無意間看到一位叫李永樂的老師用數學去解釋久賭無贏家,這里復習一下他的解題步驟。
假如一個絕對公平的游戲,50%概率贏了得1元,50%概率輸了扣1元,你開始有一定的本金(例如100元).要結束游戲,要么輸光(本金100元變成0元),要么贏到一定的期望金額(例如我贏到200元不玩了,或者贏到300元不玩).贏錢和輸錢的概率關系如何呢?(比如贏20元的概率是多少,贏100元的概率又是多少)
游戲大致如此
解：
假設開始本金n元，輸光概率為P(n)，
那么就是如下等式:P(n) = 50% * P(n-1) + 50% * P(n+1)
50% * P(n-1) 是指我們有50%的概率輸1元，
50% * P(n+1) 是指我們有50%的概率贏1元。
要么就是50%輸，要么就是50%贏。
我們變換一下等式:
P(n) = 50% * P(n-1) + 50% * P(n+1) =>
P(n) = 1/2 * P(n-1) + 1/2 * P(n+1) =>
2P(n) = P(n-1) + P(n+1) =>
P(n) - P(n-1) = P(n+1) - P(n) =>
然后我們可以推斷，假如開始本金是0，那么輸光的概率就是100%，因為我們開始就沒有錢可以輸了：
P(0) = 1
又假如我們贏到B元就不玩，假如開始我們本金是B元，那么輸光的概率就是0%，因為我都有B元了，沒必要繼續進行游戲：
P(B) = 0，
如圖所示，我們每一個格子都是相差1，總長度是0到B（輸光是0，贏到B結束），所以這是一個等差數列，那么我們的公差為：
△P= 1/B
再回來假如我們開始本金是A元，那么P(A)可以為：
P(A) = 1 - A * △P = 1 - (A/B)
所以，假如我們開始本金是100元，A=100時候，贏到120元就不玩了，輸光概率是:
P(100) = 1 - (100/120) = 1/6 ,
假如我們贏到200元不玩了，輸光概率是:
P(200) = 1 - (100/200) = 1/2 （50%）,
假如我們贏到1000元不玩了，輸光概率是:
P(200) = 1 - (100/1000) = 9/10 （90%）,
假如我們贏到100,000元不玩了，輸光概率是:
P(200) = 1 - (100/100,000) = 999/1000（99.9%） ,
可以看出來，你期望贏的錢越多，輸光（本金變成0）的概率就越大。
