讓我們從一個禪宗公案——「巖頭之斧」開始：
“德山一日謂師（即巖頭——譯注）曰：“我這里有兩僧入山，住庵多時，汝去看他怎生。”師遂將一斧去，見兩人在庵內坐。師乃拈起斧曰：“道得也一下斧，道不得也一下斧。””
大意就是德山禪師讓巖頭去看看住庵里的兩個僧人，巖頭看到兩個僧人坐在庵內，舉起斧頭說：“你們回答我要砍你們一斧頭，你們不回答我還要砍你們一斧頭。”（附1：「巖頭之斧」的中文難以理解的話我在文末附了英文原文）
這句話與武俠小說中常說的“抬頭也是一刀，縮頭也是一刀”有異曲同工之妙。看來這個巖頭還頗有些江湖氣息。
可是為什么我們下意識地把“道得也一下斧，道不得也一下斧”與直接砍一斧頭等同呢？
1
命題演算證明「砍一斧」為真
我們在這里要用一點數學思想證明他們是等同的。
《GEB》第七章中介紹了命題演算的概念和規則，書中用24行推導出這個結論。（附2：具體命題演算系統的推導規則我會附在文末，有興趣的讀者可以對照理解）
把「回答」記為事件P，則「不回答」即為事件∽P（“∽”是否定的意思）；
把「砍一斧」記為事件Q；
「回答砍一斧」即為<P→Q>，「不回答砍一斧」即為<∽P→Q>；
則「回答砍一斧不回答砍一斧」的巖頭公理可以記作“＜＜P→Q＞∧＜～P→Q＞＞”。
我們將跟隨這24步，從“＜＜P→Q＞∧＜～P→Q＞＞”推導出事件Q，也就是「砍一斧」。（與文末的推導規則對照起來看其實不難，不要害怕數學的符號，其實數學的語言比中文簡單多了）
“
(1) ［ 推入
(2) ＜＜P→Q＞∧＜～P→Q＞＞ 巖頭公理
(2) ＜P→Q＞ 分隔
(4) ＜～Q→～P＞ 易位
(5) ＜～P→Q＞ 分隔
(6) ＜～Q→～～P＞ 易位
(7) ［ 再一次推入
(8) ～Q 前提
(9) ＜～Q→～P＞ 把第4行搬入
(10) ～P 分離
(11) ＜～Q→～～P＞ 把第6行搬入
(12) ～～P 分離（8和11行）
(13) ＜～P∧～～P＞ 聯結
(14) ～＜P∨～P＞ 德·摩根
(15) ］ 彈出一次
(16) ＜～Q→～＜P∨～P＞＞ 幻想規則
(17) ＜＜P∨～P＞→Q＞ 易位
(18) ［ 推入
(19) ～P 前提（也是結果！）
(20) ］ 彈出
(21) ＜～P→～P＞ 幻想規則
(22) ＜P∨～P＞ 思維陀螺
(23) Q 分離（22和17行）
(24) ］ 彈出”
在第23行，我們需要的Q出現了。
一件我們想當然的事，使用嚴謹的推導卻使用了24步，并且會讓很多人望而生畏。我不禁想：我們認為簡單的事其實不一定簡單，而我們認為復雜的事也不一定復雜。人的思維真是奇妙。
2
「巖頭之斧」的后續發展
言歸正傳，既然我們最后得出了事件Q，也就是「砍一斧」，看來兩位僧人都難逃厄運了。
不過，這件事之所以能成為公案，還得看后面的發展：
“二人殊不顧。師擲下斧曰：“作家！作家！”歸，舉似德山，山曰：“汝道他如何？”師曰：“洞山門下不道全無，若是德山門下，未夢見在。””
說人話就是：兩個人好像沒聽到一樣不理他的話。巖頭把斧扔下說：“這是修禪的人啊。”回去把情況告訴給了德山禪師，禪師問巖頭怎么看他們，巖頭回答說：“如果在洞山禪師的門下還可以，但在德山禪師的門下，他們還差得遠呢。”
對于修禪方式的評論我們不去管它，但是這兩個僧人應對這一斧頭的方法很巧妙。回答的前提是聽見某句話了，如果沒聽見，那就無所謂回不回答了，也就自然不會受那一斧。（附3：想要了解禪宗背景的可以參考我附的網友評論）
不過，我們還有另一種方法避過那一斧——否定邏輯推理。
3
無限循環的三段式推理
讓我扮演其中一個人回答巖頭的話。
我：你這待客之道太殘暴了。
巖頭：你回答我了，我要砍你一斧。
我：我是回答你了，但我不覺得我應該被砍頭。
巖頭：我之前是不是說過「回答砍一斧」了？
我：是的。
巖頭：你是不是「回答」了？
我：是的。
巖頭：那你就該被我砍。
我：你是說我必須認為：
** 一、「回答砍一斧」是真的**
** 二、「回答」是真的**
** 一百、「砍一斧」是真的**
巖頭：就是這樣，我要砍你了。
我：等一下，我得記一下，你是要我相信：
** 三、如果一、二是真的，一百就是真的**
巖頭：就是這樣，我要砍你了。
我：那現在就是這樣了：
一、「回答砍一斧」是真的
** 二、「回答」是真的**
** 三、如果一、二是真的，一百就是真的**
** 一百、「砍一斧」是真的**
我：那我還得相信：
** 四、如果一、二、三是真的，一百就是真的**
我：是嗎？
巖頭：就是這樣，我要砍你了。
我：等一下，這樣我還需要相信：
** 五、如果一、二、三、四是真的，一百就是真的**
巖頭：就是這樣，我要……
（這段對話改編自劉易斯·卡羅爾，“烏龜說給阿基里斯的話”）
這樣下去，巖頭永遠也無法砍下那一斧。我們所信奉的亞里士多德的三段論在這里好像失去了能量。
看來一個徹底的“懷疑論者”是駁不倒的，用《GEB》中的話說：
“你無法永遠維護你的推理模式。到了一定的地步，就只有靠信仰了。”
4
附言：
《GEB》七、八兩章幾乎全部是數學相關的內容，我盡量把其中和數學不太相關的地方拿出來和大家分享。
但是命題演算系統是《GEB》第七章最重要的概念，我絕不可能跳過不提。所以只能以簡短的篇幅和附錄的形式介紹這個系統。
強烈建議你去閱讀原書來理解命題演算系統，只要肯靜下心來思考，對命題演算的理解只需要相當基礎的數學思維，且對初高中所學的數學知識毫無要求。
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附1：「巖頭之斧」的英文原文
One day Tokusan told his student Ganto, “I have two monks who have been here for many years. Go and examine them.” Ganto picked up an ax and went to the hut where the two monks were meditating. He raised the ax, saying “If you say a word, I will cut off your heads; and if you do not say a word, I will also cut off your heads.”
Both monks continued their meditation as if he had not spoken. Ganto dropped the ax and said, "You are true Zen students." He returned to Tokusan and related the incident. "I see your side well," Tokusan agreed, "but tell me, how is their side?" "T?zan may admit them," replied Ganto, "but they should not be admitted under Tokusan."
6
附2：命題推理系統符號表、形成規則和推導規則
符號表：
＜ ＞
P Q R ’
∧ ∨ → ～
［］
形成規則：如果x和y都是良構的，那么以下的四種串也都是良構的：
⑴ ～x
⑵ ＜x∧y＞
⑶ ＜x∨y＞
⑷ ＜x→y＞”
聯結規則：如果x和y是定理，那么＜x∧y＞是個定理。
分隔規則：如果＜x∧y＞是個定理，那么x和y二者都是定理。
雙彎號規則：“～～”這個串可以從任何定理中刪除。它也可以嵌入到任何定理中去，只要所得的結果本身是良構串。
幻想規則：如果假定x是一個定理時能推導出y來，那么＜x→y＞是個定理。
搬入規則：在一個幻想里邊，任何來自于“現實性”高一個層次的定理都可以拿進并使用。
分離規則：如果x和＜x→y＞二者都是定理，那么y是個定理。
易位規則：＜x→y＞與＜～y→～x＞是可互換的。
德·摩根規則：＜～x∧～y＞與～＜x∨y＞是可互換的。
思維陀螺規則：＜x∨y＞與＜～x→y＞是可互換的。
7
附3：網友評「巖頭之斧」公案
庵居坐禪本是洞山一系的門風，石霜有枯木眾，后世倡默照禪，豈是虛然！德山令巖頭評價二人，巖頭言道，若是洞山門下，不能說全無可取，若是德山門下，則尚未夢見，差得很遠。巖頭不是說二人境界不及，而是怪他們投錯了地方，若是洞山門下，定力深厚，堪稱作家，而在德山門下，如此枯坐，驢年難悟！洞山門下有修有證，坐禪便是功夫；德山門下無修無證，宴坐即是執著。巖頭并非有意貶低洞山，而是表明二宗門風不同。
