眼中有文? 筆下有智

----《多元視角下的數(shù)學(xué)文化》摘錄筆記一

大寨一中? 高元節(jié)

前言

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是“苦讀+考試”、“計(jì)算+邏輯”。因此，當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)出來的數(shù)學(xué)尖子生的模式是基礎(chǔ)實(shí)、知識(shí)窄、能攻克難題而創(chuàng)造能力不強(qiáng)，且動(dòng)手和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力差。他們具有更多的“好勝心”，卻缺乏對(duì)事物的“好奇心”，因而就缺乏創(chuàng)新能力。

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，以及數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系、美學(xué)價(jià)值、數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神和數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，以便在學(xué)生中逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀。

數(shù)學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一門文化，即“數(shù)學(xué)文化”；數(shù)學(xué)不僅是一些知識(shí)，也是一種素質(zhì)，即“數(shù)學(xué)素質(zhì)”。數(shù)學(xué)文化是現(xiàn)代人文素質(zhì)的重要組成部分。

齊民友教授所言：“沒有現(xiàn)代的數(shù)學(xué)，就不會(huì)有思安帶的文化；沒有現(xiàn)代數(shù)學(xué)，文化是注定要衰落的。”

一門科學(xué)的歷史是那門科學(xué)最寶貴的一部分，因?yàn)榭茖W(xué)只能給我們知識(shí)，而歷史卻能給我們智慧。

我們講一點(diǎn)數(shù)學(xué)史，可以讓我們和學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的曼妙高深，洞知數(shù)學(xué)的過去、現(xiàn)在和未來，為數(shù)學(xué)的停滯而憂慮，為數(shù)學(xué)的前進(jìn)而喝彩。

感受到數(shù)學(xué)界的風(fēng)風(fēng)雨雨，也可以從中感受到數(shù)學(xué)家們平凡而偉大的人格魅力，從中體會(huì)數(shù)學(xué)家們從事數(shù)學(xué)研究的苦樂與甘苦、在數(shù)學(xué)道路上的磕磕絆絆，以及對(duì)數(shù)學(xué)執(zhí)著追求的精神。

概論

什么是數(shù)學(xué)

問題是數(shù)學(xué)的心臟。----哈爾莫斯

一個(gè)例子比十個(gè)定理有效。----牛頓

哲學(xué)與數(shù)學(xué)的統(tǒng)一：美麗的夢(mèng)。----笛卡兒

數(shù)學(xué)家本質(zhì)上是個(gè)著迷者，不迷就沒有數(shù)學(xué)。----努瓦列斯

千古數(shù)學(xué)一大猜！----華羅庚

伽利略：數(shù)學(xué)是上帝用來書寫宇宙的文字。

愛因斯坦：數(shù)學(xué)是一種藝術(shù)，如果你和它交上了朋友，你就會(huì)懂得，你再也不能離開它。

萬物皆數(shù)說（畢達(dá)哥拉斯）：“數(shù)統(tǒng)治著宇宙。”

科學(xué)說（高斯）:“數(shù)學(xué)，科學(xué)的皇后；數(shù)論，數(shù)學(xué)的皇后。”

從數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)看，數(shù)學(xué)是模型。

從數(shù)學(xué)的過程看，數(shù)學(xué)是推理與計(jì)算。

從數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式看，數(shù)學(xué)是符號(hào)。

從數(shù)學(xué)對(duì)人的指導(dǎo)看，數(shù)學(xué)是方法論。

從數(shù)學(xué)的價(jià)值看，數(shù)學(xué)是工具。

數(shù)學(xué)的特點(diǎn)

內(nèi)容的抽象性

推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和結(jié)論的明確說

應(yīng)用的廣泛性

數(shù)學(xué)文化概述

狹義的“文化”僅指知識(shí)，說的是一個(gè)人有文化就說他有知識(shí)；廣義的“文化”，則反之人類的物質(zhì)財(cái)富和精神財(cái)富的積淀。（9頁）

數(shù)學(xué)不只是一系列數(shù)字符號(hào)的堆砌，其實(shí)它還包含著人文精神內(nèi)涵，它體現(xiàn)了求真、勇敢、合作、獻(xiàn)身等人類精神，這些都是人文精神的升華，而這就是一種文化的體現(xiàn)。（9頁）

數(shù)學(xué)文化的主要特征是：

思維性 （2）數(shù)量化 （3）發(fā)展性 （4）實(shí)用性 （5）育人性 （10頁）

數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵：

數(shù)學(xué)文化的理性精神

數(shù)學(xué)文化的人文精神

數(shù)學(xué)文化應(yīng)用性的體現(xiàn)

數(shù)學(xué)文化的相對(duì)穩(wěn)定與延續(xù)性

數(shù)學(xué)文化的反思、批判和完善

數(shù)學(xué)文化的世界性? （10-12頁）

數(shù)學(xué)文化的價(jià)值：

數(shù)學(xué)是一種精密的思維工具

數(shù)學(xué)是一種科學(xué)的語言

數(shù)學(xué)是理性的藝術(shù)

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分（13-14頁）

數(shù)學(xué)題材中的數(shù)學(xué)文化

2.1? 黃金分割引出的數(shù)學(xué)問題

1.黃金數(shù)是一個(gè)“神賜的數(shù)”，一個(gè)“美的數(shù)”，也是一個(gè)“美的密碼”，在這個(gè)“美的密碼”中還有許多“隱秘”有待我們?nèi)ソ衣丁＃?0頁）

2.黃金分割是一種變換，但千變?nèi)f化，卻殊途同歸。不論從哪一個(gè)角度欣賞，它都是玲瓏剔透，恰到好處；不論從哪一方面分析，它都內(nèi)蘊(yùn)深厚，含義雋永，具有永恒的魅力。（27頁）

3.黃金分割體現(xiàn)出科學(xué)與藝術(shù)的統(tǒng)一，感性與理性的統(tǒng)一，形象思維與邏輯思維的統(tǒng)一，是人類認(rèn)識(shí)世界收獲的說過中的精品。黃金分割是神賜的“美的密碼”。（27頁）

2.2? 神秘的無窮世界

1.無窮是一個(gè)永恒的謎，數(shù)學(xué)是無窮的科學(xué)。（27頁）

2.無限既是一種實(shí)無限也是一種潛無限。無窮本身是一個(gè)矛盾體，它既是一個(gè)需無限逼近的過程，又是一個(gè)可供研究的實(shí)體。誠如我國著名數(shù)學(xué)家徐利治教授所稱：“實(shí)無限、潛無限只是一枚硬幣的兩個(gè)面罷了。”（34頁）

3.希爾波特說：“無窮既是人類最偉大的朋友，也是人類心靈寧靜的最大敵人。”（36頁）

2.3? 勾股定理賞析

1.勾股定理的證明是論證數(shù)學(xué)的發(fā)端，它是歷史上第一個(gè)把形與數(shù)聯(lián)系起來的定理，即第一個(gè)把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來的定理，也是數(shù)學(xué)家認(rèn)為探索外星文明與外星人溝通的最好“語言”。（47頁）

2.中國的數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)反映的是重視應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合以算為主的務(wù)實(shí)精神。（47頁）

2.4? ----一首無窮無盡的歌

1.德國數(shù)學(xué)家康托爾曾指出：“圓周率的精確度可以作為衡量一個(gè)國家數(shù)學(xué)水平的標(biāo)志。”（48頁）

2.計(jì)算值。除了前面提到過的幾何法、分析法、計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)外，還有一種不用繁雜計(jì)算的稀奇方法----實(shí)驗(yàn)法。（56頁）

3.圓周率像一座迷宮，讓人流連忘返；圓周率像一首朦朧的詩，像以區(qū)悠揚(yáng)的樂章，又想一座入云的高山，讓人遐想，讓人陶醉，更讓人奮進(jìn)，去攀登不息！（61頁）

2.5? 中國剩余定理

1.《數(shù)書九章》中說：“數(shù)理精微，不易窺識(shí)，窮年致志，感于夢(mèng)寐，幸而得知，謹(jǐn)不取隱。”（65頁）

2.6? 七橋問題與一筆畫

1.所謂“圖論”，就是運(yùn)用直觀的圖形和數(shù)學(xué)的方法來研究組合關(guān)系的一門新興學(xué)科。（69頁）

2.7 幾何三大作圖難題

1.厚厚的石墻、堅(jiān)固的牢門，禁錮了阿拉克薩哥拉的行動(dòng)自由，但是禁錮不了他自由的思想。（73頁）

2.8? 兩個(gè)超越無理數(shù)e和

1.在這個(gè)公式里，“五朵金花”中：0、1來自算術(shù)，i來自代數(shù)，來自幾何，e來自分析，它們妙不可言地同時(shí)盛開，兩個(gè)最著名的超越數(shù)e和結(jié)伴而行，實(shí)數(shù)與虛數(shù)溶于一爐。將其稱之為“數(shù)學(xué)中最美的公式”，可謂當(dāng)之無愧。（86頁）

2.9? 莫比烏斯帶與克萊因瓶

1.莫比烏斯帶是將一張長(zhǎng)方形紙帶的一端扭轉(zhuǎn)后，再把它首位相接而成。（87頁）

2.莫比烏斯帶，它多么簡(jiǎn)單，然而又極度深刻，它有那么多工業(yè)、技術(shù)上的美妙應(yīng)用，同時(shí)又帶給科學(xué)家、哲學(xué)家、藝術(shù)家、文學(xué)家那么多新奇的想象。因此我們說，莫比烏斯帶是科學(xué)的藝術(shù)形象，也是藝術(shù)形象的科學(xué)。（94頁）

第三章? 數(shù)學(xué)史籍中的數(shù)學(xué)文化

3.1? 歐幾里得與《幾何原本》

1.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派師從泰勒斯，該學(xué)派提倡用數(shù)學(xué)解釋一切，提出“萬物皆數(shù)”。將數(shù)學(xué)從具體事物中抽象出來建立自己的理論體系。（95頁）

2.《幾何原本》的內(nèi)容簡(jiǎn)介：用公理法對(duì)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)作了系統(tǒng)化，理論化的總結(jié)全書共分為13卷，包括有5條公設(shè)、5條公理、119個(gè)定義和465個(gè)命題，構(gòu)成了歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系，各卷的內(nèi)容大致可分為類如下：

第一卷? 幾何基礎(chǔ)?

第二卷? 幾何代數(shù)

第三卷? 圓形?

第四卷? 正多邊形

第五卷? 比例說?

第六卷? 相似圖形?

八、九卷? 初等數(shù)論?

第十卷? 不可公度量?

第十一、十二、十三卷? 立體幾何 （97-98頁）

3.《幾何原本》是現(xiàn)代科學(xué)產(chǎn)生的一個(gè)主要因素，科學(xué)上的偉大成就的取得，一方面是將經(jīng)驗(yàn)同試驗(yàn)進(jìn)行結(jié)合，另一方面是需要細(xì)心的分析和演繹推理。（98頁）

愛因斯坦稱贊《幾何原本》時(shí)說：“世界第一次目睹了一個(gè)邏輯體系的奇跡，這個(gè)邏輯體系如此精密地一步一步推進(jìn)，以致它的每一個(gè)命題都是不容置疑的----我這里說的是歐幾里得結(jié)合學(xué)推理的這種可贊嘆的勝利，使人類理智獲得了為取得以后的成就所必需的信心。（99頁）

《幾何原本》存在以下一些缺陷：

定義不精確嚴(yán)密

公理系統(tǒng)不完備

全書系統(tǒng)不完備

全書的組織安排不合理

有些證明以偏概全（99-100頁）

《幾何原本》在中國的翻譯傳播不僅僅是一種知識(shí)的傳播，更重要的是一種科學(xué)方法的傳播。（103頁）

徐光啟在數(shù)學(xué)方面的成就：

論述了中國數(shù)學(xué)在明代落后的原因。

論述了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性。即（1）天文歷法；（2）水利工程；（3）音律；（4）兵器兵法及軍事工程；（5）會(huì)計(jì)理財(cái)；（6）各種建筑工程；（7）機(jī)械制造；（8）域地測(cè)量；（9）醫(yī)藥；（10）制造鐘漏等計(jì)時(shí)器。

《幾何原本》的翻譯。（103頁）

梁?jiǎn)⒊Q《幾何原本》是“字字精金美玉，是千古不朽之作”。（104頁）

為了進(jìn)一步宣傳《幾何原本》，徐光啟寫了一篇《幾何原本雜議》，他開篇就說:“下功夫?qū)W，有理有事，此書為宜，能令學(xué)理者祛其浮氣，練其精心；學(xué)事者資其定法，發(fā)其巧思”。他對(duì)此書非常崇拜，”認(rèn)為“此書有四不必：不必疑（懷疑），不必揣（猜測(cè)），不必試（試驗(yàn)），不必改（改動(dòng)）；有四不能：欲脫（脫離或漏掉）之不可能，欲駁（反駁）之不可能，欲減（減少）之不可能，欲前后更（改變次序）之不可能。”（104頁）

歐幾里得主張學(xué)習(xí)必須循序漸進(jìn)、刻苦鉆研。不贊成投機(jī)取巧、急功近利的作風(fēng)，也反對(duì)狹隘的實(shí)用觀點(diǎn)。（106頁）

《幾何原本》結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)：

? 第一是封閉的演繹體系。

? 第二是抽象化的內(nèi)容。

? 第三是前面題到的公理化的方法。（107頁）

3.2? 劉徽與《九章算術(shù)》

1.《九章算術(shù)》內(nèi)容十分豐富，全書采用問題集的形式，收集有246個(gè)與生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問題，按不同內(nèi)容列為九章，是為《九章算術(shù)》書名之由來。其中每道題有問（題目）、答（答案）、術(shù)（解題步驟和方法）。有的是一題一術(shù)，有的是多題一術(shù)，有的是一題多術(shù)。“術(shù)”實(shí)際是可用的算法，以算籌為工具，是布列算籌的算法。（108頁）

2.“九章”的名稱和主要內(nèi)容

? 第一章? 方田

? 第二章? 粟米

? 第三章? 衰分

? 第四章? 少廣

? 第五章? 商工

? 第六章? 均輸

? 第七章? 盈不足

? 第八章? 方程

? 第九章? 勾股 （108頁）

3.劉徽的“割圓術(shù)”：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以致不可割，則與圓合體而無所失矣。”（115頁）

4.《九章算術(shù)》的數(shù)學(xué)思想與文化意義：

? ? （1）開放的歸納體系

? ? （2）算法化的概括

? ? ? （3）模型化的方法

? ? ? （4）中庸思想的體現(xiàn)

? ? ? （5）與儒家經(jīng)典的關(guān)聯(lián)（121-122頁）

3.3? 《周易》與二進(jìn)制

1.《周易》包括《易經(jīng)》和《易傳》兩部分。（123頁）

2.《易經(jīng)》的最大特點(diǎn)是將《易經(jīng)》人文化：從迷信變?yōu)槔硇裕瑥奈仔g(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎軐W(xué)。（133頁）

3.《周易》向我們展示了一個(gè)由“父”“天”“母”地所統(tǒng)領(lǐng)下的一個(gè)生生不息、生化無窮，充滿無限生機(jī)與活力的全新總體的宇宙畫面。（133-134頁）

4.《周易》的文化價(jià)值：

? （1）易學(xué)長(zhǎng)河

? (2) 宇宙畫面

? （3）數(shù)學(xué)淵源

? （4）思想大成

? （5）文化種子（133-134頁）

第四章? 數(shù)學(xué)史料中的數(shù)學(xué)文化

4.1? 悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī)

1.悖亂的通常形式是：“如果承認(rèn)某命題正確，就會(huì)推出它是錯(cuò)誤的；如果認(rèn)為它不正確，就會(huì)推出它是正確的。”悖論往往會(huì)直接導(dǎo)致“數(shù)學(xué)危機(jī)”的產(chǎn)生。（135頁）

2.幾個(gè)有名的悖論：（1）說謊者悖論；（2)上帝全能悖論；（3）理發(fā)師悖論；（136頁）

3.希伯索斯悖論與第一次危機(jī)；貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)；

羅素悖論與第三此數(shù)學(xué)危機(jī)。（137-141頁）

4.2? 連接幾何與代數(shù)的橋梁----解析幾何

1.笛卡爾非常喜歡這座數(shù)學(xué)宮殿，在這里的每一個(gè)證明就像一顆閃光的珍珠叫人愛不釋手。然而笛卡爾發(fā)現(xiàn)，人們只能把這一顆顆的珠子撿起，卻很難用線將這些各具特色的珠子穿起來。笛卡爾主張讓代數(shù)和幾何中一切美好的東西互相取長(zhǎng)補(bǔ)短，于是他著手尋找一種讓代數(shù)和幾何聯(lián)結(jié)的新方法。（146頁）

4.3? 非歐幾何

1.愛因斯坦提出相對(duì)論，就應(yīng)用了黎曼幾何這個(gè)數(shù)學(xué)工具，從而使數(shù)學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域的兩場(chǎng)革命會(huì)師。根據(jù)相對(duì)論學(xué)說，現(xiàn)實(shí)空間并不是均勻分布，而是發(fā)生彎曲的。（158-259頁)

2.非歐幾何的影響是巨大的，是數(shù)學(xué)史上的一場(chǎng)革命。它使數(shù)學(xué)家們從根本上改變了對(duì)數(shù)學(xué)性質(zhì)的理解，以及數(shù)學(xué)與物質(zhì)世界的理解，使人們認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)空間與物理空間是有本質(zhì)差別的。它打破了數(shù)學(xué)真理就是絕對(duì)真理的信念，從而也使數(shù)學(xué)喪失了確定性和真理性，但數(shù)學(xué)卻由此獲得了自由，數(shù)學(xué)家們可以探索和構(gòu)建任何可能的公理體系，只要這種研究具有意義。（160頁）

4.4? 人類心智的結(jié)晶----微積分

1.牛頓對(duì)于能重返學(xué)校，也十分激動(dòng)，他寫了一首題為《三頂冠冕》的詩，表達(dá)了他為獻(xiàn)身科學(xué)而甘愿承受痛苦的心情：

世俗的冠冕啊，我鄙視他如同腳下的塵土，

它是沉重的，最佳也只是一場(chǎng)空虛；

可是現(xiàn)在我愉快地歡迎一頂荊棘冠冕，

盡管刺得人痛，但味道主要是甜；

我看見光榮之冠在我的面前呈現(xiàn)，

它充滿著幸福，永恒無邊。（166頁）

萊布尼茨評(píng)價(jià)牛頓說：“在從世界開始到牛頓生活的年代的全部數(shù)學(xué)中，牛頓的工作超過一半。”英國著名詩人波普是這樣描述這位偉大科學(xué)家的：

自然和自然的規(guī)律，

沉浸在一片混沌之中，

上帝說，生出牛頓，

一切都變得明朗。（166頁）

詩人華茲華斯在牛頓的雕像之前寫有這樣的詩：

? ? ? ? 那里雕像聳立著

? ? ? ? 那是面容肅穆而沉默的牛頓

? ? ? ? 大理石永遠(yuǎn)標(biāo)志他的心靈

? ? ? ? 單獨(dú)地在奇妙的思想海洋中航行（167頁）

牛頓本人很謙虛，他說：“我不知道世間把我看成什么人，但是對(duì)我自己來說，就像一個(gè)在海邊玩耍的小孩，有時(shí)找到一塊比較平滑的卵石或格外漂亮的貝殼，感到高興，而在我前面是未被發(fā)現(xiàn)的真理的大海。”（167頁）

人們懷著崇敬的心情，在他的墓碑上刻下了這樣一段文字：“他以幾乎神一般的思維能力最先說明了行星的運(yùn)動(dòng)和圖像，彗星的軌道和大海的潮汐。讓普通平凡的人們因?yàn)樵谒麄冎虚g出現(xiàn)過一個(gè)人杰而感到高興吧！”（167頁）

微積分的文化意義：

對(duì)數(shù)學(xué)自身的作用

對(duì)其他學(xué)科和工程技術(shù)的作用

對(duì)人類物質(zhì)文明的影響

對(duì)人類文化的影響（174-175頁）

數(shù)學(xué)名題中的數(shù)學(xué)文化

費(fèi)馬大定理

在數(shù)學(xué)史上，費(fèi)馬被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。（176頁）

費(fèi)馬制造了一個(gè)數(shù)學(xué)史上最深?yuàn)W的謎！（177頁）

之前我從來沒有看過如此精彩的講座，充滿了美妙的、聞所未聞的新思想，還有戲劇性的鋪墊，充滿懸念，直到最后達(dá)到高潮。當(dāng)大家終于明白已經(jīng)離證明費(fèi)馬大定理只有一步之遙時(shí)，空氣中充滿了緊張。（181頁）

懷爾斯談到對(duì)“費(fèi)馬大定理”的感情時(shí)說：“這是我童年時(shí)代的戀情，沒有東西能夠取代它，......如果你能在成年時(shí)期解決某個(gè)對(duì)你來說非常重要的事，那么再也找不出什么比這更有意義了。”（183頁）

懷爾斯在完成對(duì)“費(fèi)馬大定理”證明后說：“......那段特殊的漫長(zhǎng)的探索已經(jīng)結(jié)束了，我的心已歸于平靜。”（183頁）

“費(fèi)馬大定理猶如一顆光彩奪目的寶石，它藏在深山絕谷的草叢之中，由于偶然的機(jī)遇被人看見了，由于它的美麗，吸引了不少人想去取得它，不少人甚至為此跌到深淵下。但是在征服它的路上，人們找到了豐富的礦藏。這種礦藏不是阿拉丁的寶庫，里面的東西也不一定都是光輝燦爛的寶石，但是它可以帶來一個(gè)新的產(chǎn)業(yè)部門。沒有這種礦藏，這顆寶石可以成為價(jià)值連城的珍寶，但是有了這種礦藏，連同其他的礦藏，卻成了人類文明的一部分。”（185頁）

哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想是“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”。（185頁）

陳景潤(rùn)跋涉在數(shù)學(xué)的崎嶇山路，吃力地脈動(dòng)步伐，。在抽象思維的高原，他向陡峭的懸崖升登，降下又升登！餐霜飲雪，走上去一步就是一步！他氣喘不已，汗如雨下，時(shí)常感到支持不下去了，但他還是攀登。用四肢，用指爪，真是艱苦卓絕！多少次上去了又摔下來，就是鐵鞋，也早就踏破了。（190頁）

作家徐遲用了詩一般的語言，贊嘆那一頁一頁的論文，也贊嘆了讓人陶醉的數(shù)學(xué)美！“何等動(dòng)人的一頁又一頁篇章！這些是人類思維的花朵。這些是空谷幽蘭、高寒杜鵑、老林中的人參、冰山上的雪蓮、絕頂上的靈芝、抽象思維的牡丹。......(192頁）

5.3? 四色猜想

1.英國數(shù)學(xué)家希渥特”老而彌堅(jiān)、孜孜不倦、頑強(qiáng)攻關(guān)的精神是值得我們學(xué)習(xí)的。（196頁）

2.時(shí)至今日，仍有許多數(shù)學(xué)家甚至業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，并不滿足于計(jì)算機(jī)所取得的成就，都在尋求一種四色問題的邏輯證明。（199頁）

5.4? 希爾伯特23個(gè)數(shù)學(xué)問題及其影響

1.希爾伯特在演說中指出：“數(shù)學(xué)問題的寶藏是無窮無盡的，一個(gè)問題一旦解決，無數(shù)新的問題代之而起。”又指出：“數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著，這些工具和方法同時(shí)會(huì)有助于理解已有的理論，并把陳舊的、復(fù)雜的東西拋到一邊。......”（204頁）

5.5? 21世紀(jì)的七大數(shù)學(xué)難題及其反響

1.懸賞的七大難題好比數(shù)學(xué)領(lǐng)域的“珠穆朗瑪峰”。在對(duì)珠穆朗瑪峰的政府中，雖然最終登頂?shù)膬H僅是少數(shù)，但成功者登攀過程中遺留下的生存設(shè)備和技巧，卻會(huì)使無數(shù)后來者收益。。德夫林認(rèn)為，提出懸賞的七大難題，其意義也就在此。（205頁）

2.我們堅(jiān)信，這些懸賞問題的解決，將類似打開一個(gè)我們不曾想象到的數(shù)學(xué)新世界。（209頁）