圖論中最有名的問題可能就屬最短路徑了。最短路徑問題要求解的是：如果從圖中某一頂點(diǎn)（稱為源點(diǎn)）到達(dá)另一頂點(diǎn)（稱為終點(diǎn)）的路徑可能不止一條，如何找到一條路徑，使得沿此路徑各邊上的權(quán)值總和（即從源點(diǎn)到終點(diǎn)的距離）達(dá)到最小，這條路徑稱為最短路徑（shortestpath）。最短路徑有很多特殊的情況，包括有向圖還是無向圖，有沒有負(fù)權(quán)邊等。這幾天我想介紹一下幾種常用的最短路徑算法。今天先講情況最簡(jiǎn)單（有向圖，沒有負(fù)權(quán)邊），但也是最有名Dijkstra算法。

首先描述一下問題：給定一個(gè)有向圖G和源點(diǎn)v，求v0到G中某個(gè)頂點(diǎn)u的最短路徑。限定各邊上的權(quán)值大于或等于0。

算法的基本思想很簡(jiǎn)單：所有的頂點(diǎn)，按照它到源點(diǎn)v的距離，客觀上存在一個(gè)從小到大的順序，我們只要按照這個(gè)順序找下去，總有一步會(huì)找到目標(biāo)頂點(diǎn)u，而此時(shí)的距離就是u到源點(diǎn)v的距離。

想法簡(jiǎn)單，但關(guān)鍵是怎么按照“客觀存在的大小順序”計(jì)算各點(diǎn)到源點(diǎn)v的距離呢？我們先簡(jiǎn)單思考一下，按照距離v的遠(yuǎn)近順序，v一定是排第一的，然后呢，排第二的一定是和v直接相連的點(diǎn)吧，否則總有一個(gè)點(diǎn)介于排第二的點(diǎn)和v之間，而它到v的距離肯定也比第二到v的距離近，那這個(gè)第二就有些名副其實(shí)了。比較麻煩的是，排第三的點(diǎn)在哪里？利用遞歸的想法就會(huì)發(fā)現(xiàn)，排第三的點(diǎn)應(yīng)該從那些和v直接相連，或者和第二名直接相連的點(diǎn)中去尋找，否則第三名就會(huì)名副其實(shí)了。總結(jié)一下，需要找第n個(gè)點(diǎn)時(shí)，只需要在那些和前n-1個(gè)點(diǎn)直接相連的點(diǎn)里面找就行了。

Dijkstra算法的具體實(shí)現(xiàn)方法為：

1.設(shè)置兩個(gè)頂點(diǎn)的集合T和S：

a) S中存放已找到最短路徑的頂點(diǎn)，初始時(shí)，集合S中只有一個(gè)頂點(diǎn)，即源點(diǎn)v0；

b) T中存放當(dāng)前還未找到最短路徑的頂點(diǎn)；

2.在T集合中選取當(dāng)前長(zhǎng)度最短的一條最短路徑(v0,…,vk)，從而將vk加入到頂點(diǎn)集合S中，并修改源點(diǎn)v0到T中各頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度；重復(fù)這一步驟，直到所有的頂點(diǎn)都加入到集合S中，算法就結(jié)束了。

下面給個(gè)用Dijkstra計(jì)算最短路徑的例子

1)首先求出長(zhǎng)度最短的一條最短路徑，即頂點(diǎn)0到頂點(diǎn)2的最短路徑，其長(zhǎng)度為5，其實(shí)就是頂點(diǎn)0到其他各頂點(diǎn)的直接路徑中最短的路徑(v0→v2)。

2)頂點(diǎn)2的最短路徑求出來以后，頂點(diǎn)0到其他各頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度有可能要改變。例如從頂點(diǎn)0到頂點(diǎn)1的最短路徑長(zhǎng)度由∞縮短為20，從頂點(diǎn)0到頂點(diǎn)5的最短路徑長(zhǎng)度也由∞縮短為12。這樣長(zhǎng)度次短的最短路徑長(zhǎng)度就是在還未確定最終的最短路徑長(zhǎng)度的頂點(diǎn)中選擇最小的，即頂點(diǎn)0到頂點(diǎn)5的最短路徑長(zhǎng)度，為12，其路徑為(v0→v2→v5)。

3)頂點(diǎn)5的最短路徑求出來以后，頂點(diǎn)0到其他各頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度有可能要改變。例如從頂點(diǎn)0到頂點(diǎn)3的最短路徑長(zhǎng)度由30縮短為22，從頂點(diǎn)0到頂點(diǎn)4的最短路徑長(zhǎng)度也由∞縮短為30。這樣長(zhǎng)度第三短的最短路徑長(zhǎng)度就是在還未確定最終的最短路徑長(zhǎng)度的頂點(diǎn)中選擇最小的，即頂點(diǎn)0到頂點(diǎn)1的最短路徑長(zhǎng)度，為20，其路徑為(v0→v2→v1)。

4)此后再依次確定頂點(diǎn)0到頂點(diǎn)3的最短路徑(v0→v2→v5→v3)，其長(zhǎng)度為22；以及頂點(diǎn)0到頂點(diǎn)4的最短路徑(v0→v2→v1→v4)，其長(zhǎng)度為28。