一、叉積
叉積的計(jì)算是線段方法的核心。對(duì)于向來p1和p2，叉積是由點(diǎn)(0,0)、p1、p2和p1+p2構(gòu)成的平行四邊形的有向面積。另一種與之等價(jià)但更有效的的叉積定義方式是將其看做矩陣行列式：
p1×p2 = x1y2 - x2y1 = - p2×p1
若p1×p2為正，則相對(duì)于原點(diǎn)(0,0)來說，p1位于p2順時(shí)針方向；若p1×p2為負(fù)，p1位于p2逆時(shí)針方向；若為0則方向相同，或相反。
若是相對(duì)于點(diǎn)p0(x0,y0)而非原點(diǎn)，則p0p1和p0p2的叉積為(p1-p0)×(p2-p0) = (x1-x0)(y2-y0)-(x2-x0)(y1-y0)。
確定連續(xù)線段是向左轉(zhuǎn)還是向右轉(zhuǎn)
對(duì)于線段p0p1和p1p2，采用叉積可以避免計(jì)算角度，只需簡(jiǎn)單的計(jì)算一下p0p2是位于p0p1的順時(shí)針還是逆時(shí)針方向。計(jì)算叉積****
(p2-p0)×(p1-p0) = (x2-x0)(y1-y0) - (x1-x0)(y2-y0)
若結(jié)果為負(fù)，p0p2在p0p1的逆時(shí)針方向，在p1處左轉(zhuǎn)；結(jié)果為正則右轉(zhuǎn)；為0表示三點(diǎn)共線。
判斷兩條線段是否相交
要判斷兩條線段是否相交，則需要檢查每條線段是否跨越了另一條線段的直線。如果點(diǎn)p1位于某直線的一邊，而點(diǎn)p2位于該直線的另一邊，則稱p1p2跨越了這條直線。兩條線段相交，當(dāng)且僅當(dāng)下面兩個(gè)條件至少成立一個(gè)：****
每條線段都跨越了包含另一條線段的直線
一條線段的一個(gè)端點(diǎn)落在另一條線段上
二、確定任意一對(duì)線段是否相交
給定一個(gè)線段的集合，僅僅判斷是否有兩個(gè)線段相交，不必輸出所有相交的線段對(duì)。此處我們假設(shè)，線段均不垂直。
我們使用“掃除”算法來解決這個(gè)問題。在掃除過程中，一條假想的掃除線穿過一個(gè)給定的幾何物體集合，會(huì)與集合中的部分線段相交。下圖中掃除線r與線段a、c相交，且與a的交點(diǎn)的y坐標(biāo)值大于c的，則認(rèn)為此處a>c。
在圖(a)中，在r處，a>c；在t處，a還是>c，那么我們認(rèn)為a和c沒有相交。而在圖(b)中，在v處，e>f，而在圖w處，f>e，故e和f相交。
上圖描述了一個(gè)算法，我們按照線段端點(diǎn)的x坐標(biāo)，從小到達(dá)，進(jìn)行“掃除”。當(dāng)在一個(gè)線段的左端點(diǎn)掃除時(shí)，將所有相交的線段序列按序放入一個(gè)“完全前序關(guān)系T”中。當(dāng)掃到線段的右端點(diǎn)時(shí)，從T中去除該線段。但是，如果位于在該線段上方的線段集合，與位于該線段下方的線段集合有交集，則表明有線段相交。
關(guān)鍵在于，如果存儲(chǔ)T，如果求交集。可以用紅黑樹來存儲(chǔ)T。
算法步驟
- 初始化T為空集
- 對(duì)線段的端點(diǎn)排序
- 在端點(diǎn)p處，開始掃除，從最左邊的處開始
如果p是線段s的左端點(diǎn)
Insert(T, s);
如果有線段在掃除線處相交
return true;
如果p是線段的右端點(diǎn)
如果above(T, s) 和 below(T, s)有交集，則
return true;//即線段集中存在線段相交
無交集則，Delete(T, s); - return false
三、尋找凸包
點(diǎn)集Q的凸包，是一個(gè)最小的凸多邊形P，滿足Q中的每個(gè)點(diǎn)都在P的邊界上，或者在P的內(nèi)部。****
Graham掃描法: 復(fù)雜度O(nlogn)
選取y最小的點(diǎn)，多個(gè)y最小的話，選取其中x最小的點(diǎn)，作為p0****
剩余的點(diǎn)，按照p0和pi的極角的逆時(shí)針排序，編號(hào)為p1,p2,...,pm
如果m小于2，表示點(diǎn)數(shù)小于3，形不成多邊形
設(shè)定以空棧S，將p0、p1、p2壓入棧中。
for i=3 to m
得到棧頂?shù)?個(gè)點(diǎn)pi-1和pi-2，如果t1t0向t0pi轉(zhuǎn)的時(shí)候，不是左轉(zhuǎn)，就把頂點(diǎn)t0出棧；
如果出棧了t0，就繼續(xù)a，直到棧的頂點(diǎn)不再出棧位置
將pi入棧
return S
圖中，從a到f是一步一步選擇的過程。
Jarvis步進(jìn)法：復(fù)雜度O(nh)，h是凸包頂點(diǎn)數(shù)
先找到最下邊結(jié)點(diǎn)里最左邊的點(diǎn)p0，然后尋找使得p0p1極角最小的點(diǎn)，則p1也是凸包頂點(diǎn)；繼續(xù)尋找使得p1p2極角最小的點(diǎn)，直到達(dá)到最高點(diǎn)pk，上圖是p3，此時(shí)已經(jīng)構(gòu)造好了CH(Q)的右鏈。為了構(gòu)造左鏈，尋找pk+1使得pkpk+1極角最小，但此時(shí)x軸啊原x軸的負(fù)方向。
