【算法筆記】算法的平均時間復雜度A(n)的公式及示例

算法平均時間復雜度計算公式

A(n) = \sum\limits_{I\in S}P_I t_I
其中:

  • S是規模為n的實例集
  • 實例I的概率為P_I
  • 實例I的基本運算次數（也就是工作量）為t_I

舉例：檢索問題，數組L有n個元素，每個元素為從1到n的整數。若待檢索元素在L中（例如1,2,3,4,5），則比較次數為其本身。若待檢索元素位于L的空隙中（例如0.5,1.5,2.5），則比較次數為n，也就是從頭到尾比較一遍。若位于L和位于L的空隙的待檢索元素數量各占一半，檢索的平均時間復雜度是多少？

位于L的情況：假設x在L的概率為P，則x在每個位置的概率為\frac{P}{n}，若x的值為i，則需要比較i次。平均時間復雜度為\sum\limits_{i=1}^{n} i\frac{P}{n}

位于L的空隙的情況：x不在L的概率為1-P，每種情況都要比較n次，則該情況的平均時間復雜度為(1-P)n

綜上，結合等差數列求和公式有：
\begin{aligned} A(n)&=\sum\limits_{i=1}^{n} i\frac{P}{n}+(1-P)n \\ &=\frac{(1+n)P}{2}+ (1-P)n\\ \end{aligned}

當P = \frac{1}{2}，
A(n)=\frac{1+n}{4}+\frac{n}{2}\approx \frac{3n}{4}

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