截距，Baseline、 time、group是固定斜率，也就是他們前面的參數是固定的；
（2）0 + time|SID：SID是固定截距，time是隨機斜率，Baseline和time是固定斜率;
（3）1 + time|SID：SID是隨機截距，time是隨機斜率，Baseline和time是固定斜率;

> summary(lme.fit)
...
Random effects:
 Formula: ~1 | SID
        (Intercept)    Residual
StdDev: 0.007468231 0.009009141

Fixed effects: Y.tran ~ Baseline + time + group 
                 Value Std.Error DF   t-value p-value
(Intercept)  0.0236327 0.0060813 14  3.886108  0.0016
Baseline    -1.2738533 1.3537572 12 -0.940976  0.3653
time         0.0023881 0.0032897 14  0.725932  0.4798
group        0.0016992 0.0053765 12  0.316037  0.7574
...

這樣我們就得到了每個自變量的參數，以及P值，后續我們再使用多重檢驗矯正就可以得到矯正后的P值了。

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