有一種很有意思的游戲，就是有物體若干堆，可以是火柴棍或是圍棋子等等均可。兩個人輪流從堆中取物體若干，規定最后取光物體者取勝。這是我國民間很古老的一個游戲，別看這游戲極其簡單，卻蘊含著深刻的數學原理。下面我們來分析一下要如何才能夠取勝。

（一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物，規定每次至少取一個，最多取m個。最后取光者得勝。
顯然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m個，所以，無論先取者拿走多少個，后取者都能夠一次拿走剩余的物品，后者取勝。因此我們發現了如何取勝的法則：如果 n=（m+1）r+s，（r為任意自然數，s≤m),那么先取者要拿走s個物品，如果后取者拿走 k（≤m)個，那么先取者再拿走m+1-k個，結果剩下（m+1）（r-1）個，以后保持這樣的取法，那么先取者肯定獲勝。總之，要保持給對手留下（m+1）的倍數，就能最后獲勝。
這個游戲還可以有一種變相的玩法：兩個人輪流報數，每次至少報一個，最多報十個，誰能報到100者勝。

（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，最后取光者得勝。 這種情況下是頗為復雜的。
我們用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示兩堆物品的數量并稱其為局勢，如果甲面對（0，0），那么甲已經輸了，這種局勢我們稱為奇異局勢。前幾個奇異局勢是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6， 10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現過的最小自然數,而 bk= ak + k，奇異局勢有如下三條性質：
1、任何自然數都包含在一個且僅有一個奇異局勢中。 由于ak是未在前面出現過的最小自然數，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak -1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性質1。成立。
2、任意操作都可將奇異局勢變為非奇異局勢。 事實上，若只改變奇異局勢（ak，bk）的某一個分量，那么另一個分量不可能在其他奇異局勢中，所以必然是非奇異局勢。如果使（ak，bk）的兩個分量同時減少，則由于其差不變，且不可能是其他奇異局勢的差，因此也是非奇異局勢。
3、采用適當的方法，可以將非奇異局勢變為奇異局勢。
假設面對的局勢是（a,b），若 b = a，則同時從兩堆中取走 a 個物體，就變為了奇異局勢（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b - bk個物體，即變為奇異局勢；如果 a = ak ， b < bk ,則同時從兩堆中拿走 ak - ab - ak個物體,變為奇異局勢（ ab - ak , ab - ak+ b - ak）；如果a > ak ，b= ak + k,則從第一堆中拿走多余的數量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分兩種情況，第一種，a=aj （j < k） ,從第二堆里面拿走 b - bj 即可；第二種，a=bj （j < k）,從第二堆里面拿走 b - a j 即可。
從如上性質可知，兩個人如果都采用正確操作，那么面對非奇異局勢，先拿者必勝；反之，則后拿者取勝。 那么任給一個局勢（a，b），怎樣判斷它是不是奇異局勢呢？我們有如下公式： ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...,n 方括號表示取整函數) 奇妙的是其中出現了黃金分割數（1+√5）/2 = 1。618...,因此,由ak，bk組成的矩形近似為黃金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[ j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1 + j + 1，若都不是，那么就不是奇異局勢。然后再按照上述法則進行，一定會遇到奇異局勢。
（三）尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，最后取光者得勝。
這種情況最有意思，它與二進制有密切關系，我們用（a，b，c）表示某種局勢，首先（0，0，0）顯然是奇異局勢，無論誰面對奇異局勢，都必然失敗。第二種奇異局勢是（0，n，n），只要與對手拿走一樣多的物品，最后都將導致（0，0，0）。仔細分析一下，（1，2，3）也是奇異局勢，無論對手如何拿，接下來都可以變為（0，n，n）的情形。
計算機算法里面有一種叫做按位模2加，也叫做異或的運算，我們用符號（+）表示這種運算。這種運算和一般加法不同的一點是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2加的結果：
1 =二進制01
2 =二進制10
3 =二進制11 （+）
———————
0 =二進制00 （注意不進位）
對于奇異局勢（0，n，n）也一樣，結果也是0。 任何奇異局勢（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。
如果我們面對的是一個非奇異局勢（a，b，c），要如何變為奇異局勢呢？假設 a < b < c,我們只要將 c 變為 a（+）b,即可,因為有如下的運算結果: a（+）b（+）(a（+） b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要將c 變為a（+）b，只要從 c中減去 c-（ a（+）b）即可。
例1。（14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，所以從39中拿走12個物體即可達到奇異局勢（14，21，27）。
例2。（55，81，121），55（+）81=102，121-102=19，所以從121中拿走19個物品就形成了奇異局勢（55，81，102）。
例3。（29，45，58），29（+）45=48，58-48=10，從58中拿走10個，變為（29，4 5，48）。
例4。我們來實際進行一盤比賽看看：
甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇異局勢
乙:(1,8,9)->(1,8,4)
甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇異局勢
乙:(1,5,4)->(1,4,4)
甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇異局勢
乙:(0,4,4)->(0,4,2)
甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇異局勢
乙:(0,2,2)->(0,2,1)
甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇異局勢
乙:(0,1,1)->(0,1,0)
甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇異局勢
甲勝。
（四）Fibonacci博弈：
1、問題模型：
有一堆個數為n的石子，游戲雙方輪流取石子，滿足：
（1）先手不能在第一次把所有的石子取完；
（2）之后每次可以取的石子數介于1到對手剛取的石子數的2倍之間（包含1和對手剛取的石子數的2倍）。 約定取走最后一個石子的人為贏家。
2、解決思路：
當n為Fibonacci數時，先手必敗。即存在先手的必敗態當且僅當石頭個數為Fibonacci數。
證明：根據“Zeckendorf定理”（齊肯多夫定理）：任何正整數可以表示為若干個不連續的Fibonacci數之和。如n=83 = 55+21+5+2，我們看看這個分解有什么指導意義：假如先手取2顆，那么后手無法取5顆或更多，而5是一個Fibonacci數，那么一定是先手取走這5顆石子中的最后一顆，同理，接下去先手取走接下來的后21顆中的最后一顆，再取走后55顆中的最后一顆，那么先手贏。
反證：如果n是Fibonacci數，如n=89：記先手一開始所取的石子數為y
（1）若y>=34顆（也就是89的向前兩項），那么一定后手贏，因為89-34=55=34+21<2*34。
（2）y<34時剩下的石子數x介于55到89之間，它一定不是一個Fibonacci數，把x分解成Fibonacci數：x=55+f[i]+…+f[j]，若，如果f[j]<=2y，那么對B就是面臨x局面的先手，所以根據之前的分析，后手只要先取f[j]個即可，以后再按之前的分析就可保證必勝。
3、練習題目：NYOJ 取石子游戲