1736年，瑞士數(shù)學(xué)家Euler（歐拉）在他的一篇論文中討論了格尼斯七橋問題，由此誕生了一個(gè)全新的數(shù)學(xué)分支——圖論（Graph Theory），在經(jīng)歷了200多年的發(fā)展之后，圖論已經(jīng)積累了大量的理論和結(jié)果，其應(yīng)用理論也逐步擴(kuò)大。
一、最短路徑

Dijkstra算法

1、基本思想
如果v₀至u的最短路徑經(jīng)過v₁，那么v₀到v₁的路徑也是v₀到v₁的最短路徑。
按路徑長(zhǎng)度的遞增次序，逐步產(chǎn)生最短路徑。
Dijkstra算法的本質(zhì)是貪心算法。
2、步驟
（1）首先求出v₀為源點(diǎn)長(zhǎng)度最短的一條最短路徑，即具有最小權(quán)的邊< v₀，v>。
（2）求出源點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)下一個(gè)最短路徑：設(shè)其終點(diǎn)是u，則v₀到u的最短路徑或者是邊< v₀，u>，或者由一條已求得的最短路徑（v₀，v）和邊<v，u>構(gòu)成。
（3）重復(fù)2直到從頂點(diǎn)v0到其他各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑全部求出為止。
3、算法圖解
操作步驟：
(1) 初始時(shí)，S只包含起點(diǎn)s；U包含除s外的其他頂點(diǎn)，且U中頂點(diǎn)的距離為"起點(diǎn)s到該頂點(diǎn)的距離"（例如，U中頂點(diǎn)v的距離為(s,v)的長(zhǎng)度，然后s和v不相鄰，則v的距離為∞）。
(2) 從U中選出"距離最短的頂點(diǎn)k"，并將頂點(diǎn)k加入到S中；同時(shí)，從U中移除頂點(diǎn)k。
(3) 更新U中各個(gè)頂點(diǎn)到起點(diǎn)s的距離。之所以更新U中頂點(diǎn)的距離，是由于上一步中確定了k是求出最短路徑的頂點(diǎn)，從而可以利用k來更新其它頂點(diǎn)的距離；例如，(s,v)的距離可能大于(s,k)+(k,v)的距離。
(4) 重復(fù)步驟(2)和(3)，直到遍歷完所有頂點(diǎn)。

單純的看上面的理論可能比較難以理解，下面通過實(shí)例來對(duì)該算法進(jìn)行說明。

01.jpg

以上圖G4為例，來對(duì)迪杰斯特拉進(jìn)行算法演示(以第4個(gè)頂點(diǎn)D為起點(diǎn))。

02.jpg

此時(shí)，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。 注:C(3)表示C到起點(diǎn)D的距離是3。

第2步：將頂點(diǎn)C加入到S中。
上一步操作之后，U中頂點(diǎn)C到起點(diǎn)D的距離最短；因此，將C加入到S中，同時(shí)更新U中頂點(diǎn)的距離。以頂點(diǎn)F為例，之前F到D的距離為∞；但是將C加入到S之后，F(xiàn)到D的距離為9=(F,C)+(C,D)。
此時(shí)，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。

第3步：將頂點(diǎn)E加入到S中。
上一步操作之后，U中頂點(diǎn)E到起點(diǎn)D的距離最短；因此，將E加入到S中，同時(shí)更新U中頂點(diǎn)的距離。還是以頂點(diǎn)F為例，之前F到D的距離為9；但是將E加入到S之后，F(xiàn)到D的距離為6=(F,E)+(E,D)。
此時(shí)，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。

第4步：將頂點(diǎn)F加入到S中。
此時(shí)，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。

第5步：將頂點(diǎn)G加入到S中。
此時(shí)，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。

第6步：將頂點(diǎn)B加入到S中。
此時(shí)，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。

第7步：將頂點(diǎn)A加入到S中。
此時(shí)，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。

此時(shí)，起點(diǎn)D到各個(gè)頂點(diǎn)的最短距離就計(jì)算出來了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。
代碼說明：
以"鄰接矩陣"為例對(duì)迪杰斯特拉算法進(jìn)行說明，對(duì)于"鄰接表"實(shí)現(xiàn)的圖在后面會(huì)給出相應(yīng)的源碼。

• 基本定義：

class MatrixUDG {
    #define MAX    100
    #define INF    (~(0x1<<31))        // 無窮大(即0X7FFFFFFF)
    private:
        char mVexs[MAX];    // 頂點(diǎn)集合
        int mVexNum;             // 頂點(diǎn)數(shù)
        int mEdgNum;             // 邊數(shù)
        int mMatrix[MAX][MAX];   // 鄰接矩陣

    public:
        // 創(chuàng)建圖(自己輸入數(shù)據(jù))
        MatrixUDG();
        // 創(chuàng)建圖(用已提供的矩陣)
        //MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);
        MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]);
        ~MatrixUDG();

        // 深度優(yōu)先搜索遍歷圖
        void DFS();
        // 廣度優(yōu)先搜索（類似于樹的層次遍歷）
        void BFS();
        // prim最小生成樹(從start開始生成最小生成樹)
        void prim(int start);
        // 克魯斯卡爾（Kruskal)最小生成樹
        void kruskal();
        // Dijkstra最短路徑
        void dijkstra(int vs, int vexs[], int dist[]);
        // 打印矩陣隊(duì)列圖
        void print();

    private:
        // 讀取一個(gè)輸入字符
        char readChar();
        // 返回ch在mMatrix矩陣中的位置
        int getPosition(char ch);
        // 返回頂點(diǎn)v的第一個(gè)鄰接頂點(diǎn)的索引，失敗則返回-1
        int firstVertex(int v);
        // 返回頂點(diǎn)v相對(duì)于w的下一個(gè)鄰接頂點(diǎn)的索引，失敗則返回-1
        int nextVertex(int v, int w);
        // 深度優(yōu)先搜索遍歷圖的遞歸實(shí)現(xiàn)
        void DFS(int i, int *visited);
        // 獲取圖中的邊
        EData* getEdges();
        // 對(duì)邊按照權(quán)值大小進(jìn)行排序(由小到大)
        void sortEdges(EData* edges, int elen);
        // 獲取i的終點(diǎn)
        int getEnd(int vends[], int i);
};

MatrixUDG是鄰接矩陣對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)體。
mVexs用于保存頂點(diǎn)，mVexNum是頂點(diǎn)數(shù)，mEdgNum是邊數(shù)；mMatrix則是用于保存矩陣信息的二維數(shù)組。例如，mMatrix[i][j]=1，則表示"頂點(diǎn)i(即mVexs[i])"和"頂點(diǎn)j(即mVexs[j])"是鄰接點(diǎn)；mMatrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點(diǎn)。

• Dijkstra算法

/*
 * Dijkstra最短路徑。
 * 即，統(tǒng)計(jì)圖中"頂點(diǎn)vs"到其它各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑。
 *
 * 參數(shù)說明：
 *       vs -- 起始頂點(diǎn)(start vertex)。即計(jì)算"頂點(diǎn)vs"到其它頂點(diǎn)的最短路徑。
 *     prev -- 前驅(qū)頂點(diǎn)數(shù)組。即，prev[i]的值是"頂點(diǎn)vs"到"頂點(diǎn)i"的最短路徑所經(jīng)歷的全部頂點(diǎn)中，位于"頂點(diǎn)i"之前的那個(gè)頂點(diǎn)。
 *     dist -- 長(zhǎng)度數(shù)組。即，dist[i]是"頂點(diǎn)vs"到"頂點(diǎn)i"的最短路徑的長(zhǎng)度。
 */
void MatrixUDG::dijkstra(int vs, int prev[], int dist[])
{
    int i,j,k;
    int min;
    int tmp;
    int flag[MAX];      // flag[i]=1表示"頂點(diǎn)vs"到"頂點(diǎn)i"的最短路徑已成功獲取。

    // 初始化
    for (i = 0; i < mVexNum; i++)
    {
        flag[i] = 0;              // 頂點(diǎn)i的最短路徑還沒獲取到。
        prev[i] = 0;              // 頂點(diǎn)i的前驅(qū)頂點(diǎn)為0。
        dist[i] = mMatrix[vs][i]; // 頂點(diǎn)i的最短路徑為"頂點(diǎn)vs"到"頂點(diǎn)i"的權(quán)。
    }

    // 對(duì)"頂點(diǎn)vs"自身進(jìn)行初始化
    flag[vs] = 1;
    dist[vs] = 0;

    // 遍歷mVexNum-1次；每次找出一個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑。
    for (i = 1; i < mVexNum; i++)
    {
        // 尋找當(dāng)前最小的路徑；
        // 即，在未獲取最短路徑的頂點(diǎn)中，找到離vs最近的頂點(diǎn)(k)。
        min = INF;
        for (j = 0; j < mVexNum; j++)
        {
            if (flag[j]==0 && dist[j]<min)
            {
                min = dist[j];
                k = j;
            }
        }
        // 標(biāo)記"頂點(diǎn)k"為已經(jīng)獲取到最短路徑
        flag[k] = 1;

        // 修正當(dāng)前最短路徑和前驅(qū)頂點(diǎn)
        // 即，當(dāng)已經(jīng)"頂點(diǎn)k的最短路徑"之后，更新"未獲取最短路徑的頂點(diǎn)的最短路徑和前驅(qū)頂點(diǎn)"。
        for (j = 0; j < mVexNum; j++)
        {
            tmp = (mMatrix[k][j]==INF ? INF : (min + mMatrix[k][j]));
            if (flag[j] == 0 && (tmp  < dist[j]) )
            {
                dist[j] = tmp;
                prev[j] = k;
            }
        }
    }

    // 打印dijkstra最短路徑的結(jié)果
    cout << "dijkstra(" << mVexs[vs] << "): " << endl;
    for (i = 0; i < mVexNum; i++)
        cout << "  shortest(" << mVexs[vs] << ", " << mVexs[i] << ")=" << dist[i] << endl;
}

迪杰斯特拉算法的源碼
這里分別給出"鄰接矩陣圖"和"鄰接表圖"的迪杰斯特拉算法源碼。
1. 鄰接矩陣源碼(MatrixUDG.cpp)
2. 鄰接表源碼(ListUDG.cpp)

算法轉(zhuǎn)載自：http://www.cnblogs.com/skywang12345/