SVM

SVM

1995 年, 基于統計學習的理論基礎發展出了一種新的通用的學習方法——支持向量機 (SVM). 可以說 SVM 是統計學習理論在算法領域應用的集中體現. SVM 的提出, 一舉解決了第二代神經網絡的結構選擇和局部最小值 (過擬合與欠擬合) 等問題, 使第二代神經網絡的發展進入了又一個低潮期. 以統計學習方法為基礎的 SVM 被應用于機器學習的各個領域, 成為最通用的萬能分類器.

線性支持向量機

\mathcal{X} = \{x_1,x_2,\cdots,x_m: x_i \in ?^n\}, \mathcal{Y} = \{y_1,y_2,\cdots,y_m\}, 數據空間 V = \mathcal{X \times Y}. 以下 i \in \{1, 2, \cdots, m \}, 分離超平面為 w^T x + b = 0

SVM 的目的是最大化間隔 (margin), 對于線性可分的數據集, 模型假設為
\begin{cases} \displaystyle\min_{w} & ||w||^2/2 \\ \operatorname{s.t.} & {y_i(w^T x_i+b)} \geq 1 \end{cases}

考慮到存在線性不可分的數據集, 引入了變量 \xi_i \geq 0, 且 \frac{\xi_i}{||w||} 表示點 x_i 到離它最近的邊界的距離, 模型便改寫為
\begin{cases} \displaystyle{\min_{w,C}} & ||w||^2/2 + C \sum_i \xi_i \\ \operatorname{s.t.} & {y_i(w^T x_i + b)} \geq 1 - \xi_i \end{cases} ? \displaystyle{\min_{w, C}} \; ||w||^2/2 + C \sum_i \max(0, 1 - y_i(w^T x_i + b))

在學術上預測損失 LL = \sum_i \max(0, 1 - y_i(w^T x_i + b)), 被稱為 hinge loss, f(x) = \max(x,0) 被稱為線性整流函數 (ReLU).

因而, 此時的 SVM 可以看作為正則項為 l_2 范數, 激活函數為 ReLU 的單層神經網絡模型(與其他模型不同的是 SVM 的正則項是不能省略的). 此時的 SVM 被稱為線性 SVM.

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