1736年，瑞士數(shù)學家Euler（歐拉）在他的一篇論文中討論了格尼斯七橋問題，由此誕生了一個全新的數(shù)學分支——圖論（Graph Theory），在經(jīng)歷了200多年的發(fā)展之后，圖論已經(jīng)積累了大量的理論和結果，其應用理論也逐步擴大。
一、最短路徑
Dijkstra算法
1、基本思想
如果v0至u的最短路徑經(jīng)過v1，那么v0到v1的路徑也是v0到v1的最短路徑。
按路徑長度的遞增次序，逐步產(chǎn)生最短路徑。
Dijkstra算法的本質是貪心算法。
2、步驟
（1）首先求出v0為源點長度最短的一條最短路徑，即具有最小權的邊< v0，v>。
（2）求出源點到各個頂點下一個最短路徑：設其終點是u，則v0到u的最短路徑或者是邊< v0，u>，或者由一條已求得的最短路徑（v0，v）和邊<v，u>構成。
（3）重復2直到從頂點v0到其他各個頂點的最短路徑全部求出為止。
3、算法圖解
操作步驟：
(1) 初始時，S只包含起點s；U包含除s外的其他頂點，且U中頂點的距離為"起點s到該頂點的距離"（例如，U中頂點v的距離為(s,v)的長度，然后s和v不相鄰，則v的距離為∞）。
(2) 從U中選出"距離最短的頂點k"，并將頂點k加入到S中；同時，從U中移除頂點k。
(3) 更新U中各個頂點到起點s的距離。之所以更新U中頂點的距離，是由于上一步中確定了k是求出最短路徑的頂點，從而可以利用k來更新其它頂點的距離；例如，(s,v)的距離可能大于(s,k)+(k,v)的距離。
(4) 重復步驟(2)和(3)，直到遍歷完所有頂點。
單純的看上面的理論可能比較難以理解，下面通過實例來對該算法進行說明。
以上圖G4為例，來對迪杰斯特拉進行算法演示(以第4個頂點D為起點)。
第1步：將頂點D加入到S中。
此時，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。 注:C(3)表示C到起點D的距離是3。
第2步：將頂點C加入到S中。
上一步操作之后，U中頂點C到起點D的距離最短；因此，將C加入到S中，同時更新U中頂點的距離。以頂點F為例，之前F到D的距離為∞；但是將C加入到S之后，F(xiàn)到D的距離為9=(F,C)+(C,D)。
此時，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。
第3步：將頂點E加入到S中。
上一步操作之后，U中頂點E到起點D的距離最短；因此，將E加入到S中，同時更新U中頂點的距離。還是以頂點F為例，之前F到D的距離為9；但是將E加入到S之后，F(xiàn)到D的距離為6=(F,E)+(E,D)。
此時，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。
第4步：將頂點F加入到S中。
此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。
第5步：將頂點G加入到S中。
此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。
第6步：將頂點B加入到S中。
此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。
第7步：將頂點A加入到S中。
此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。
此時，起點D到各個頂點的最短距離就計算出來了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。
代碼說明：
以"鄰接矩陣"為例對迪杰斯特拉算法進行說明，對于"鄰接表"實現(xiàn)的圖在后面會給出相應的源碼。
- 基本定義：
class MatrixUDG {
#define MAX 100
#define INF (~(0x1<<31)) // 無窮大(即0X7FFFFFFF)
private:
char mVexs[MAX]; // 頂點集合
int mVexNum; // 頂點數(shù)
int mEdgNum; // 邊數(shù)
int mMatrix[MAX][MAX]; // 鄰接矩陣
public:
// 創(chuàng)建圖(自己輸入數(shù)據(jù))
MatrixUDG();
// 創(chuàng)建圖(用已提供的矩陣)
//MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);
MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]);
~MatrixUDG();
// 深度優(yōu)先搜索遍歷圖
void DFS();
// 廣度優(yōu)先搜索（類似于樹的層次遍歷）
void BFS();
// prim最小生成樹(從start開始生成最小生成樹)
void prim(int start);
// 克魯斯卡爾（Kruskal)最小生成樹
void kruskal();
// Dijkstra最短路徑
void dijkstra(int vs, int vexs[], int dist[]);
// 打印矩陣隊列圖
void print();
private:
// 讀取一個輸入字符
char readChar();
// 返回ch在mMatrix矩陣中的位置
int getPosition(char ch);
// 返回頂點v的第一個鄰接頂點的索引，失敗則返回-1
int firstVertex(int v);
// 返回頂點v相對于w的下一個鄰接頂點的索引，失敗則返回-1
int nextVertex(int v, int w);
// 深度優(yōu)先搜索遍歷圖的遞歸實現(xiàn)
void DFS(int i, int *visited);
// 獲取圖中的邊
EData* getEdges();
// 對邊按照權值大小進行排序(由小到大)
void sortEdges(EData* edges, int elen);
// 獲取i的終點
int getEnd(int vends[], int i);
};
MatrixUDG是鄰接矩陣對應的結構體。
mVexs用于保存頂點，mVexNum是頂點數(shù)，mEdgNum是邊數(shù)；mMatrix則是用于保存矩陣信息的二維數(shù)組。例如，mMatrix[i][j]=1，則表示"頂點i(即mVexs[i])"和"頂點j(即mVexs[j])"是鄰接點；mMatrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。
- Dijkstra算法
/*
* Dijkstra最短路徑。
* 即，統(tǒng)計圖中"頂點vs"到其它各個頂點的最短路徑。
*
* 參數(shù)說明：
* vs -- 起始頂點(start vertex)。即計算"頂點vs"到其它頂點的最短路徑。
* prev -- 前驅頂點數(shù)組。即，prev[i]的值是"頂點vs"到"頂點i"的最短路徑所經(jīng)歷的全部頂點中，位于"頂點i"之前的那個頂點。
* dist -- 長度數(shù)組。即，dist[i]是"頂點vs"到"頂點i"的最短路徑的長度。
*/
void MatrixUDG::dijkstra(int vs, int prev[], int dist[])
{
int i,j,k;
int min;
int tmp;
int flag[MAX]; // flag[i]=1表示"頂點vs"到"頂點i"的最短路徑已成功獲取。
// 初始化
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
{
flag[i] = 0; // 頂點i的最短路徑還沒獲取到。
prev[i] = 0; // 頂點i的前驅頂點為0。
dist[i] = mMatrix[vs][i]; // 頂點i的最短路徑為"頂點vs"到"頂點i"的權。
}
// 對"頂點vs"自身進行初始化
flag[vs] = 1;
dist[vs] = 0;
// 遍歷mVexNum-1次；每次找出一個頂點的最短路徑。
for (i = 1; i < mVexNum; i++)
{
// 尋找當前最小的路徑；
// 即，在未獲取最短路徑的頂點中，找到離vs最近的頂點(k)。
min = INF;
for (j = 0; j < mVexNum; j++)
{
if (flag[j]==0 && dist[j]<min)
{
min = dist[j];
k = j;
}
}
// 標記"頂點k"為已經(jīng)獲取到最短路徑
flag[k] = 1;
// 修正當前最短路徑和前驅頂點
// 即，當已經(jīng)"頂點k的最短路徑"之后，更新"未獲取最短路徑的頂點的最短路徑和前驅頂點"。
for (j = 0; j < mVexNum; j++)
{
tmp = (mMatrix[k][j]==INF ? INF : (min + mMatrix[k][j]));
if (flag[j] == 0 && (tmp < dist[j]) )
{
dist[j] = tmp;
prev[j] = k;
}
}
}
// 打印dijkstra最短路徑的結果
cout << "dijkstra(" << mVexs[vs] << "): " << endl;
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
cout << " shortest(" << mVexs[vs] << ", " << mVexs[i] << ")=" << dist[i] << endl;
}
迪杰斯特拉算法的源碼
這里分別給出"鄰接矩陣圖"和"鄰接表圖"的迪杰斯特拉算法源碼。
1. 鄰接矩陣源碼(MatrixUDG.cpp)
2. 鄰接表源碼(ListUDG.cpp)
