博弈論算法學習記錄

學習資料

• 總結
• 巴什博奕
• 威佐夫博弈
• 尼姆博弈
• 博弈問題與SG值

巴什博奕（Bash Game）

博弈原題

最簡單的巴什博奕題大概就是搶三十了，兩個人分別報數，每人一次可以報1~4個數，先報數到30的人贏。

這個游戲是典型的后手必勝游戲。首先，當一個人報數到了25，那么他必然會贏，因為不論下一個人報數多少，他都能湊足30。既然25 -> 30是這樣，那么20 -> 25也是這樣，凡是報數到20的人下一回合都能報數到25。以此類推，我們發現，后手必然能夠報數到5，然后是10，15，20，25。

這樣就得到了是后手必勝。

博弈原理

我們分析一下其中的原理，為什么是5？因為 $5=4+1$ 。那么我們就得到了巴什博奕完善的表達形式：

有一堆n個石子，兩人在自己的回合可以任意取1~m個石子，先取完者勝。那么如果 $n=k\times(m+1)$ ，后手必勝，否則先手必勝。

威佐夫博弈（Wythoff Game）

博弈原理

有兩堆石子，兩人可以在自己的回合取某一堆中任意數量的石子，也可以同時從兩堆中任意取相同數量的石子，先取完者勝。

推導過程看不懂。但大體過程是這樣的：

用(a, b)表示兩堆石子數目，第一必敗態毋庸置疑是(0, 0)；第二必敗態是(1, 2)，因為先手無論如何取，后手下一步都能取完所有石子。

然后是第三必敗態(3, 5)，因為無論先手如何取，后手都能走到下一個必勝態。以此類推可以得到：

觀察樣例，很難得出結論，但是樣例數很多之后我們發現了其中的規律：

$$
a = \frac{\sqrt{5}+1}{2}\times (b-a)
$$

博弈應用

判斷先\后手輸贏

很好解決，直接判斷a，b就可以了。

求先手輸贏，輸出第一次取法

先考慮兩堆同時取，這樣差值是不變的。如果只能取一堆，那么枚舉差值即可。

尼姆博奕（Nimm Game）

博弈原題

有三堆石子，兩人可以在自己的回合取某一堆中任意數量的石子，先取完者勝。

我們依然用(a, b, c)表示當前狀態。首先我們知道(0, 0, 0)是必敗態。第二種必敗態是(0, n, n)，這種狀態，無論先手那多少，后手都可以從另一堆中拿同樣數量。

然后直接給出規律吧……完全看不出來的。

必敗態的充要條件是a ^ b ^ c = 0。

博弈推廣

現在有n堆石子，其他規則不變。這樣的博弈依然服從尼姆博弈的規律。

我們把滿足所有值的異或值是0的狀態稱為平衡狀態，平衡狀態為必敗態。并且平衡狀態只能轉化為非平衡狀態，非平衡狀態可以轉化為平衡狀態。

那么我們把博弈規則改一改，改為先取完者負。

這樣初看很復雜，但是實際依然存在規律。首先依然按照尼姆博弈的規律取，直到有某一堆物品數量大于1，其他堆全部為1的狀態，將這堆取空或者取為1，使數量為1的堆的數目變為奇數即可。因為操作需要滿足平衡狀態，所以不會面對這種情況，這樣就可以判斷勝負了。

例題（HDU 1850）

思路

求尼姆博弈先手是否能勝，如果能，第一步有幾種走法。

思路很簡單，只要看當前是否是非平衡狀態，下一步哪個堆可以轉化為平衡狀態即可。

代碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    int n, num[100+7];
    while (scanf("%d", &n), n) {
        int sum = 0, cnt = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            scanf("%d", num+i);
            sum ^= num[i];
        }
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            if (num[i] > (sum^num[i])) ++cnt;
        printf("%d\n", cnt);
    }
    return 0;
}

反尼姆博奕例題（HDU 1905）

思路

與正常的尼姆博弈幾乎相同，只是要特判奇數個1和偶數個1的情況。

代碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, num[50];

void solve() {
    int sum = 0, odd = 0, even = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        scanf("%d", num+i);
        sum ^= num[i];
        num[i] < 2 ? ++odd : ++even;
    }
    if ((sum && even) || (!sum && !even)) puts("John");
    else puts("Brother");
}

int main(){
    int t; scanf("%d", &t);
    while (t--) solve();
    return 0;
}