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給定時間T，物品i最近的流行度ni(T)可以定義為：
這里，α是時間衰減函數(shù)。
下面的python代碼實現(xiàn)了上面的計算公式：
2.時間上下文相關的ItemCF算法
首先回顧一下前面提到的基于物品的協(xié)同過濾算法，它通過如下公式計算物品的相似度：
而在給用戶 u 做推薦時，用戶 u 對物品 i 的興趣 p(u,i) 通過如下公式計算：
在得到時間信息（用戶對物品產生行為的時間）后，我們可以通過如下公式改進相似度計算
注意，上面的公式在分子中引入了和時間有關的衰減項f(|t ui - t uj|)，其中t ui是用戶u對物品i產生行為的時間。 f 函數(shù)的含義是，用戶對物品 i 和物品 j 產生行為的時間越遠，則f(|t ui - t uj|)越小。這里令
α是時間衰減參數(shù)，它的取值在不同系統(tǒng)中不同。如果一個系統(tǒng)用戶興趣變化很快，就應該取比較大的α，反之需要取比較小的α。
改進后 ItemCF 的相似度可以通過如下代碼實現(xiàn)：
除了考慮時間信息對相關表的影響，我們也應該考慮時間信息對預測公式的影響。一般來說，用戶現(xiàn)在的行為應該和用戶最近的行為關系更大。因此，我們可以通過如下方式修正預測公式：
其中，t0是當前時間。上面的公式表明，t uj越靠近t0，和物品 j 相似的物品就會在用戶 u 的推薦列表中獲得越高的排名。β是時間衰減參數(shù)，需要根據(jù)不同的數(shù)據(jù)集選擇合適的值。上面的推薦算法可以通過如下代碼實現(xiàn)。
3.時間上下文相關的UserCF算法
首先回顧一下 UserCF 的推薦公式。 UserCF 通過如下公式計算用戶 u 和用戶 v 的興趣相似度：
其中 N(u) 是用戶 u 喜歡的物品集合， N(v) 是用戶 v 喜歡的物品集合。可以利用如下方式考慮時間信息：
上面公式的分子對于用戶 u 和用戶 v 共同喜歡的物品 i 增加了一個時間衰減因子。用戶 u 和用戶v 對物品 i 產生行為的時間越遠，那么這兩個用戶的興趣相似度就會越小。
在得到用戶相似度后， UserCF 通過如下公式預測用戶對物品的興趣：
其中， S(u,K) 包含了和用戶 u 興趣最接近的 K 個用戶。如果用戶 v 對物品 i 產生過行為，那么r vi=1，否則r vi=0。
如果考慮和用戶 u 興趣相似用戶的最近興趣，我們可以設計如下公式：
