RSA加密是非對稱加密，由瑞弗斯特(Ron Rivest)，沙米爾(Adi Shamir)和阿德來門(Len Adleeman)于1978年提出的，它的基礎是歐拉定理，安全性依賴于大數因子分解的困難性。整個RSA加密運算，要了解一點數論的基礎。下面在講解的時候，需要用到的數學知識，我都會在一旁做簡單標注。此文主要包括：
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RSA加密算法 -
RSA加解密舉例 -
RSA加密的安全性 -
RSA加密算法的正確性證明
RSA加密算法
取兩個大素數
p和q(p ≠ q)，記n = pq，?(n) = (p-1)(q-1)。選擇正整數
w，w與?(n)互素，設d是w的模?(n)逆，即dw ≡ 1(mod ?(n))。
RSA密碼算法如下：首先將明文數字化，后把明文分成若干段，每一個明文段的值小于n，對每一個明文段m，
加密算法c = E(m) = m^w mod n
解密算法D(c) = c^d mod n
其中加密密鑰w和n是公開的pq?(n)和d是保密的。
- 素數：只能被
±1和±自己整除的數，比如2, 3, 5, 7, 11... - 兩數互素：除
±1之外，沒有其他的公因子，比如2 ~ 3，7 ~ 11... -
?(n)：這個是歐拉函數，是指小于n且與n互素的正整數的個數，習慣上?(1) = 1。算法中用到的?(n) = (p-1)(q-1)，p和q為素數，是歐拉函數的一個特殊情況。特殊情況還有n為素數時，?(n) = n - 1。 - 模
n同余：形如a ≡ b(mod n)這樣的算式稱為a b模n同余，即a % n = b % n - 模逆：如果
ab ≡ 1(mod m)，即ab % m = 1，則稱b是a的模m逆；由定義可知，a的模m逆就是方程ax ≡ 1(mod m)的解，其中形如ax ≡ c(mod m)的方程稱一次同余方程。
RSA加解密舉例
A B 兩人通信，A要傳遞信息給 B，這時 B 公布出來加密的公鑰，A 以此將信息加密，B收到密文以后用私鑰解密，比如：
公鑰：w = 13, n = 2537
私鑰：p = 43, q = 59, ?(n) = 2436, d = 937(根據 w 和 ?(n) 求出)
A 要傳遞的明文信息數字化之后為：m = 2106，用公鑰加密為密文：c = 2106^13 % 2537 = 2321
B 收到密文 c = 2321 后，用私鑰解密為明文：m = 2321^937 % 2537 = 2106
上面加解密都要涉及到模冪乘運算形如：a^b(mod n)。這兒可以利用模運算的一個性質：(a*b) % n = [(a % n) * (b % n)] % n
比如2106^13 % 2537 = [(2106 % 2537)(2106^4 % 2537)(2106^8 % 2537)] % 2537 = [(-431) * (-988) * (-601) % 2537] = 2321
求解過程可以使用遞歸求解的方式，2106^2 % 2537 可以根據 2106 % 2537 來求，2106^4 % 2537 可以根據 2106^2 % 2537 來求。比如 2106^4 % 2537 = [(2106^2 % 2537)(2106^2 % 2537)] % 2537 = (560 * 560) % 2537 = -988
RSA加密的安全性
開頭提到，RSA加密的安全性依賴于大數因子分解的困難性。因為 n 是公鑰公布出來的，如上例中 n = 2537 很容易就可以因為分解，求得 p = 43 q = 59，繼而求出 ?(n) = 2436, d = 937，這樣就攻破了。但是在實際中，n 選的值一般為 1024位 的二進制整數，這么大的一個整數因式分解以目前的技術水平是不可能因式分解的，對加密要求更高的行為，n 則選為2048位的二進制整數。
RSA加密算法的正確性證明
正確性證明需要用到費馬小定理和歐拉定理，表述如下
- 費馬小定理：若
a p互素，則a^(p-1) ≡ 1(mod p)。另一種表示形式a^p ≡ a(mod p)，這種形式則不要求a p互素。
- 歐拉定理：若
a n互素，則a^?(n) ≡ 1(mod n)。另一種表示形式a^?(n) ≡ a(mod n)，這種形式則不要求a n互素。
因為m < n，故解密算法 D(c) = c^d mod n ? c^d ≡ m(mod n)，又因為加密算法 c = m^w mod n，故 c^d ≡ m(mod n) ? m^dw ≡ m(mod n)。又因為 dw ≡ 1(mod ?(n))，所以存在整數 k 使得 dw = k?(n) + 1。最終轉換為證明：m^(k?(n) + 1) ≡ m(mod n)，其中k為整數。關于此證明可以分兩種情況討論：
m 與 n 互素
由歐拉定理 m^?(n) ≡ 1(mod n) ? m^k?(n) ≡ 1(mod n) ? m^(k?(n) + 1) ≡ m(mod n) 命題得證
m 與 n 不互素
由于 m < n，n = pq，p 和 q 是素數且 p ≠ q，故 m 必含 p 和 q 中的一個為因子，且只含其中的一個為因子。設 m = cp，由費馬小定理 m^(q - 1) ≡ 1(mod q) ? m^k?(n) ≡ m^(k(p-1)(q-1)) ≡ 1^k(p-1) ≡ 1(mod q)，從而存在整數 h 使得 m^k?(n) = hq + 1，兩邊同乘于 m 得，m^(k?(n) + 1) = mhq + m = cphq + m = hcn + m ? m^(k?(n) + 1) ≡ m(mod n) 命題得證
總結
RSA加密，整個過程的計算量是很大的，只有特別敏感的信息才使用RSA加密。此文牽扯很多的數論的知識，也沒有講解的很詳細，只是用到的地方，直接給出了結論，其他一些，比如歐拉函數的通用公式，一次同余方程求解方法，費馬小定理和歐拉定理的證明過程，計算模冪乘運算的通用公式，都沒有做過多的詳解，因為這些不是此文的重點，如果你對這些感興趣，可以參考下面我列出來的這本參考書，或者和我交流溝通。這是一系列文章的其中一篇，你可以在這兒Encode & Decode集序找到他其他的兄弟。
參考
- 屈婉玲,耿素云,張立昂. 離散數學:高等教育出版社
