事情的開端，是這樣的。

　　我一直在想，一個(gè)命題為什么只能是真或者假？雖然模糊邏輯提出了這個(gè)二重態(tài)的混合態(tài)，但本質(zhì)上來說還是真假二元的。可為什么一個(gè)命題不是真的就是假的？不能既真又假，或者既非真亦非假？或者無法判定一個(gè)命題的真假——這也是真假以外的一個(gè)狀態(tài)。

　　是命題天生只能有真假二分，還是說是我們已經(jīng)習(xí)以為常了真假二分的命題，所以在數(shù)學(xué)上規(guī)定了命題只能真假二分？

　　元素和集合的關(guān)系都有哪些呢？一般來說，一個(gè)元素要么屬于一個(gè)指定集合，要么不屬于。但，這種二分到底是元素和集合天然就有的關(guān)系，還是因?yàn)槲覀円呀?jīng)習(xí)慣了如此關(guān)系和元素和集合，所以在數(shù)學(xué)上強(qiáng)行構(gòu)造了這么一種關(guān)系結(jié)構(gòu)呢？

　　維特根斯坦的邏輯哲學(xué)的基礎(chǔ)是命題的真假函項(xiàng)，但如果我們不用這個(gè)為前提，而采用模糊邏輯，那么是否會(huì)引入概率分布和統(tǒng)計(jì)呢？如果出現(xiàn)統(tǒng)計(jì)，使用貝葉斯概率還是不含主觀因素的非貝葉斯概率呢？

　　我們都知道自然數(shù)的嚴(yán)格定義依賴于以后繼數(shù)為基礎(chǔ)的皮亞諾公里（基于序數(shù)理論，基數(shù)理論有別的定義方法），但究竟是皮亞諾公理給出了自然數(shù)，還是自然數(shù)給出的皮亞諾公理？

　　上述所有問題可以統(tǒng)一成一句話：到底是數(shù)學(xué)天生就是如此，還是我們選擇了如此這般的數(shù)學(xué)？

　　讓我們先歇一下，想想究竟什么是數(shù)學(xué)？

　　對(duì)究竟什么是物理這樣的問題的探究會(huì)讓人陷于迷思——比如關(guān)于“物理”、“物理理論”和“物理學(xué)家的物理理論”這三樣?xùn)|西，你能一下子說出它們的不同和關(guān)聯(lián)嗎？

　　有自然存在之物做參照的物理學(xué)尚且讓人有點(diǎn)摸不著頭腦，這純思辨的數(shù)學(xué)就更摸不著邊際了。

　　在我看來，數(shù)學(xué)就是研究一切邏輯上與形式上可能存在之物的學(xué)問。

　　既然是一切邏輯上和形式上可能存在的對(duì)象，那么，回到上面的問題——那些問題我們現(xiàn)如今的選擇，是唯一的選擇，還只是因?yàn)闅v史原因而我們做出的選擇呢？

　　究竟世界本就如此，還是世界演化至此？

　　讓我們來看自然數(shù)的序數(shù)和基數(shù)的兩種定義方式：

　　自然數(shù)的序數(shù)定義（皮亞諾公理）：

　　滿足以下五點(diǎn)的系統(tǒng)，被稱為“自然數(shù)集”，其中的元素稱為“自然數(shù)”：

　　1，存在始元，記為1；

　　2，任意元素n有且只有為一個(gè)的“后繼數(shù)”，記為n+1，且n+1也是該集合元素；

　　3，如果元素m和n的后繼數(shù)是同一個(gè)元素，那么m和n必然也是同一個(gè)元素；

　　4，始元1不是任何該集合中元素的后繼數(shù)；

　　5，如果存在一個(gè)集合S，始元1是S的元素，且如果元素n在S中，則n的后繼數(shù)n+1也在S中，那么S必然就是自然數(shù)集。

　　這是通過序數(shù)理論構(gòu)建出的自然數(shù)和自然數(shù)集的定義。

　　而從基數(shù)理論，自然數(shù)和自然數(shù)集可以這樣給出：

　　記錄0={}，1={0}={{}}，那么自然數(shù)n就是集合：n={0,1,2...n-1}，及自然數(shù)n就是所有小于n的自然數(shù)為元素構(gòu)成的集合。

　　通過上面兩個(gè)定義，我們自然可以看出：這樣定義出的集合，的確就是自然數(shù)集，而其中的元素，也的確就是自然數(shù)。

　　當(dāng)讓我們后退一步，站在外面重新看這兩條定義，它們到底是“構(gòu)造了自然數(shù)”，還是“描述了自然數(shù)”？

　　比如說，為什么皮亞諾公理選擇了這樣的五個(gè)條件？

　　我想答案更多是“這樣的條件可以給出符合我們所理解的自然數(shù)的集合”。可這樣就是“先有了自然數(shù)，然后找出描述自然數(shù)的一組最精簡的條件”，而不是“從無到有地構(gòu)造出了自然數(shù)”。換言之，這樣得到的自然數(shù)，是以我們?nèi)粘Ｉ钪兴佑|到的自然數(shù)為標(biāo)本所作的嚴(yán)謹(jǐn)描述，但本身并不能回答這么一個(gè)問題——為什么自然數(shù)是這樣的。

　　它可以告訴我們，從數(shù)學(xué)的角度，如何選擇一個(gè)公理體系并構(gòu)造出自然數(shù)，但無法告訴我們?yōu)槭裁匆@么構(gòu)造。

　　是為“知其然不知其所以然”也。

　　比如說群這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，其定義為：

　　一個(gè)群，其上定義一個(gè)二元運(yùn)算×，運(yùn)算×滿足：

　　1，a×b是集合中的元素（封閉性）；

　　2，(a×b)×c=a×(b×c)（結(jié)合律）；

　　3，存在單位元滿足e×a=a×e=a；

　　4，任何元素a存在逆元b使得a×b=b×a=e。

　　我們一般都認(rèn)為上述的定義給出“群”這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的嚴(yán)格描述，但這個(gè)定義并不是牢不可破的，換言之并不是說一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象只能由著四條定義給出，缺一不可，相反地，缺少一點(diǎn)東西以后能得到更廣闊的內(nèi)容，比如去掉逆元這個(gè)條件，我們得到了幺半群；如果再去掉存在單位元這個(gè)條件，就得到半群；接下來，單獨(dú)砍掉結(jié)合律，我們得到環(huán)群；在環(huán)群上砍掉單位元，就得到擬群；如果在群的定義上單獨(dú)去掉封閉性，我們得到廣群；如果再在廣群基礎(chǔ)上砍掉逆元，就得到范疇（當(dāng)然，應(yīng)該是非真類的小范疇，大范疇可以定義在類上，而群是定義在集合上的）。

　　也就是說，群這個(gè)對(duì)象之所以這么要求，是因?yàn)槲覀冃枰@些要求來描述群這個(gè)我們已經(jīng)熟知的東西（群和對(duì)稱的經(jīng)驗(yàn)起源是共通的）。如果我們將這些描述松動(dòng)一下，或者甚至修改一下，我們就能得到不同而有聯(lián)系的另一類東西。

　　自然數(shù)也是這樣——為什么要皮亞諾的五條條件？因?yàn)檫@五條條件構(gòu)成的公理體系描述了我們熟知的自然數(shù)——而不是說自然數(shù)天生就長這樣。

　　是我們先有了并熟悉了自然數(shù)的概念，然后我們才找出了皮亞諾公理體系來描述這個(gè)我們早已熟知的東西。

　　如果我們對(duì)這五條做一點(diǎn)小修改，說不定就能得到不同的東西——可以不叫自然數(shù)，而是叫廣義自然數(shù)或者亞自然數(shù)泛自然數(shù)什么的。

　　因此，這就牽扯到這么一個(gè)問題——我們現(xiàn)在所認(rèn)為的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)——無論是公理集合論還是拓?fù)渌埂降子卸嗌偈俏覀內(nèi)藶檫x擇出來的呢？

　　換言之，我們目前的數(shù)學(xué)，是“所有可能的邏輯與形式的一部分”，還是就是“所有可能的邏輯與形式”？

　　或者問，我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)是理應(yīng)如此的，還是演化至此的？

　　選擇一些徹底不同的基礎(chǔ)，是否可能得到意想不到的數(shù)學(xué)？還是已經(jīng)包含在現(xiàn)有數(shù)學(xué)中了？

　　比如，如果命題不只有真假之分，加入元素可以不只在指定集合內(nèi)外，存在這種楚河漢界劃分之外的關(guān)系，那么數(shù)學(xué)會(huì)是如何的？

　　——還是說，存在數(shù)學(xué)原則要求不能做如此跨越二元的狀態(tài)？

　　你看，連數(shù)學(xué)都未必是一成不變的，何況別的那些日常觀念乎？

　　換個(gè)視角，世界將格外精彩。