指數隨機圖模型 ERGM(Exponential Random Graph Models)
指數隨機圖模型（Exponential Random Graph Models，ERGM），也稱為 p* 模型，是一種用于分析網絡數據的統計模型。該模型通過考慮圖中節點和邊之間的依賴關系，來捕捉網絡結構的復雜性。ERGM 的基本思想是，通過定義一系列統計量（稱為圖統計量），這些統計量反映了圖的結構特征，然后使用這些統計量來描述網絡的生成過程。
ERGM 的主要步驟包括：
定義圖統計量：
圖統計量是網絡中結構特征的定量表示，例如節點的度數分布、三角形閉包、節點屬性的同質性等。這些統計量反映了網絡中的局部和全局結構特征。構建概率模型：
ERGM 假設給定圖統計量的線性組合（加權和）可以用于描述網絡的概率分布。具體來說，ERGM 模型的形式可以表示為：
-
是隨機關系集;
是特定的關系集，當
時表示有連接，
時表示無連接，這種連接既可以是有向的，也可以是無向的。
-
是模型參數,
是模型對應的統計量，
是影響因素,
是歸一化常數，確保概率和為 1。
- 給定該分布中的特定圖
，因此，ERGM可以解釋某一網絡中的各種可能結構規律。
參數估計：
通過最大似然估計（MLE）或貝葉斯方法來估計模型參數模型檢驗和診斷：
通過檢查模型的擬合優度和殘差來評估模型的合理性。例如，可以使用 MCMC 方法生成樣本網絡，并將其與實際網絡進行比較，以驗證模型的擬合情況。
ERGM 的優點在于它能夠靈活地捕捉網絡中的復雜依賴關系和結構特征。然而，由于模型的計算復雜性，特別是對于大規模網絡，模型的估計和檢驗過程可能會比較耗時。
應用領域
ERGM 被廣泛應用于社會網絡分析、生物網絡研究、通信網絡建模等領域。例如，在社會網絡分析中，ERGM 可以用于研究社交網絡中的節點之間的關系模式和影響因素，識別關鍵節點和社區結構。
示例
假設我們有一個包含 10 個節點的社交網絡，節點之間的連邊表示友誼關系。我們可以定義一些圖統計量，如節點的度數（表示每個節點的朋友數量）、三角形閉包（表示朋友的朋友也是朋友的情況）。通過這些統計量，ERGM 可以用來分析和預測網絡的結構特征，例如預測哪些節點更可能形成新的友誼關系。
參考文獻
- Robins, G., Pattison, P., Kalish, Y., & Lusher, D. (2007). An introduction to exponential random graph (p*) models for social networks. Social Networks, 29(2), 173-191.
- Wasserman, S., & Faust, K. (1994). Social Network Analysis: Methods and Applications. Cambridge University Press.
library(statnet)
library(ergm)
library(sna)
# 讀取數據
data("faux.magnolia.high")
fmh <- faux.magnolia.high
plot(fmh,displayisolates=FALSE,vertex.cex=0.8)
# 讀取數據成分--》計算度數和節點個數之間的關聯
table(component.dist(fmh)$csize)
# 描述圖
summary(fmh)
# 按類別繪制不同顏色的圖
plot(fmh,displayisolates=TRUE,vertex.col="Grade",vertex.cex=0.8)
# 節點度的計算
fmh.degreedist <- table(degree(fmh,cmode="indegree"))
fmh.degreedist
#根據分類變量來查看度數分布情況
summary(fmh ~ degree(0:8,"Sex"))
# 內含三元組
summary(fmh ~ triangle)
# 內含邊+三元組
summary(fmh ~ edges + triangle)
# 混合矩陣
mixingmatrix(fmh,"Grade")
mixingmatrix(fmh,"Race")
# ermg
model_ergm<-ergm(fmh ~ edges)
summary(model_ergm)
# 網絡密度
exp(-6.998)/(1+exp(-6.998))
# 模型結果
names(model_ergm)
model_ergm$coefficients
# 擬合結構=增加星形==>模型退化
model_ergm1<-ergm(fmh ~ edges+kstar(2)+kstar(3))
summary(model_ergm1)
# 擬合結構=增加三角形==>模型退化
model_ergm2<-ergm(fmh ~ edges+triangle)
summary(model_ergm2)
simu<-simulate(model_ergm1,burnin=1e+6,verbose = TRUE,seed = 9)
mixingmatrix(simu,"Race")
mixingmatrix(fmh,"Race")
# 采用圖形觀測實際值和觀測值之間的擬合差異
plot(summary(fmh ~ degree(0:10)),type="l",lty=1,lwd=2,xlab="Degree",ylab="Count")
lines(summary(simu ~ degree(0:10)),type="l",lty=2,lwd=3,xlab="Degree",ylab="Count")
legend("topright",legend = c("observed","simulated"),lwd = 2:3,lty =1:2)
